2012年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷

'2012年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．抛物线y2=4x的准线方程为A．x=－1B．x=1C．y=－1D．y=12．命题:，ex>0的否定是A．，ex≤0B．，ex≤0C．，ex>0D．，ex<03．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①z=i；②z=－+i；③z=+i；④z=－i．那么输出的复数是A．①B．②C．③D．④4．用m、n表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是A．若m∥n，nα，则m∥αB．若m∥α，nα，则m∥nC．若m⊥n，nα，则m⊥αD．若m⊥α，nα，则m⊥n5．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为A．B．C．D．6．在△ABC中．点O在线段BC的延长线上。且与点C不重合，若=x+(1－x)，则实数x的取值范围是A．(－∞，0)B．(0，+∞)C．(－1，0)D．(0，1)ABCD7．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有A．192种B．128种C．96种D．12种8．函数f（x）=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为A．x=B．x=C．x=4D．x=2 9．过双曲线=1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为A．x±y=0B．2x±y=0C．4x±y=0D．x±2y=010．若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(M，N)，下列选项中，不可能成立的是A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．)11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________l2．函数f（x）=x3+ax(x∈)在x=l处有极值，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程是_____13．在约束条件下，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于_______14．设函数f（x）=(x∈Z)．给出以下三个判断：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1．其中正确判断的序号是________(填写所有正确判断的序号)．15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A、B与边a所对应的三个数分别为___________三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(本小题满分13分)在数列{an}中，a1=2，点(an，an+1)(n∈N*)在直线y=2x上．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn=log2an，求数列的前n项和Tn． l7．(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．18．(本小题满分13分)如图，椭圆(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=－1上，且椭圆的离心率e=．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．19．(本小题满分l4分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．(Ⅰ)求证：BD⊥平面POA；(Ⅱ)当PB取得最小值时，请解答以下问题：(i)求四棱锥P-BDEF的体积；(ii)若点Q满足=λ(λ>0)，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于?并说明理由．第19题图 20．(本小题满分13分)如图①，一条宽为lkm的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．(Ⅰ)已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元／km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．(Ⅱ)如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE=θ(0≤θ≤)，试用θ表示出总施工费用y(万元)的解析式，并求y的最小值．第20题图21．本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换利用矩阵解二元一次方程组．(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1．圆的参数方程为（θ为参数，r>0)，若直线l与圆C相切，求r的值．(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知a2+b2+c2=1(a，b，c∈)，求a+b+c的最大值． 2012年福州市高中质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1.A2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.D9.B10.C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．12.13.14.①②③15.3、6、3三、解答题（本大题共6小题，共80分．)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，3分所以．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以7分所以,10分所以.13分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，，1分∴，，，，，6分的分布列为012347分（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则8分，9分，11分的期望值.答：的期望值等于.13分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）依题意，得．1分 ∵，，∴．3分∴椭圆的标准方程为．4分（Ⅱ）（法一）证明：设，，则，且．∵为线段中点，∴．5分又，∴直线的方程为．令，得．8分又，为线段的中点，∴．9分∴．10分∴=．12分∴．13分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）证明：∵　菱形的对角线互相垂直，∴，∴，1分∵，∴．∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，∴　平面,2分∵平面，∴　.3分∵，∴　平面.4分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.5分（ⅰ）设因为，所以为等边三角形，故，.又设，则，.所以，，，故，6分所以，当时，.此时，7分由（Ⅰ）知，平面所以.8分（ⅱ）设点的坐标为，由（i）知，，则，，，. 所以，，9分∵，　∴．∴，∴．10分设平面的法向量为，则．∵，，∴　，取，解得：，所以.11分设直线与平面所成的角，∴．12分又∵∴．13分∵，∴．因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．14分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形.因为，所以水下电缆的最短线路为.过作于E，可知地下电缆的最短线路为、.3分又，故该方案的总费用为（万元）…………6分（Ⅱ）因为所以.7分则，9分令则，10分因为，所以， 记当，即≤时，当，即<≤时，，所以，从而，12分此时，因此施工总费用的最小值为（）万元，其中.13分21．（本小题满分7分）选修4-2，矩阵与变换解：方程组可写为，2分系数行列式为，方程组有唯一解.利用矩阵求逆公式得，5分因此原方程组的解为，即7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：∵直线的极坐标方程为，∴直线的直角坐标方程为，2分又圆的普通方程为，所以圆心为，半径为.4分因为圆心到直线的距离，6分又因为直线与圆相切，所以.7分（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（法一）解：∵，，，,∴.5分当且仅当时，取得最大值．7分'