2016年福建省漳州市高中毕业班质量检查数学试卷(文)含答案解析

'2016年漳州市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（A）5（B）4（C）3（D）2（2）已知复数(1+i)z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）设命题p：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数，则下列命题中真命题是（A）pq（B）（C）（D）（4）两向量=（4，-3），=（-5，-12），则在方向上的投影为（A）（-1，-15）（B）（-20，36）（C）（D）（5）已知函数，x∈R，则函数的单调递增区间是（A）[，]，k∈Z（B）[，]，k∈Z（C）[，]，k∈Z（D）[，]，k∈Z （6）已知函数满足，则（A）（B）（C）ln2（D）ln3开始i>n?是输入n结束输出S否i=0i=i+1S=0（7）执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（A）30（B）62（C）126（D）254（8）定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为（A）6（B）5（C）3（D）2（9）三棱锥S-ABC中，SB⊥平面ABC，SB=，△ABC是边长为的正三角形，则该三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（A）3π（B）5π（C）9π（D）12π（10）若实数x，y满足则x2+y2的最小值为（A）（B）（C）（D）5（11）一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为12正视图侧视图俯视图（A）（B）（C）（D）（12）已知函数f(x)=x2-x|x-a|-3a，a≥3．若函数f(x)恰有两个不同的零点x1，x2，则的取值范围是（A）(1，+∞)（B）(，+∞）（C）(，1]（D）(，] 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共4页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知等比数列{an}中，an>0，a2=3，a6=12，则a4=__________.（14）已知双曲线（m>0）的离心率为，则m的值为__________.（15）某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是_______.（16）已知数列{an}中，a1=-1，且n(an+1-an)=2-an+1（n∈N*），现给出下列4个结论：①数列{an}是递增数列；②数列{an}是递减数列；③存在n∈N*，使得(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)>2016；④存在n∈N*，使得(2-a1)2+(2-a2)2+…+(2-an)2>2016．其中正确的结论的序号是__________（请写出所有正确结论的序号）.三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABCP已知△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若AC=，BC=6，P是△ABC内的一点，且∠APC=∠BPC=，设∠PAC=，求． （18）（本小题满分12分）某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．O分数70901101301500.012500.018750.016250.00250女生O分数70901101301500.01000.02250.01500.0025男生（Ⅰ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（Ⅱ）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考公式： （19）（本小题满分12分）PABCDF四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD是边长为的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若BF//平面PCD，△PAD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离．（20）（本小题满分12分）已知定点A（1，0），动点P在圆B：(x+1)2+y2=16上，线段PA的中垂线为直线l，直线l交直线PB于点Q，动点Q的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若点P在第二象限，且相应的直线l与曲线E和抛物线C：都相切，求点P的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数，函数的图象在点(2，f(2))处的切线与直线y=垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲ABCGFDEO如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD都是⊙O的割线，AC=AB．（Ⅰ）证明：AC2=AD·AE；（Ⅱ）证明：FG//AC．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(其中为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线和(0<<)与圆C分别交于异于极点O的A、B两点．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求|OA|+|OB|的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，a∈R．（Ⅰ）若a=2，求不等式≥-3的解集；（Ⅱ）若存在实数x使得≥2a成立，求实数a的取值范围．