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材料力学 材料力学的基本知识材料力学的研究模型材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；材料力学的主要研究对象就是等直杆。 材料力学的基本知识变形构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种：弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形变形固体的基本假设连续性假设假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质均匀性假设假设材料的力学性能在各处都是相同的。各向同性假设假设变形固体各个方向的力学性能都相同 材料力学的基本知识材料的力学性能-----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。构件的承载能力：强度---构件抵抗破坏的能力刚度---构件抵抗变形的能力稳定性---构件保持原有平衡状态的能力内力的概念构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。 横截面上内力分析其中：Mx、My、Mz为主矩在x、y、z轴方向上的分量。FNx、FQy、FQz为主矢在x、y、z轴方向上的分量。FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力Mx使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩My、Mz使得杆件分别绕yz轴产生弯曲变形，称为弯矩利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图 横截面上内力计算--截面法截面法求内力步骤将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；取其中任一部分并在截面上画出相应内力；由平衡条件确定内力大小。例：左图左半部分：∑Fx=0FP=FN右半部分：∑Fx=0FP,=FN, 例13-1已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面m-n上的内力解：1、假想从m-n面将机架截开（如图）；2、取上部，建立如图坐标系，画出内力FN，MZ（方向如图示）。（水平部分/竖直部分的变形？）3、由平衡方程得：∑Fy=0FP-FN=0FN=FP∑Mo=0Fp·a-Mz=0Mz=Fp·a 基本变形—(轴向)拉伸、压缩载荷特点：受轴向力作用变形特点：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力FN轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正FN=P 基本变形---剪切载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力FQ剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下 基本变形---扭转载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系T=M 基本变形---弯曲（平面）载荷特点：在梁的两端作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗） 正应力、切应力应力的概念单位面积上内力的大小，称为应力平均应力Pm，如图所示△F△APm=正应力σ单位面积上轴力的大小，称为正应力；切应力τ单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为：1Pa=1N/m2（帕或帕斯卡)常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106Pa=1N/mm2A—截面面积 位移构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。如图：AA’连线称为A点的线位移θ角度称为截面m-m的角位移，简称转角注意，单元K的形状也有所改变 应变分析单元K单元原棱长为△x，△u为绝对伸长量，其相对伸长△u/△x的极限称为沿x方向的正应变ε。△u△x即：εx=lim△x→∞2.a点的横向移动aa’，使得oa直线产生转角γ，定义转角γ为切应变γγ=aa’oa=aa’△x) 胡克定律实验证明：当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即：σ=Εε称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕）同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系即：τ=Gγ此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa 轴向拉压杆件的内力定义以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩内力的计算截面法如左图内力的表示轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况 轴力图例14-1F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示∑Fx=0FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示∑Fx=0–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反）3)图14-1-4位AB杆的轴力图 扭转圆轴的内力扭转变形的定义横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴本课程主要研究圆截面轴功率、转速和扭矩的关系M=9549扭矩图仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就是扭矩图。其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min) 例2扭矩图如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有∑Mx=0得：T1+MB=0T1=-MB=-350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0T3=MD=446N.m3)画出扭矩图如d) 弯曲梁的内力弯曲梁的概念及其简化杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。常见梁的力学模型简支梁一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端的梁。 梁内力的正负规定梁的内力剪力FQ弯矩MC梁内力的正负规定内力方向梁的变形 弯曲梁的内力—例例14-3简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy1232）1-1截面内力：(0≤x1≤a)3）2-2截面内力：(a≤x2<2a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY； 续例14-34）3-3截面内力：(0≤x3≤a，此处x3的起点为B点，方向如图) §14-4内力图----剪力图1.