运筹学案例项目报告

'工商管理中的运筹学问题—建模及求解项目报告摘要：本项目报告主要研究内容为工商管理中的一般线性规划问题建模；运输问题建模；目标规划问题建模；整数规划问题建模；网络图绘制，以及其管理运筹学软件求解及分析。主要围绕几个不同类型的实例来进行建模，并详细分析其解题方法来深入研究这些运筹学问题。前言：本次项目报告的目的是为了帮助我们顺利的完成对运筹学课程内容的学习，能够熟练地运用运筹学的知识对生活中遇到的问题进行建模以及求解。在全书范围内选取五个建模的主要问题：一般线性规划问题建模；运输问题建模；目标规划问题建模；整数规划问题建模；网络图绘制来进行调查建模练习。在实验中，我们首先自己对于问题进行建模处理，之后主要利用管理运筹学软件进行问题求解并对结果进行分析。通过完成这些实验，我们达到了预期的结果，对于运筹学的建模过程及求解有了一个更深刻的理解，既巩固了之前学习的理论知识，又对于实际应用有了一个全面的理解，为以后的进一步学习和实际应用打下了基础。1.工商管理中的一般线性规划问题建模与管理运筹学软件求解及分析研究内容：在生产或经营等管理工作中，需要经常进行计划或规划。需要做到：在现有各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期目标达到最优：或为了达到预期目标，确定使资源消耗为最少的方案。通过线性规划问题的计算机软件这一工具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。现在我们来研究线性规划在工商管理中的应用，解决工商管理中的实际问题。1.1项目过程1.1.1一般线性规划实际问题的描述：美佳工厂要用三种原料1,2,3混合调配出三种不同规格的产品甲，乙，丙，已知产品的规格要求.产品的单价.每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-1和表1-2。该工厂该如何安排生产，使利润收入为最大？表1-1产品名称规格要求单位（元/千克）甲原材料1不少于50%原材料2不超过25%50乙原材料1不少于25%35 原材料2不超过50%丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/千克）110065210025360351.1.2实际问题求解数学模型：1.1.2.1问题分析：我们的目标是要使利润最大，这类问题用数学语言表达，先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通过用变量的函数形式表示，对问题的限制条件用有关变量的等式或者不等式表达，当变量连续取值且目标函数和约束条件均为线性时，建立线性规划模型。1.1.2.2建立模型：解：设Xij表示第i种产品中原材料j的含量（我们分别用产品1,2,3表示产品甲.乙.丙）。例如X23就表示乙产品中第3种原材料的含量，我们的目标是要使利润最大，利润的计算公式如下：利润=-。1.1.2.3目标函数：Max50（ｘ11+ｘ12+ｘ13）+35（ｘ21+ｘ22+ｘ23）+25（ｘ31+ｘ32+ｘ33）-65（ｘ11+ｘ21+ｘ31）-25（ｘ12+ｘ22+ｘ32）-35（ｘ13+ｘ23+ｘ33）=-15ｘ11+25ｘ12+15ｘ13-30ｘ21+10ｘ22-40ｘ31-10ｘ33.从表1-1中有：x11≥0.5（x11+x12+x13),x12≤0.25（x11+x12+x13）,x21≥0.25（x21+x22+x23）,x22≤0.5（x21+x22+x23）. 从表1-2中，可知加入产品甲.乙.丙的原材料不能超过原材料的供应量的限额，所以有：（x11+x21+x31）≤100,（x12+x22+x32）≤100,（x13+x23+x33）≤60,1.1.2.4.模型约束条件：0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0,-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0,0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0,-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0,X11+x21+x31≤100,X12+x22+x32≤100,X13+x23+x33≤60,xij≥0（i=1,2,3;j=1,2,3）.