2016年漳州市普通高中毕业班质量检查文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B（2）D（3）D（4）C（5）A（6）A（7）B（8）D（9）C（10）B（11）A（12）C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）6（14）3（15）（16）①③ABCP三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)（17）解：（Ⅰ）∵m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC∴cosAcosB-sinBsinA=cosC…………………………1分∴cos(A+B)=cosC……………………………………2分∴cos(π-C)=cosC，即-cosC=cosC，即cosC=0………4分又C∈(0，π)∴C=∴△ABC是直角三角形……6分（Ⅱ）在△PAC中，AC=，∠PAC=，∠APC=，由正弦定理，有①…………7分在△PBC中，BC=6，∠BPC=，∠PCB=-∠PCA=∠PBC=8分由正弦定理，有②9分①÷②，得…………………………………………………………10分∴………………………………………………………………11分∴，即∴…………………12分（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可以估计男生测试成绩的平均值为 =80×0.0150×20+100×0.0225×20+120×0.0100×20+140×0.0025×20=1003分∵103.5>1004分∴由此可以推断，女生测试成绩的平均水平略高于男生．5分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有(人)，测试成绩优秀的男生有60×(0.0100+0.0025)×20=15(人)；女生有(人)，测试成绩优秀的女生有40×(0.01625+0.00250)×20=15(人)7分据此可得2×2列联表如下：21教育网优秀生非优秀生合计男生154560女生152540合计30701009分所以得1.7910分因为1.79<2.706，P(K2≥2.706)=0.10011分所以没有90%的把握认为“优秀生与性别有关”．12分（19）解法一：（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，BD=∴∴∠ADB=2分∵△BCD是等边三角形∴∠BDC=∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=，即CD⊥AD3分∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD∴CD⊥平面PAD，5分（Ⅱ）过B作BG//CD，交AD于G，则BG//平面PCD，BG⊥ADPABCDFGMH连结GF，又BF//平面PCD，∴平面FBG//平面PCD6分又平面PAD分别交平面FBG和平面PCD于FG，PD∴FG//PD，∴……………………………7分在Rt△BGD中，BD=，∠BDG=DG=BD·cos= ∴=………………………………………………………………9分过F作FH⊥PD于H，由（Ⅰ）知CD⊥FH，∴FH⊥平面PCD于H，∴FH是点F到平面PCD的距离…………………………………………………………………10分过A作AM⊥PD于M，∵△PAD是边长为2的等边三角形∴AM=又FH//AM∴∴PABCDFQMH∴点F到平面PCD的距离为．………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）延长AB交DC于Q，连结PQ若BF//平面PCD，则BF//PQ，∴…………………7分∵AD2=AB2+BD2∴∠ABD=在Rt△DBQ中，BQ=BD·tan∠BDC=，QA=AB+BQ=1+3=4∴…………………………………………………9分下同解法一．OxyABPQl（20）解：（Ⅰ）圆B的圆心为B(-1，0)，半径r=4………………1分连结QA，∵Q在PA的中垂线l上∴|QA|=|QP|∴|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=|BP|=r=4>2=|AB|∴点Q的轨迹是以A、B为焦点，以4为长轴长的椭圆……………………………………………………3分∴2a=4，a=2；2c=2，c=1；∴曲线E的方程为……………………5分（Ⅱ）∵直线l与椭圆E和抛物线C都相切，∴直线l斜率一定存在，设l：y=kx+m①①代入，得由，得 ②6分①代入，得由，得③7分由②③解得，8分设P(x0，y0)，∵P在第二象限∴x0<0，y0>0，注意A与P关于直线l对称，kAP<0，∴k>0∴k=9分∴l：，则，解得，经检验P(-1，4)在圆C上，故所求点P的坐标为P(-1，4)．12分（21）解：（Ⅰ）……………………………………………………………………2分∵的图象在点(2，f(2))处的切线与直线y=垂直∴…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∵∴关于x的不等式有解x>1，使得，即，即，即成立（*）……………………………………6分令，则………………………………………………7分（1）若t≤e，则当x>1时，，∴在[1，+∞)上是增函数∴当x>1时，∴ 此时（*）不成立，不符合条件．………………9分（2）若t>e，则由=0，得x=lnt>1当x∈(1，lnt)时，，∴在[1，lnt)上是减函数∴当x∈(1，lnt)时，，∴此时（*）成立，符合条件．……………11分综上，实数t的取值范围是（e，+∞）．……………………………………………12分（22）选修4-1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）因为是圆的一条切线，为割线，所以，又因为，所以．……………4分（Ⅱ）由（1）得，ABCGFDEO又，所以∽，所以，因为，所以所以．……………………10分（23）选修4—4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)依题意得，圆的普通方程为，2分所以圆的极坐标方程为．4分（Ⅱ）依题意，，6分所以，8分因为，所以当，即时，的最大值为．10分（24）选修：不等式选讲 解：(Ⅰ)由，得或，解得或，所以．故不等式的解集为.4分（Ⅱ）因为，当仅当时，如取，“=”成立．所以的最大值为，所以．7分因为当时，上式成立；当时，，所以．9分综上，的取值范围为．10分'