当：0≤x1≤a时AC段FQ1=5q.a/62.当：a≤x2≤2a时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2，直线x2=a；FQ2=5q.a/6（=FQ1）x2=2a；FQ2=-q.a/6（=FQ3）3.当：0≤x3≤a(起点在B点）FQ3=-q.a/6 内力图----弯矩图当：0≤x1≤a时，M1=5q.a.x1/6为直线当：a≤x2≤2a时，为二次曲线；M2=5qax2-q(x2-a)2/2当：0≤x3≤a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=qa2+q.a.x3/6; 典型例题-1已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1〉求A,B支座反力(a+b=l)2〉求x截面内力a)0a)（或CB,a>b）段Qmax=Gb/l最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x) 典型例题-2简支梁受力偶作用求支座反力FAY,FBY得：FAY=-FBY=M/lAC段X截面处剪力FQ=Fay,同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左AC段弯矩方程M1M1=FAY·x=M·x/LBC段弯矩方程M2M2=FAY·x-M=M(x-L)/L 典型例题-3悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且 M、FQ与q的关系设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程得：∑Fy=0;FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a)∑MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b)在上式中略去高阶微量后，得 使用关系式画FQ、M图q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处FQ图水平线q(x)>0,斜直线，斜率>0q(x)<0,斜直线，斜率<0有突变突变量=F无影响M图FQ>0,斜直线，斜率>0FQ<0,斜直线，斜率<0FQ=0,水平线，斜率=0q(x)>0,抛物线，上凹q(x)<0,抛物线，下凹FQ=0,抛物线有极值斜率由突变图形成折线有突变突变量=M 例题-7M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力图：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC=FAYCB：q<0,FQB=-8.5kNBD：q<0,FQB=6kN弯矩图：AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.MCB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m 14-5（c）解答AC:FQAC=-qx;|FQACmax|=qa/2MQAC=-qx2/2;|MQACmax|=qa2/8BC:(B点为圆点，x向左）FB=qa/2-qa/8=3qa/8FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8FQBC=0,x=3a/8MBC=q(3ax-4x2)/8;MBC|x=3a/8=9qa2/128>0;MBC|x=3a/4=0 14-8（c）解答A、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2AB段：q<0；斜直线（左上右下）A点：FQA=FA=qa/2；B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2D点：FQAB=0；x=a/2BC段：q=0；直线（水平）C点：FQC=F=qa=FQB弯矩图：AB段：q<0；抛物线，上凸A点：MC=0，D点：MD=FAa/2–q.a2/8=qa2/8B点：MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0直线（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2D 横截面上的应力平面假设杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式FN—轴力A---横截面面积σ的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负 例15-1一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力解：求轴力FN;FN=-F=-20kN=-20x103N求横截面面积：A1=bh=20x25=500mm2A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2求应力由于1-1，2-2截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的2-2截面上σ=FNA=-20X103300=-66.7MPa（负号表示为压应力） 轴向变形设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形△l和轴向（相对变形）线应变ε分别为：△l=l1-l0直杆横截面上的正应力：当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：σ=Eε由以上可以得到：式中EA称为杆件的抗拉压刚度此式称为拉压变形公式 横向变形与泊松比如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1；那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△b和ε’;△b=b1-b0ε’=△b/b0实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小，ε’为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大，ε’为正；可见，轴向线应变ε和横向线应变ε’恒为异号实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变ε’与轴向线应变ε之比为一负常数：即：或比例系数ν称为泊松比，是量刚为一的量 例15-2p241一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变ε=120x10-6,横向线应变ε’=-38x10-6；试求试样材料的弹性模量E和泊松比ν解：求试件的轴力FN=F=3kN;横截面面积A=bh=120mm2,横截面上的应力σ=F/A根据胡克定律σ=Eε得：泊松比： 例15-3p241钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量AC段：CD段：DB段：总变形：△l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm由ε=△L/L得：ε1=-300x10-6ε2=200x10-6ε3=400x10-6 