校准和检测中微小样本测量不确定度评定方法研究.pdf

'第35卷第2期仪器仪表学报V01．35No．22014年2月ChineseJournalofScientificInstrumentFeb．2014校准和检测中微小样本测量不确定度评定方法研究宋明顺，方兴华，黄佳，张俊亮(中国计量学院经济与管理学院杭州310018)摘要：在校准和检测中，通常测量数据只有1～2个，将其定义为微小样本测量。目前，微小样本测量不确定度评定采用GUM中B类方法，该方法没有用到每一次的校准或检测数据，造成大量有效测量数据的浪费。本文根据贝叶斯理论对微小样本测量不确定度评定进行研究，推证了适用于微小样本测量不确定度评定的公式，并与GUM方法进行了比较。基于贝叶斯理论的微小样本测量不确定度评定方法比GUM方法更可靠。关键词：测量不确定度；微小样本；贝叶斯方法；GUM中图分类号：TB9文献标识码：A国家标准学科分类代码：410．55460．4010ResearchonthemeasurementuncertaintyevaluationmethodofinfinitesimalsampleincalibrationandtestingSongMingshun，FangXinghua，HuangJia，ZhangJunliang(CollegeofEconomic&Management，ChinaJiliangUniversity，Hangzhou310018，China)Abstract：Incalibrationandtesting．thenumberofthemeasuringdataiSoftenonly1or2．whicharecalledinfinitesi．malsampleinthispaper．Atpresent，themeasurementuncertaintyevaluationforinfinitesimalsampleadoptstheBtypemethodinGUM，andinthismethodnoteveryoneofthemeasuringdatainthecalibrationortestingisused，andtheeffectivemeasuringdataarewasted．Tomakegooduseofthesemeasuringdataandpriorinformation，themeas—urementuncertaintyevaluationofinfinitesimalsampleisstudiedbasedontheBayesiantheory；andthemeasurementuncertaintyevaluationformulaofinfinitesimalsampleisdeducedandcomparedwiththeBtypemethodinGUMTheresultshowsthattheproposedmeasurementuncertaintyevaluationmethodofinfinitesimalsamplebasedonBayesiantheoryismorereliablethantheBtypemethodinGUM．Keywords：measurementuncertainty；infinitesimalsample；Bayesianmethod；GUM样本量a≤2的测量定义为微小样本测量。经典概率论1引言与数理统计方法、GUM中的A类不确定度评定方法和极差法无法对微小样本条件下的测量不确定度进行评目前，在实验室中测量结果的不确定度评定越来越定，若采用蒙特卡罗等方法则过于复杂。在这种条普遍，对测量不确定评定方法和应用的研究已涉及各个件下，校准实验室和检测实验室的通常做法是采用B类方面。根据实验室认可的相关要求，在校准证书和检不确定度的评定方法，即直接引用上一级校准证书或检测报告中必须给m相关量的测量不确定度评定。在校准定报告中给定的测量不确定度，在一个校准周期或检定实验室和检测实验室为客户提供的测量服务中，对被测周期内都重复引用这一测量不确定度评定结果。量的测量次数通常是很少的，有时只测量1次、2次，把无论是校准实验室还是检测实验室，在测量仪器的收稿日期：2013-02ReceivedDate：2013-02基金项目：国家自然科学基金(71071147)、浙江省教育厅(Y201329573)资助项目 420仪器仪表学报第35卷校准周期和检定周期内，要为顾客提供多次的校准、检测，方差为4,／(。+1)。服务，可积累大量的测量数据，若按上述测量不确定度的P(o／+)=评定方法，这些累积的测量数据在测量不确定度的评定(2,rr~b／(。+1))-I／2expf_1(一xo)／(西／(+1))]中无法使用，而这些数据都是有效测量数据，能够真实反映在校准周期和检定周期内测量仪器真实测量状态，将则0和西的联合密度为：这些测量数据弃之不用，是数据资源的浪费。