此类问题的数学模型如下：目标函数：maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33.约束条件；0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0，-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0,0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0,-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0,X11+x21+x31≤100,X12+x22+x32≤100,X13+x23+x33≤60,xij≥0（i=1,2,3;j=1,2,3）1.1.3模型求解所列单纯性表如图所示：Cj-152515-30100-400-100000000 CBXBbX1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x160x1000.5-0.5-o.500000010000000x110-0.250.75-0.2500000001000000x120000-0.750.250.2500000100000x130000-0.50.5-0.500000010000x1410010010010000001000x1510001001001000000100x16600010010010000001:: 运用线性规划软件输入数据得解为x11=100，x12=50,x13=50,其余的xij=0,也就是说每天只生产甲产品200千克，分别需要1原料100千克，2原料50千克，3原料50千克可使利润收入为最大。1.1.4结果分析：线性规划建模是运筹学中应用最为广泛的一个分支，也是进行后续学习的知识基础，我们应当具备建模思想以及会进行基础的计算运用。2.运输问题建模与管理运筹学软件求解及分析研究内容：在社会生产和消费过程中，离不开人员、物资、资金和信息的合理组织和流动。随着社会经济的快速发展，运输变得越来越复杂，运输量有时非常巨大，科学组织运输可有效降低物流活动的成本，及时实现需要的物品空间位置的变动，以有效提升其空间价值。在实际运用过程中，因为数据比较复杂，而且需要考虑的方面较多，单纯形法运算太过复杂，故一般采用运输问题独特的运算方法：表上作业法来解决实际生活中的各种产销平衡或产销不平衡的运输问题。2.1、项目过程2.1.1、运输问题实际问题的描述有三个煤矿A1、A2和 A3,它们需要供应给B1、B2、B3和B4四个地区，各煤矿运往四个地区的单位运价、三个煤矿的产量情况以及四个地区的需求量见下表。问如何才能使总运价最低？B1B2B3B4产量A11318211620≤a1≤80A21415181250A317121123a3≥30需求量307050202.1.2、实际问题求解2.1.2.1、解题思路总思路:设法将其转化为标准型解：由上表可知，四个地区总需求量为170万吨，最低产量为110万吨，最高产量无限制，但在产销平衡的条件下，a3最高取120万吨。这时最高产量为230万吨。它大于总需求量，而标准型为产量=销量。 这时应增设一个虚销点B5，其需求量为60万吨。但这个销点只能储存可有可无的最高产量部分，从而也应将产量分为两个部分，可以运往B5的，和不可以运往B5的。因为B5实际不存在，所以运往B5的单位运价为0，另一部分不可以运往B5，因而将这部分煤矿运往B5的单位运价取为充分大的正数M。基于上述分析，将表格转换为下表。B1B2B3B4B5产量A113182116M20A1"13182116060A214151812M50A317121123M30A3"17121123070需求量30705020602302.1.2.2、建立数学模型解：设xij为从第i个产地运往地第j个销地的产品数量minz=13x11+18x12+21x13+16x14+100x15+13x21+18x22+21x23+16x24+14x31+15x32+18x33+12x34+100x35+17x41+12x42+11x43+23x44+100x45+17x51+12x52+11x53+23x54x11+x12+x13+x14+x15=20x21+x22+x23+x24+x25=60x31+x32+x33+x34+x35=50x41+x42+x43+x44+x45=30x51+x52+x53+x54+x55=70s.t.x11+x21+x31+x41+x51=30x12+x22+x32+x42+x52=70x13+x23+x33+x43+x53=50 x14+x24+x34+x44+x54=20x15+x25+x35+x45+x55=60xij≥0(i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4,5)2.1.2.3软件求解 2.2、过程分析2.2.1、解读题目：书上第二节所讲的运输问题的算法，是以产销平衡为前提的。