2011届福建福州市高三上学期期末数学理科质量检查试题及答案

'福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查数学试题（理科）（满分：100分；完卷时间：90分钟）友情提示：答案一律填写在答题卡上。一、选择题（每小题5分，满分60分）1．已知集合等于（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．D．2．设复数等于（）A．-3B．3C．D．3．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有（）A．B．C．D．的大小不确定4．已知实数满足的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．26．设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B． C．D．7．已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（）A．-1B．0C．1D．28．如图所示，正方形的四个顶点分别为，曲线经过点B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．9．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD。设此矩形花圃的面积为Sm2，S的最大值为，若将这棵树围在花墙内，则函数的图象大致是（）10．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于的直线条数为（） A．10B．11C．12D．1312．设函数的定义域为实数集R，对于给定的正数，定义函数，给出函数，若对于任意的，恒有，则（）A．k的最大值为2B．k的最小值为2C．k的最大值为1D．k的最小值为1二、填空题（每小题4分，满分16分）13．在二项式的展开式中，纱数是-10，则实数的值为。14．在中，，则AB的长为。15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为。16．设是定义在R上的奇函数，且时，有恒成立，则不等式的解集为。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（本小题满分12分）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的通项公式及前项和18．（本小题满分12分） 已知函数的最小正周期为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围。19．（本小题满分12分）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；（Ⅱ）求的分布列与期望。20．（本小题满分12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 21．（本小题满分12分）（文题满分14分）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。22．（本小题满分14分）已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。 参考答案一、选择题（每小题5分，满分60分）1．D2．A3．B4．A5．A6．D7．A8．C9．C10．C11．B12．B二、填空题（每小题4分,满分16分）13．114．15．6,4,1,716．（－∞,－2）∪（0,2）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意：2分=4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5分7分9分12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2分5分因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得．7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以，9分所以，因此，即的取值范围为．12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为：2分化简得：，解得或（舍去），即袋子中有4个黑球4分（Ⅱ）依题意：=0,1,2,3,45分6分7分8分∴的分布列为10分12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为，从甲地到乙地所用的时间为小时，2分则从甲地到乙地的运输成本，６分故所求的函数为，．７分（Ⅱ）由（１），９分当且仅当，即时取等号．…11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．12分21．（本小题满分12分）（文22题满分14分）解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=15分（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．∵，∴．∴，．7分将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得．10分同理，由可得：．∴，是方程的两个根，∴．12分 （Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程是．将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．8分∴，．又∵，则．∴，同理，由，∴．10分∴．12分22．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．1分∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，∴当x=0时，f（x）取到极小值，即．∴b=0．3分（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c，∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．5分∵的两个根分别为，．∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，∴，即．7分∴．故f（2）的取值范围为．9分（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且． ∵1是函数的一个零点，∴，∵∴，∴点是函数和函数的图像的一个交点．10分结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．即方程组（１）只有一个解．11分由，得．即．即．∴或．12分由方程，（２）得．∵，当，即，解得13分此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解．所以时，的解集为．14分（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．∵1是函数的一个零点又的解集为，10分11分 12分14分www.ks5u.com'