P(0，西)=P()·P(o／,／,)。c在检定周期或校准周期内，实验室在严格的受控条(~-(vo+1)／21exp[一-(s。+(。+1)(一Xo))／咖】(2)件下，测量数据具有相同的统计特征，即认为这些数据来2．1．2f(0，,l,／x)的公式自同一分布总体，有相同的概率分布，所以利用在检定周已知x来自正态分布Ⅳ(0，西)，其似然估计与给定0期内或校准周期内的所累积测量数据评定测量不确定和西时的条件密度成比例，即：度，能充分反映校准和检测仪器的测量状态。利用以前f(0，,I,／x)。cP(X／O，西)。c有效的测量数据，结合最新的测量数据评定测量不确定度，使数据资源充分利用，并能反映母体分布的数字特q5-"~／2exp卜了1(s．+n．(一。))](3)征。这一思路符合贝叶斯统计原理，张健等人对此已做S．和可由当前测量值计算得到。了一些研究。2．1．3P(0，+／x)的公式本文将根据贝叶斯统计原理，充分利用有效的先验根据前面得到的z(0，／)与P(0，)的公式，把式测量信息，结合最新的测量数据，解决校准实验室和检测(2)和(3)代入式(1)，则0和的后验密度为：实验室中微小样本测量不确定度评定问题。P(，／)Of．””exp[一÷(S+m(0一2贝叶斯方法的公式推导))](4)式中：在本文中，先验信息是指已知的有效测量结果，易从，=0+1+nl最新的校准证书、合格证书、检测报告或其他资料中获=((0+1)0+n11)／m取，包括从初始的测量数据中获取。S=S。+s1+((。+1)+)(一x)(5)假设。，和都来自正态分布N(0，咖)，其中0和咖2．20与西的后验分布未知，。和分别表示先前重复测量值和当前重复测量2．2．1P(O／X)的公式值。P(O／X)为0的后验分布，也是式(4)中均值的边缘根据贝叶斯定理⋯，得：分布。根据文献[11]可知：P(0，,t,／x)P(0，)·Z(／)(1)式中：为当前测量值向量；p(O／X)=Ip(，咖／x)d咖OC[S+m(0一)]””P(0，4,／x)为基于当前测量值的0和的后验密度定义：函数；兰．：s／P(0，西)为0和的联合密度；s，／mZ(0，+／x)为给定0和(b时，当前测量值的似然则：估计。P(o／x)。c[／2S+(s)川。C[1+f／2．1P(0，4,／x)的公式(6)2．1．1P(0，)的公式即0～￡，s与GUM中所用到的s：一样，为合并方差根据条件概率公式：估计。P(0，(b)=P(西)’P(o／4,)2．2．2P(+／x)的公式P()为的先验分布，满足自南度为。的反分P(+／x)为西的后验分布，也是式(4)中方差的边缘分布。同样可得到的后验分布为：布。故：西()。c-vo／21expf-÷s。／】P(=J．p(o，~／X)dO。cIexp(一÷s)(7)式中：s是先验测量值或初始测量值的残差平方和，可由p(／)是服从自由度为~1Y．x分布⋯随机变量先验信息x。4-U0，l，0，P。得到。P(o／+)为给定时0的条件分布，其正态均值为的密度函数，即～。 第2期宋明顺等：校准和检测中微小样本测量不确定度评定方法研究4212．3小结3．1样本量为1的测量不确定度评定公式根据式(6)和(7)可知：当给定咖时0满足：样本量为1，即：nl=1；o／+～N(，+／m)(8)如果前提假设条件满足，由式(5)和式(8)的结论可当前测量值为：。。。以推出基于后验分布的统计特征值和测量不确定度评定3．1．1最佳测量值的计算公式公式，这些公式简称为贝叶斯方法，此方法由下列公式当样本量为1时，有：组成：X1l1m=n0+nJ=n0+11)已知信息，包括：由式(9)可得：先验信息：Xo±Uo，，Po当前信息为当前的测量值：(。，：，⋯，．)或±(21)：mXl土Ul"l，P1。现来证明式(21)与GUM方法是相等的：2)过程计算公式：将与n。个先验测量值合并成新的样本，根据1,(0)=Uo／k(9)1nGUM推荐的频率方法，最佳测量结果为：=∑，，(1o)l』JS0=(0)0(0+1)(11)：：S=∑(一)(12)(22)m：0+l(13)式(21)与合并样本后的计算结果是相等的。但在实／10=0+1(14)际应用中，由于n。和是已知的先验信息，式(21)比式m=F／,0+n1(15)(22)要简单的多。3)测量不确定度评定公式：3．1．2单次测量标准偏差：±兰!墨(16)当样本量为1时，由式(17)和(18)得单次测量标准m偏差平方为：S=S0+s1+[(。+1)一1+n](一1)=(n0—1)s+noX+21l—mX22．s0+5l+(Po+1)+n1一m(17)(23)m—lS=S／p(18)S。为由先验信息得到的单次测量标准偏差。M()=s／~／n，(19)现来证明式(23)与GUM推荐的频率方法是相U=k·“()(20)等的。