在本题中，明显产销不平衡，为了能使用表上作业法求解，首先要做的就是将其化为产销平衡问题。2.2.2建立模型：建模要建立在化为产销平衡之后的表格的基础上。2.2.3、软件求解：软件求解时，输入的是加入了虚销地之后的数学模型，因此需要赋予M一个确定的值，但M取何值对于最终结果并无影响。2.2.4、确定答案：根据软件计算结果确定最佳运输方案。3.目标规划问题建模与管理运筹学软件求解及分析研究内容：在实际问题中，线性规划与其他任何决策工具一样，并不是完美无缺的。首先，一个计划问题需要满足多方面的要求，也就是说，这实际上是一个多目标问题，而线性规划只适用于单目标问题；其次，线性规划要求约束条件彼此相容，实际问题有时不能满足这样的要求；最后，有时决策者需要的并不是严格意义上的最优解，而是可以帮助做出最优计划的参考性计划甚至多个计划。这是，目标规划的优越性就显现出来了，它既承认约束条件的冲突性，又能在最终决策时不强调绝对意义上的最优性。 3.1项目过程3.1.1目标规划问题实际问题的描述某工厂生产两种产品：桌子和椅子。经测算，每生产一张桌子要在车间A加工1小时、在车间C加工3小时；每生产一把椅子要在车间B和车间C各加工2小时。而车间A每周可用于生产这两种新产品的时间为40小时，车间B为120小时，车间C为120小时。每张桌子利润为30元，每把椅子利润为50元。目前，工厂领导根据市场的具体情况，对下周的生产计划的制定又提出了新的要求。P1：根据市场需求的变化情况，椅子的销售量有明显下降的趋势，希望椅子的产量不要超过桌子产量的2倍。P2：由于车间C有新产品生产的临时任务，因此希望该车间节省出40个小时工时用于新产品的生产。P3：在此情况下，应尽可能达到并超过每周总利润3000元。请制定新的最优化生产方案。3.1.2实际问题求解3.1.2.1建立模型设：生产桌子x1张，椅子x2把，目标函数如下：min{P1d1-,P2d2+,P3d3-}约束条件如下：x1≤402x2≤120s.t2x1-x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=16030x1+50x2+d3--d3+=3000 3.1.2.2模型求解 因此根据目标规划软件，满意解为：x1=40x2=0因此，最优生产方案为生产桌子40张，不生产椅子。3.2过程分析 3.2.1解读题目：多个目标函数，且约束条件具有优先级，因此该问题应经不是简单的线性规划问题，而是目标规划问题。3.2.2建模：3.2.2.1确定变量：由于该题是目标规划问题，因此此时应引入偏差变量d+,d-。3.2.2.2确定目标函数：因为为目标规划问题，所以目标函数只能极小化。同时约束条件优先级题目已经给出，因此优先因子P1、P2、P3已确定。同时因为椅子产量不超过桌子两倍，所以min{P1d1-};因为车间C尽可能节省出4小时，因此min{P2d2+};因为利润尽可能达到并超过3000元，所以min{P3d3-}。3.2.2.3确定约束条件：车间A可用工时为4小时、车间B为120小时为绝对约束;而椅子产量不超过桌子两倍、车间C尽可能节省出40小时即可用160小时、总利润尽可能达到3000元为目标约束。3.2.3模型求解，主要借助软件求解。3.2.4根据软件得出的结果确定满意解。4.整数规划问题建模与管理运筹学软件求解及分析4.1研究内容：整数规划是生活中一种特殊的问题，他的全部或一部分决策变量只能取整数熟练掌握整数规划问题的各种不同形式，灵活的使用不同的方法进行建模求解非常有必要。纯整数规划问题使用割平面法或分支定界法求解，0-1型整数规划问题使用隐枚举法求解，而其中特殊的指派问题使用匈牙利解法求解，非标准的指派问题需要化成标准问题再求解。