一、圆轴扭转时横截面上的应力平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直推断结论： 切应变、切应力横截面上任意一点的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比由剪切胡克定律可知：当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：横截面上任意一点的切应力τρ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线 切应力分布根据以上结论：扭转变形横截面上的切应力分布如图a)所示扭矩和切应力的关系：如图b)所示：微面积dA上内力对o点的矩为dM=ρτρdA整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩即： 圆轴的扭转变形计算公式由推导的结论式可以得到：或：变形计算公式于是有：扭转变形横截面任意点切应力计算公式外边缘最大切应力计算公式 截面的几何性质极惯性矩Ｉp扭转截面系数Ｗp其中d为圆截面直径（d、D为圆环内外径） 二、圆轴扭转时的变形由扭转变形计算公式可以计算出，两个相距dx的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角drad对于相距L的两个横截面间的相对扭转角可以通过积分求得：rad对于等截面圆轴，若在长度为l的某两个截面之间的扭矩均为T，那么该两截面的相对扭转角为rad单位长度相对扭转角θrad/m 应力计算例15-5在图示传动机构中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70,d2=50,d3=35.求各轴横截面上的最大切应力.分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min再通过公式：可以求得各轴所受到的外力矩M1M2M3 例15-5(续)解：1、求各轴横截面上的扭矩：E轴：H轴：C轴：2、求各轴横截面上的最大切应力：E轴：H轴：E轴： 应力计算习题15-10、11如图所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、C截面相对于A截面的扭转角CA；3、相对扭转角AB、BC；解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式 15-11续2、求C截面相对A截面的扭转角扭转角计算公式：C截面相对A截面的扭转角为：3、相对扭转角为： 本节要点扭转圆轴的切应力计算公式：最大切应力公式扭转圆轴的横截面上切应力分布规律相对扭转角单位长度相对扭转角 第三讲弯曲梁正应力弯曲正应力公式弯曲梁截面的最大正应力惯性矩的平行轴定理平行轴定理应用举例1平行轴定理应用举例2弯曲正应力计算习题15-14p271作业 第三讲弯曲梁正应力平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力FQ≠0弯矩M≠0剪力FQ=0弯矩M≠0纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度总第16讲 弯曲正应力公式纯弯曲正应力公式推导：如上图1、2得纵向变形：根据胡克定律，可知：由图3得：几何关系物理关系即对照以上各式，得：其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 弯曲梁截面的最大正应力由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：惯性矩计算：A定义式：B积分式：矩形截面Iz的计算：如图 惯性矩的平行轴定理由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和即：Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：对于z轴的惯性矩：对于y轴的惯性矩： 平行轴定理应用举例1工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。解：可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：Iz=Iz1+Iz2+Iz3（-）（+）（+）123Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104(mm4) 平行轴定理应用举例2求图示截面对z轴的惯性矩解：截面可分解成如图组合，A1=300x30=9000mm2A2=50x270=13500mm2yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mmA1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300x303/12=0.675x106mm4I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4由平行轴定理得：I1z=I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z=I2cz+yc22A2=82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1A2 弯曲正应力计算习题15-14p271已知：σA=40MPa(拉),y1=10mm;y2=8mm;y3=30mm求：1)σB,σD；2)σmax(拉）解：σA=40MPa(拉),y1=10mm;由公式：由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：最大拉应力在上半部边缘 弯曲梁的切应力总第17讲横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式 例15-11如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。解：活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为剪力图如例15-11b）FQmax=44.2kN弯矩图如例15-11c)Mmax=1.18kN.m (continue)已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为： 弯曲梁的变形梁弯曲变形的概念挠度----梁的横截面形心在垂直雨量轴线方向的位移称为挠度，用w表示。正负规定：图示坐标中上正下负转角----梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用θ表示。