这些公式看起来似乎很复杂，但过程计算的7个公将式(23)进行化简：式都是GUM中重复测量不确定度评定公式中的派生公2(Ft0—1)sj露+211一m一m一1式，依据已知的信息计算，是一些常规公式，公式虽多，但比较简单，先验信息是给定的或已知的，如(。，S。，。)；n0∑x。一)+n。+2一mX当前的测量值的测量结果可用GUM中频率方法计算得‘=1m一1出，如(，S，。)；计算式(17)是依据贝叶斯理论推导0的，是本方法的核心公式。根据先验测量信息和当前测量∑2一nO+12o+2一m信息，利用上述公式可以计算出基于后验分布的测量不————————————————————————————————————————一=m—l确定度，使有效测量数据得到充分的利用，测量不确定度OnD评定结果更加可靠。∑2+2一∑。2+。2一mX2圭————————一：i—————————————————一m—lm一13微小样本测量不确定度评定公式∑(。一)：——————一根据式(9)～(20)，在已知先验信息条件下，对测量m—l次数只有1次、2次等微小样本测量不确定度评定公式将与n。个先验测量数据合并成新的样本，用进行推证。GUM推荐的频率方法计算单次测量标准偏差： 422仪器仪表学报第35卷14x0．4567+15×2．8406+2．8570一16×2．84161=l6一l(。I—)+x02一)+⋯+(一)+(。，一)。-()_l948m—l由式(26)得：(。l—)+(一)+⋯+(。一)+(一)m一1M(．)：：一~．1948～_：0．4414mv~／nI,／1客户首次校准测量不确定度评定报告：(2．8570(24)0．4414)mV，：1。式(23)与式(24)是相等的。但在实际应用中，由于若用GUM方法，只能进行B类评定，其结果为：s。、Xo和是已知的，式(23)比式(24)要简单得多。(，Y±)：(2．8570±0．4567)mV，k=1。3．1．3测量结果报告41当只进行一次校准或检测时，一般是直接引用先验2种方法有l0．4567—0．4414l=0．0l53mV的测量不确定度信息，即采用B类测量不确定度评定方法，差值。若用式(24)进行评定，则比较麻烦。但由于n。、S。和同理类推，可计算m其他几次校准的测量不确定度是已知的先验信息，式(23)的计算则十分简单，所以只结果，具体如表1所示。进行一次校准或检测的测量时，也能容易地给科学合表1样本量为I时的测量不确定度评定结果理的测量不确定度评定结果。这个测量结果报告为：Table1Themeasurementuncertaintyevaluation最佳测量值为：。=(25)resultwhenthesamplesizeis1标准测量不确定度为：“(，)==(26)~／nl自南度：．=+1(27)3．1．4实例在校准实验室对某一电量参数进行校准，该电量参数的先验信息为：(2．8406±0．1179)mV，k：l，=l4根据校准规范，客户送检时每次只测量一次。该客户首次的校准值为2．8570mV，而且在不同的时间共送到该实验室校准了l0次，每次校准都按校准规范进行，根据表l数据作图1，对叶斯方法和GUM的B类严格控制相同的校准条件，并要求每次都给出测量不确方法进行对比分析。定度报告(=1)。现利用式(21)、(23)、(25)和(26)来计算第一次校>吕准的测量不确定度报告。根据先验信息：曙／2(10+1：14+1=15血I0=2．8406mVH()：U／k=0．1179／1=0．1179mVs。=()~／n。=0．1179v／13=0．4567mV图1样本量为1时的2种方法测量不确定度评定结果对比现采用贝叶斯方法进行评定，即根据式(21)和式Fig．1Thecomparisonbetweentwomeasurementuncertainty(24)进行评定。evaluationmethodswhenthesamplesizeisl南式(21)得：从图1可以直观看m，当测量值只有1个时，GUM==，n1警)十l：方法中B类评定只用了该电量参数进行校准时的先验信2．8416inV息，所以测量不确定度是一个不变的量(一条直线)，而南式(23)可计算单次测量标准偏差贝叶斯方法不仅应用了先验信息，而且结合当前的校准(n0—1)+露+2一mX信息，对不确定度进行重新评定，前面一次的校准信息对m一1下一次校准是先验信息，从而在不断积累校准信息的基 第2期宋明顺等：校准和检测中微小样本测量不确定度评定方法研究423础上，使每一次的不确定度评定都会发生变化(变化的曲(n。一1)s++n。+n—m(30)线)，并且逐渐趋向于真实的情况，因而这种方法优于m一1GUM方法。s。为南先验信息得到的单次测量标准偏差。3．