材料力学课件第六章截面图形的几何性质.ppt

第六章截面图形的几何性质 §6-1截面的静距与形心位置第六章截面图形的几何性质§6-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩§6-2极惯性矩惯性矩惯性积§6-4惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩 为什么要研究截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理形心主轴与形心主惯性矩组合图形的形心主轴与形心主惯性矩静矩、形心及其相互关系第6章截面的几何性质结论与讨论 为什么要研究截面的几何性质第6章截面的几何性质 ◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量与截面的几何形状有关。FN为什么要研究截面的几何性质 重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式xyPΔPiCiCC1ΔP1x1xCxio右图认为是一个平面力系，则P=∑ΔPi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理即于是有同理有 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y(本节中的x轴就是以前我们所用的z轴)的一些几何性质，例如：惯性矩(momentofinertia)惯性积(productofinertia)§6-1截面的静距与形心位置 1.静矩CxydAxCxyCyO§I-1截面的静矩和形心的位置2.形心3.形心与静矩的关系图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。 例6-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，所以4、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例6-2求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=0 解：组合图形，图形分割及坐标如图901201010xyC1C2[例6-3]试确定下图的形心。 惯性矩、极惯性矩、惯性半径第6章截面的几何性质 ——图形对y轴的惯性矩——图形对z轴的惯性矩——图形对yz轴的惯性积——图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径 ——图形对y轴的惯性半径——图形对z轴的惯性半径zyOdAyzrA第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径 ＞0＞0或＞0＞0＜0第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径zyOdAyzrA 第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径zyOdAyzrA 已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPdrdrdACyz例题2解：取圆环微元面积第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径 已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA解：取平行于x轴和y轴的微元面积例题3第6章截面的几何性质惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理第6章截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理 AzyOdAyzz1y1O´y1=y＋az1=z＋b已知：Iy，Iz，Iyz求：Iy1，Iz1，Iy1z1y1z1ab第6章截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理 y1=y＋az1=z＋bAzyOdAyzz1y1O´y1z1ab第6章截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理 如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0惯性矩与惯性积的移轴定理第6章截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。第6章截面的几何性质惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴的概念惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 一、惯性矩和惯性积的转轴公式转轴公式：注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 y1=|AC|dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a，求、、。=|AD|-|EB|=ycosa-xsina利用三角变换，得到同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina得到公式推导： dAyzzyO惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 dAyzzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOdAzy惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 zyOz0y0α0α0如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principalaxes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principalmomentofinertiaofanarea）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。惯性矩与惯性积的转轴定理第6章截面的几何性质 可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。形心主轴与形心主惯性矩zyOz0y0α0α0第6章截面的几何性质 主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:zyOz0y0α0α0形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质 形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质 对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。第6章截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩 图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，如坐标原点与形心重合,通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。zyOz0y0α0α0形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质 工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyOz0y0α0α0第6章截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩 有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。第6章截面的几何性质形心主轴与形心主惯性矩 组合图形的形心主轴与形心主惯性矩第6章截面的几何性质 工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 求截面形心主惯性矩的基本思路、建立坐标系。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，、求形心主轴方向——0、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-±+== 45例试确定下图的形心主惯性矩。801201010ZyC1(45;5)C2(5;60)解：1、图形分割及坐标如图2、确定形心坐标c(19.5;39.7)ZCYC 463、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。 47801201010ZyC1(45;5)C2(5;60)c(19.5;39.7)ZCYCZCOYCO4、求形心主轴方向——0 485、求形心主惯性矩2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-±+== 例题12已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩5027030300第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 解：1．将所给图形分解为简单图形的组合C1ⅠⅡC25027030300第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 C1C2ⅠⅡ2.建立初始坐标，确定形心位置yzyC1505027030300C第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)90C1C2CyzⅠⅡ150603.确定形心主惯性矩y0z0第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)3.确定形心主惯性矩90C1C2CyzⅠⅡ15060y0z0第6章截面的几何性质组合图形的形心主轴与形心主惯性矩 12010101070例I-7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x0a0图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯性矩大小 如图所示图形，求形心主惯性矩Ixc。解：（2）求形心位置。（3）求：IxC[例3]（1）建立坐标系如图。604545208050yx1xcC②①③ （3）求：IxC604545208050yx1xcC②①③ 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求形心主惯性矩。(b=1.5d)解：（1）建立坐标系如图。（2）求形心位置。（3）建立形心坐标系；求：IxC，IyC，IxCyCdb2dxOyCxC[例4]C db2dxOxCyCx1C 附录【例I-7】已知图中截面的形心为C，求形心主轴Z主惯性矩。方法1：把整个截面分为面积A1,A2,A3如下： 方法二：截面可看出整个矩形减去蓝色图形的面积附录 ：【思考题】求正方形截面Z轴的惯性矩和对原点O的极惯性矩。附录 例I-8求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1a解：由于：，则同理， 结论与讨论第6章截面的几何性质 平面图形几何性质小结一、简单图形的静面矩静面矩的几个规律：⑵图形对过形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面矩为零，则此轴一定过图形的形心。⑶图形对对称轴的静面矩一定为零。二、简单图形的形心⑴Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。重点 形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴上。（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。三、组合图形的静面矩：四、组合图形的形心：五、简单图形的惯性矩重点 简单图形惯性矩的计算⑴圆形截面：⑵矩形截面：六、简单图形的惯性积规律：两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。重点 67七、惯性矩、惯性积的平移轴公式八、组合图形的惯性矩、惯性积：注意：ZC、YC必须是形心坐标。a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，有正负之分。重点九、转轴公式：重点 十、主平面、主惯性矩的确定难点 2、主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。Iz0、Iy0为图形中惯性矩的最大和最小值。3、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（Izcyc=0。且zc、yc为形心轴。zc0、yc0为形心主轴）。4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（Izc0、Iyc0）。十一、几个概念：1、主惯性轴（主轴）：如果图形对某一对坐标轴的惯性积为零，则此对轴为主惯性轴。（Iz0y0=0，z0、y0轴为主轴）。 、建立坐标系。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc，Izcyc，、求形心主轴方向——0、求形心主惯性矩十二、求截面形心主惯性矩的基本思路2200minmax)2(2zyyzyzyczcIIIIIII+-±+== 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩及惯性积，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为Ⅰ.惯性矩和惯性积的平行移轴公式 因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为于是有注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有 同理可得以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。 Ⅱ.组合截面的惯性矩及惯性积若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为y2y1yxbd1hOd2x 例题Ⅰ-6图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90mm×90mm×12mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix和Iy。 解：由型钢规格表查得：25c号槽钢截面90mm×90mm×12mm等边角钢截面形心位置如图所示形心位置如图所示 1.求组合截面的形心位置组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标：于是有距离 2.利用平行移轴公式求Ix和Iy槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为 角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为 于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。 思考题:图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩Iy1，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩Iy并说明理由： 谢谢大家！第六章结束