福建省福州市2012年3月高三质量检查数学试题(理科)

'2012年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．锥体体积公式：　其中为底面面积，为高球的表面积、体积公式，其中为球的半径参考公式：样本数据，，，的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）第3题图1．抛物线的准线方程为A．　　B．　　C．　　D．2．命题“，”的否定是A．,B．，C．,D．,3．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①；②；③④，那么输出的复数是A．①B．②C．③D．④4.用、表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是A．若，则B．若,，则C．若，则D．若，则第12页 5.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为A．B．C．D．6．在中，点在线段的延长线上，且与点不重合，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．第7题图ABCD7.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个,允许重复．若填入A方格的数字大于方格的数字，则不同的填法共有A．192种B．128种　　　　C．96种D．12种第8题图8．函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为，则函数图象的一条对称轴的方程为A．B．C．D．9.过双曲线（）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．10.若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11．的值等于　★★★　．12．函数（）在处有极值，则曲线第12页 在原点处的切线方程是　★★★　．13．在约束条件下，目标函数（）的最大值为1，则的最大值等于　★★★　．14．设函数（）．给出以下三个判断：①为偶函数；②为周期函数；③．其中正确判断的序号是　★★★　（填写所有正确判断的序号）．第15题图15.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点与边所对应的三个数分别为　★★★　．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分13分）在数列中，，点在直线上．求（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.17．(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为，记此时教室里敞开的窗户个数为．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为，求的数学期望．18．(本小题满分13分)第12页 第18题图如图，椭圆的上、下顶点分别为、，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，为线段中点，直线交直线于点，为线段的中点，求证：．19．(本小题满分14分)如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点、不重合，，．沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当取得最小值时，请解答以下问题：（ⅰ）求四棱锥的体积；（ⅱ）若点满足，试探究：直线与平面所成角的大小是否一定大于？并说明你的理由．第19题图第12页 20．(本小题满分14分)如图①，一条宽为的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是，BC与河岸垂直，垂足为．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，需要改造，旧电缆的改造费用是万元．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（Ⅱ）如图②，点在线段AD上，且铺设电缆的线路为、、.若（），试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值．第20题图第12页 21．本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换利用矩阵解二元一次方程组．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．圆的参数方程为（为参数，），若直线与圆相切，求的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知（，，），求的最大值．第12页 2012年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1.A2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.D9.B10.C第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．　12.　13.　14．①②③　15.3、6、3三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，3分所以．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，7分所以，10分所以．13分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，，1分∴，，，，，6分∴的分布列为：第12页 012347分（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则8分，9分，11分的期望值.答：的期望值等于.13分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）依题意，得．1分∵，，∴．3分∴椭圆的标准方程为．4分（Ⅱ）（法一）证明：设，，则，且．∵为线段中点，∴．5分又，∴直线的方程为．令，得．8分又，为线段的中点，∴．9分∴．10分∴第12页 =．12分∴．13分（法二）同（法一）得：，．9分当时，，此时，∴，不存在，∴．10分当时，，，∵，∴12分综上得．13分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）证明：∵　菱形的对角线互相垂直，∴，∴，1分∵，∴．∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，∴　平面,2分∵平面，∴　.3分∵，∴　平面.4分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.5分（ⅰ）设因为，所以为等边三角形，故，.又设，则，.所以，，，故，6分第12页 所以，当时，.此时，7分由（Ⅰ）知，平面所以.8分（ⅱ）设点的坐标为，由（i）知，，则，，，.所以，，9分∵，　∴．∴，∴．10分设平面的法向量为，则．∵，，∴　，取，解得：，所以.11分设直线与平面所成的角，∴．12分又∵∴．13分∵，∴．因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．14分20.（本小题满分13分）第12页 解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形.因为，所以水下电缆的最短线路为.过作于E，可知地下电缆的最短线路为、.3分又，故该方案的总费用为（万元）…………6分（Ⅱ）因为所以.7分则，9分令则，10分因为，所以，记当，即≤时，当，即<≤时，，所以，从而，12分此时，因此施工总费用的最小值为（）万元，其中．13分21．（本小题满分7分）选修4-2，矩阵与变换解：方程组可写为，2分系数行列式为，方程组有唯一解.第12页 利用矩阵求逆公式得，5分因此原方程组的解为，即7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：∵直线的极坐标方程为，∴直线的直角坐标方程为，2分又圆的普通方程为，所以圆心为，半径为.4分因为圆心到直线的距离，6分又因为直线与圆相切，所以.7分（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（法一）解：∵，，，,∴.5分当且仅当时，取得最大值．7分（法二）解：∵，，∴3分∵,∴，当且仅当时等号成立，6分∴的最大值为．第12页'