4.2问题描述运筹学三级项目中，9B321宿舍六名同学有五个模块需要进行建模处理，现准备每人选做一套，每人做且只做一套，每人完成各套题目的困难指数如下表：（困难程度分为五个档次，其中1最低）一般性规划问题运输问题目标规划问题整数规划问题网络图绘制同学A41325同学B31224同学C42335同学D22413同学E31434同学F42234 确定使总困难程度最低的指派方案，最低困难指数是多少？4.2求解过程4.2.1建立数学模型minz=4x11+x12+3x13+4x14+5x15+0x16+3x21+x22+2x23+2x24+4x25+0x26+4x31+2x32+3x33+3x34+5x35+0x36+2x41+2x42+4x43+x44+3x45+0x46+3x51+x52+4x53+3x54+4x55+0x56+4x61+2x62+2x63+3x64+4x65+0x66∑6i=1Xij=1(j=1,2...6）∑6j=1Xij=1(i=1,2...6)Xij=0或1（i,j=1,2...6）4.2.2将数据输入运筹学解题软件中得： 4.2.3由运筹学解题软件得出结果为：4.3过程分析：4.3.1解读题目：本问题属于指派问题中的特殊问题：指派问题，而且由于有六个人五个问题需要解决，每人只能解决一件事情，所以是非标准的指派问题类型，首先虚拟的增加一件事情，它的其他指数均为0，之后进行数学建模。4.3.2确定目标函数以及决策变量，建立数学模型4.3.3确定解题方法，根据课本知识，指派问题一般使用匈牙利解法进行解答4.3.4求出结果，进行结果分析，看是否符合现实情况4.4结果分析根据解题结果，最优指派方案应该是让A同学做运输问题，B同学做网络图绘制问题，D同学做整数规划问题，E同学做一般性规划问题，F同学做目标规划问题。此时的最小困难指数为1+4+1+3+2=11 5、网络图绘制与管理运筹学软件求解及分析研究内容在许多庞大而复杂的科研和工程项目，这些项目常常需要运用大量的人力、物力和财力，因此如何合理而有效地对这些项目进行组织，在有限资源下以最短的时间和最低的成本费用下完成整个项目就成为一个突出的问题。5.1问题分析周末，某家庭主妇将准备一个小型家庭宴会，宴会需要完成的活动有：制定菜单、原料采购、餐具准备、甜点准备、原料清洗、烹饪、桌持布置、宴会开始。为使宴会能按时进行，宴会的主人至多需要提前多少时间开始准备宴会流程。求出此宴会的关键路线，确保宴会进行。5.2建立模型；求最晚完成时间，即求其关键路线，工作时间由问题资料可知，为确定型工作工作内容紧前工作工时（分钟）A菜单定制30B原料采购A60C餐具准备A45D甜点准备B60E原料清洗B60F烹饪D.E30G桌椅布置C15H宴会开始F.G05.3模型求解5.3.1任务的分解（上表所示）5.3.2绘制网络图 Te(1)=0Te(j)=max｛te(i)+t(i,j)5.3.3时间参数的图上计算法5.3.3.1先计算事项的时间参数，事件的最早时间从总开工事项开始，利用在图上由编号小到大逐个计算。然后计算事项的最迟时间，从总完工事项9开始，由后向前利用式Tl(n)=总工期Tl(i)=min｛tl(j)-t(i,j)｝5.3.3.2工作时间参数的计算Tes(1,j)=0Tes(i.j)=max｛tes(k,i)+t(k,i)}Tef(i,j)=tes(i,j)+t(i.j)先用式 从起点开始，逐个计算工作的最早可能开始时间，然后从终点由后向前Tlf(i.n)=总完工期Tls(i,j)=min｛tls(j.k)-t(i.j)}Tlf(i,j）=tls(i,j)+t(i,j)按下式逐个计算工作的最迟必须开工时间然后利用式tle(i,j)-tes(i,j)tlf(i,j)-tef(i.j)R(i,j)计算总时差最后利用r(i,j)=tes(j,k)-t(i,j)-t(i,j)算出单时差 由运筹学软件得出解题过程及结果为 结果分析，通过求解，得出了此宴会的关键路线：A---B---D---F因此，最早要在30+60+60+30=180分钟前开始准备宴会5.4项目结论关键路线中所含工作项目要严格控制按预定工时进行，否则会拖长整个任务的工期。相对来讲，非关键工作由于时差存在，在资源或人力不足时，可适当调整这些工作的工时及开工时间，不会影响总工期。题目来源：百度文库—案例分析：如何确定项目关建路线结论：通过这一学期几个模型建设实验的过程中，我们学会了来运用运筹学的有关知识，通过建立模型解决实际生活中的相关问题，使得生活中一些复杂的情况可以得到最优质的解决方法。同时锻炼了我们的思考能力，提高了分析、解决问题的能力，为以后的进一步学习和实际应用打下了基础。主要参考文献：案例一分析出自韩伯棠《管理运筹学》第四章49页例六'