2样本量为2的测量不确定度评定公式由式(12)知：样本量为2，即：2∑(一)／7,1=2；生——————一=2—1当前测量值为：，。23．2．1最佳测量值的计算公式∑(一)当样本量为2时，有：i=1现来证明式(30)与GUM推荐的频率方法是相=等的：将式(30)进行化简：m=n0+n1=凡0+2(／／,。一1)s+s+n。+nl一m由式(9)可得：m一1：±!：±兰!±f28102∑(一)+∑(一)+noX~o+／／"1一m现来证明式(28)与GUM方法是相等的：m一1将与n。个先验测量值合并成新的样本，根据o22GUM推荐的频率方法，最佳测量结果为：∑2一+∑2一n+n。+n。霹一mX=【l1+o2+⋯+0+Il+12m一1A—n。+2一02n0∑2+∑2一mX∑2+2+2一m_I_——————三三_L———————i=l：：：：!：!：：圣±。。±兰。f29)m一1m一1式(28)与合并样本后的计算结果是相等的。但在∑(一)l_————————一实际应用中，由于n。和。是已知的先验信息，式(28)比m一1式(29)要简单。将．：与n。个先验测量值合并成新的样本，用3．2．2单次测量标准偏差GUM推荐的频率方法计算单次测量标准偏差：当样本量为2时，由式(17)和式(18)得单次测量标令：ll=0l准偏差平方为：l2X0no+2X0m(ol一)+(02一)+⋯+(0一)+(。。一)+(一)m—l(。一)+(。一)+⋯+(。。一)+(。+一)+(。一)(31)m一1m一1式(30)与(31)是相等的。但在实际应用中，由于标准测量不确定度为：u(，)(33)、和是已知的，式(30)比(31)要简单得多。3．2．3测量结果报告自由度：l=+2(34)当只进行二次校准或检测测量时，传统的评定方法3．2．4实例都是直接引用先验测量不确定度信息，即采用B类测量在校准实验室对某一质量参数进行校准，该质量参数不确定度评定方法，若用式(31)进行评定，则比较复杂的先验信息为：(2．8670±0．1233)mg，k=1，／,t=14。根和烦琐。但由于、和是已知的先验信息，式(30)据校准规范，客户每次送校时只重复测量二次。该客户首的计算则十分简单，所以只进行二次校准或检测测量，也次校准确的测量数据为2．8570mg和3．3334mg，而且在能容易的给出科学合理的测量不确定度结果，这个测量不同的时间共送到该实验室校准了10次，每次校准都按结果为：校准规范进行，严格控制相同的校准条件，并要求每次都最佳测量值为：，=÷(32)给出测量不确定度报告(k=1)。 424仪器仪表学报第35卷根据先验信息：由式(28)得：n0=0+I=14+1：15“00+nlXl15×2．8670+2×3．0952=+2=2．8670mgU()=Uo／k=0．1233／1=0．1233mg2．8938mg南式(12)可计算标准偏差s：0=U(X0)~／n0=0．1233J15=0．4775mg22s。=∑(。一，Y．)=(2．8570—3．0952)+^．l：=———■一：=—————_—————一：=3j．·0u95j2mrIlgi=I(3．3334—3．0952)=0．1134现采用贝叶斯方法进行评定，即根据式(30)、(32)由式(30)可计算单次测量标准偏差：和(33)进行评定。2(n0—1)s++no+H1—mm一114×0．4775+0．1134+15×2．8670+2×3．0952一17×2．893834O20：0．2126nlg217—116。凸南式(33)得：毫M(．)：二：_,／012126：0．326omg．}吾Hl,／2客，rLI首次校准测量不确定度评定报告：(3．0952±0．3260)mg，=1。图2样本量为2时的2种方法测量不确定度评定结果对比若用GUM方法，只能进行B类评定，其结果为：Fig．2Thecomparisonbetweentwomeasurenlentuncertainty(±S0／(2)=(3．0952±0．3376)mg，=l。evaluationmethodswhenthesamplesizeis2与用B类评定的有10．3376—0．3260l=0．o116mg的差值。与图1类似，从图2吖以直观看f当测量值只有2同理类}伴，n『计算其他几次校准的测量不确定度个时，用n1叶斯方法评定测量不确定度，综合运用了先验结果，具体如表2所示。信息和当前的校准数据，对质量参数校准的不确定度进表2样本量为2时的测量不确定度评定结果行评定，使不确定度接近其真实的情况，优于GUM方法Table2Themeasurementuncertaintyevaluation对不确定度评定的情况。resultwhenthesamplesizeis23．3样本量为3的测量不确定度评定公式样本量为3，即：nl=3；当前测量值为：l2、z．3。3．3．