2007年泉州市高中毕业班理科质量检查数学试题,试卷

'2007年泉州市高中毕业班质量检查数学（理工农医类）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。2007年3月17日注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则为A．B．C．D．2．复数，，则A．B．C．D．3．一个田径队，有男运动员30人，女运动员20人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为10的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽A．3人B．4人C．5人D．6人4．要得到函数的图象，需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位 5．若随机变量的分布列是：1350．20．6则其数学期望等于A．1B．C．D．36．已知的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．7．已知函数，且的解集为，则函数的图象大致是2O－1x1O－2x2O－1x1O－2xABCD8．设、为不同的直线，为平面，且，下列为假命题的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各自检测一次，则三人中至少一人及格的概率为A．B．C．D．10．若把英语单词“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是A．59B．60C．119D．12011．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，，满足关系式：，则的奇偶性为A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数12．已知、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，若的内切圆半径为1，则点P到轴的距离为 A．B．C．3D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上。13．在的展开式中，常数项是（用数字作答）。14．函数，的反函数是。15．球面上三点A、B、C，AB=AC=BC=3，若球心到截面ABC的距离等于球半径的一半，则球的表面积为。16．定义运算*为：*，例如：1*2=1，则函数*的值域为。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知向量，。记函数，若函数的最小正周期为。（1）求；（2）求函数的最大值，并求此时的值。18．（本小题满分12分）已知函数的图象与直线相切于点。（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极小值。19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=4，AB=5，BC=3，AC=4，D为CC1的中点。（1）求异面直线AD与A1B1所成角的余弦值； （2）试在线段AB上找一点E，使得：A1E⊥AD；（3）求点D到平面B1C1E的距离。20．（本小题满分12分）某高速公路指挥部接到通知，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道临时堤坝，以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程。经测算，除现有施工人员外，还须调用翻斗车搬运立方米的土方。已知每辆翻斗车每小时可搬运的土方量为，指挥部可调用25辆上述型号的翻斗车，但其中只有一辆可以立即投入施工，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工。（1）从第一辆车投入施工算起，第25辆车须多久才能到达？（2）24小时内能否完成防洪堤坝工程？请说明理由。21．（本小题满分12分）Oxy已知抛物线的顶点在原点，焦点F在轴上。M为抛物线上的点，M的横坐标为2，且|MF|=3。（1）求此抛物线的方程；（2）如图，过轴正半轴上任一点作直线与此抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。点P分有向线段所成的比为。求证：。22．（本小题满分14分）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]。（1）求出符合条件的函数的表达式；（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，试求； （3）若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。2007年泉州市高中毕业班质量检查数学（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．A2．D3．D4．B5．D6．C7．C8．B9．B10．A11．A12．B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．49514．15．1616．三、解答题：本大题共6小题，共74分。17．解：∵，∴………………………2分………………………4分………………………6分（1）∵函数的最小正周期，∴，∴………………………8分（2）当时，函数取得最大值，此时，，解得……………12分18．解：（1）∵，∴，……2分 ∵函数在处的切线方程为，∴，∴……………………………………………………5分（2）∵点在直线上，∴，∴，∵在的图象上，∴，∴…………………………………………7分由（1）得：，令，则，因此函数的单调递增区间为（1，+∞），……9分令，则，因此函数的单调递减区间为（－1，1）∴当时，函数取得极小值………………………………………12分19．解：（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，（1）∵，∴（或其补角）为异面直线AD与A1B1所成的角，………………………2分，连结BD，在中，∵AC=4，∴，在中，∵BC=3，CD=2，∴，在△ABD中，∵AB=5，∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为………………………………4分 （2）证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴，∵底面ABC⊥侧面ACC1A1，∴BC⊥侧面ACC1A1，………………………………6分取AB、AC的中点E、F，连结EF、A1F，则EF//BC，∴EF⊥平面ACC1A1，∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影，在正方形C1CAA1内，∵D、F分别为CC1、AC的中点，∴≌，∴，∴，∴，∴（三垂线定理）………………8分（3）连结，过D作DH⊥，垂足为H。∵EF//BC，BC//B1C1，∴EF//B1C1，∴点F在平面B1C1E内。∵EF⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1，EF⊥DH，………………10分∵，，∴DH⊥平面B1C1E。在中，∵，∴。……………12分20．解：（1）设从第一辆车投入施工算起，各车到达时间依此为、、…、，依题意，它们组成一个首项为0，公差为（小时）的等差数列，…………3分则=+24d，∴=24×=8，答：第25辆车须8小时后才能到达。………………6分（2）设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间依次为、、…、，依题意，它们组成一个公差为－（小时）的等差数列，且………………8分∵每辆车每小时的工作效率为，∴即，……………………10分 又∵，∴，即，由于，可见的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成。答：24小时内能完成防洪堤坝。………………………………………………12分21．（本小题满分12分）。（1）解：依题意，可设所求抛物线方程为：则抛物线的准线方程为：，∴点M（2，y）到准线的距离，……2分由抛物线定义知：，故，∴，故所求抛物线方程为：。………………4分（2）证明：依题意，可设直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，①设A、B两点的坐标分别是、，则、是方程①的两根，∵，∴………………6分由点分有向线段所成的比为得：，即，又点Q是点关于原点的对称点，故点Q的坐标是，从而，∵，∴…………………………………9分，∴。………………………………………12分。22．解：（1）， ∵，∴，故当时，。……………………………2分若，∴，则，∴若，则，则，∴（舍去）故……………………………………4分（2）当时，，当时，∴…………………………………………………6分∴，∴∴……………………………………………9分（3）∵……………………………………………10分∴，∵，，…………，故当时，，因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数， 则当时，必有。故不存在常数A使对所有的正整数恒成立。……………………14分'