1测量不确度评定公式同理，可证明当测量次数只有3个时，根据式(16)～(19)等其他相关公式，iJ‘以导样本量只有3个时的测量不确定度结果，这些公式为：最佳测量值为：，Y：X—l3(35)标准测量不确定度为：U(X)(36),／3式中：(rIn一1)5：+s+noX+nl一mXf371m—l根据上表数据做图2，对贝叶斯方法和GUM的B类方法进行对比分析。s：÷窆(一，Y)，1Yn0+l 第2期宋明顺等：校准和检测中微小样本测量不确定度评定方法研究425m=no+n1=no+3自由度：l=0+3(38)4结论3．3．2实例在校准实验室对某一长度参数进行校准，该长度参校准实验室和检测实验室为客户提供的测量服务通数的先验信息为：(28．81-4-1．32)mm，k=1，=14。根常都是微小样本，GUM中的A类评定方法无法应用，只据校准规范，客户每次送校时只重复测量3次。该客户能用GUM中的B类方法，客户的测量数据在测量不确定在不同的时间共送到该实验室校准了10次，每次校准都度评定中没有用上，造成在校准周期、检定周期内测量数按校准规范进行，严格控制相同的校准条件，并要求每据的浪费，而且不能有效反映出客户测量结果的真实测次都给出测量不确定度报告(=1)。量不确定度。无论是校准实验室还是检测实验室，只要现利用上述公式来计算每次校准的测量不确定度，严格地控制实验室的测量环境并按校准规范或检测程序同时也用GUM的B类方法进行评定，计算结果如表3所进行校准或检测活动，在检定周期或校准周期内，保持和刀。控制“人、机、料、法、环”条件相同，对同数量级的同类量表3样本量为3时的测量不确定度结果进行的测量值都具有相同的统计特性，即这些测量数据Table3Themeasurementuncertaintyevaluation都应服从相同的概率分布，虽然这些测量值来自于不同resultwhenthesamplesizeis3的客户、来自于不同的时间。在校准周期或检定周期内，这些测量值具有时序性霉测量值／mm最值佳／测mm量B测类量方不法确定贝度叶／斯m方m法和累积性，为客户提供的校准和检测服务，必须在规定的工作日内给出测量不确定报告，不可能等到整个校准或检定周期结束后，用所有的客户累积的测量数据评定测量不确定度，并给客户提交测量不确定度评定报告。客户的测量不确定度报告必须实时给出，所以应尽可能地利用以前累积的有效测量结果，即充分利用先验自信，并利用为客户提供的当前测量值，虽然是微小样本，进行测量不确定度评定，才是科学合理的。本文基于贝叶斯理论推证的式(5)、(19)和(20)，是解决上述问题的有效方法，尤其是解决了校准和检测服务中微小样本的测量不确定度评定问题。参考文献根据表3数据做图3，对贝叶斯方法和GUM的B类[1]张亦弛，齐晓辉，林茂六．基于协方差矩阵的VNA／方法进行类比分析。NVNA／LSNA测量不确定度传播规律与分析方法研究[J]．仪器仪表学报，2012，33(11)：2495．2502．墨ZHANGYCH。QIXH．LINML．Covariance—matrix—basedmeasurementuncertaintypropagationlawandanal·器ysismethodforVNA，NVNAandLSNA『J]．Chinese墅JournalofScientificInstrument，2012，33(11)：2495-2502．图3样本量为3时的两种方法测量不确定度评定结果对比[2]刘彬，钟明琛．直流电子负载基本T作模式的测量不Fig．3Thecomparisonbetweentwomeasurementuncertainty确定度评定[J]。电子测量技术，2012，35(8)：4245．evaluationmethodswhenthesamplesizeis3LIUB，ZHONGMCH．Licenseplatecharacterrecogni—tionbasedoncombinedfeatures『J]．ElectronicMeasure—同样地，类似于图1和图2，从图3可以直观看出，当mentTechnology，2012，35(8)：42_45．测量值只有3个时，用贝叶斯方法评定测量不确定度，在[3]葛欣宏，贺庚贤，宁飞，等．防静电地面的防静电电阻测量不确定度评定[J]．电子测量技术，2013，36(2)：结合先验信息和每一次校准数据的基础上，使长度参数16—18，42．校准时的不确定度评定更接近其真实的情况，它也优于GEXH，HEGX，NINGF，eta1．Uncertaintyevaluation只利用先验信息进行不确定度评定的GUM方法。ofanti—staticfloor’Santi．staticresistance『J]．Electronic 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