正负规定：逆时针为正，反之为负挠曲线----梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为转角θ与挠度w的关系如图所示：θ≈tanθ=dw(x)/dx=w’即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率w=w(x) 积分法求梁的变形积分法求梁的变形挠曲线公式简单推导由前可知：而在数学中有：略去高阶无穷小，得到：挠曲线近似微分方程积分后：式中的积分常数C、D由梁的边界条件和连续条件确定 积分法求梁的变形举例习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求θmax，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN写出梁的弯矩方程（如图b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzw’’=M(x)=q(l-x)x/2-------------------(1)积分后得到:CONTINUE 习题15-20（续）FINE边界条件：x=0,w=0；D=0；x=l,w=0；C=-ql3/24由（1）可知：θmax为M(x)=0的点；即x=0和x=l处（A,B端点）θmax=θAmax=－θBmax=C/(EIzz)=－(ql3)/(24EIzz)w=－qx(l3+x3－2lx2)/(24EIz)；w’=0；x=l/2；wx=l=－5ql4/(384EIz) 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形叠加法当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。理论基础（略）参见教材常见简单载荷作用下梁的变形教材P261。 叠加法求梁的变形举例习题15-22用叠加法求图示梁B截面的转角和C截面的挠度叠加结果为查表 材料拉压时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能试件仪器压力实验机游标卡尺应力应变曲线比例极限σp弹性极限σe屈服极限σs抗拉强度σb滑移线颈缩 伸长率和断面收缩率伸长率断面收缩率塑性材料：δ≥5%脆性材料：δ＜5%铸铁拉伸铸铁等脆性材料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似认为符合胡克定律。其抗拉强度σb是衡量自身强度的唯一指标。Ψ时衡量材料塑性的一个重要指标 低碳钢和铸铁压缩时的力学性能低碳钢压缩铸铁压缩 名义屈服极限对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常以卸载后产生0.2%的残余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用σP0.2来表示冷作硬化对于这种对材料预加塑性变形，而使其比例极限或弹性极限提高，塑性变形减小的现象称之为冷作硬化。 轴向拉压杆件的强度设计拉压杆的强度设计准则为拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆的强度设计准则为：式中σmax为拉压杆横截面上的最大工作应力[σ]为材料的许用应力对于塑性材料[σ]=σs/ns对于脆性材料[σ]拉=σb拉/nb;[σ]压=σb压/nb； 拉压杆强度设计对于等截面杆，其强度准则可以写成1、强度校核2、选择截面尺寸3、确定许可载荷 －强度校核某铣床工作台的近给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力[σ]=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力：横截面上的应力为：活塞杆强度足够注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出5％。 －选择截面尺寸习题17－3，已知：h=2b，F=40kN，[σ]=100MPa；试设计拉杆截面尺寸h、b。解：求出拉杆的轴力FN;FN=F=40kN拉杆的工作应力σ＝FN/A根据强度准则，有σ≤[σ],即A≥FN/[σ]；而A=hb=2b2所以：2b2≥40×103/100=400mm2求得：b≥14.14mm；h=2b=28.28mm考虑安全，可以取b=15mm，h=30mm结束 例题17-3－确定许可载荷如左图，已知：木杆面积A1=104mm2，[σ]1=7MPa钢杆面积A2=600mm2，[σ]2=160MPa,确定许用载荷[G]。解：1、求各杆的轴力如图b)列平衡方程，得∑Fx=0－FN1－FN2cos300=0∑Fy=0FN2sin300－G=0求解上式，得：FN1=－1.73G,FN2=2G2、用木杆确定[G]由强度准则：σ1=FN1/A1≤[σ]1得：G≤[σ]1A1/1.73=40.4kN3、校核钢杆强度即：σ2=FN2/A2=2G/A2=80.8×103/600=134.67MPa<[σ]2强度足够，故许可载荷[G]=40.4kN结束 －弯曲梁的强度计算梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：和对于等截面梁，可以写成：对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。弯曲正应力 强度校核图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。分析：1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值3、校核强度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩图如b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点为上压下拉，而B点为上拉下压FAFB 例17－6（续1）2、求出B截面最大应力最大拉应力（上边缘）：最大压应力（下边缘）： 例17－6（续2）3、求出C截面最大应力最大拉应力（下边缘）：最大压应力（上边缘）：由计算可见：最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]＋=30MPa最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]－＝60MPa故梁强度足够 梁的截面设计简支梁AB如图所示，已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，a=0.2m，l=2m，F=200kN，试选择工字钢型号。FAFB解：1、计算梁的约束力FA、FB;由于机构对称，所以FA=FB=210kN2、画出梁的剪力图可以看出FQmax=FA=FB=210kN3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.m4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸：σmax＝(Mmax/Wz)≤[σ] 例17－7续变形可以得出：查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h-2t)d；则有：由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其切应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：切应力强度足够，故选22b号工字钢fine 例17－10钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响）已知：F＝80kN,b=80,t=10,δ=10,[σ]=140MPa解：如图b)；FN＝F=80kN,e＝b/2－(b-t)/2=80/2－(80-10)/2=5M=FNe=400kN.mmFN引起的应力M引起的应力 例17－10（续）因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：下边缘应力为：讨论：显然，钢板的强度不够；引起应力增大的原因是偏心距造成的。因此，解决此类问题就是消除偏心距，如左：正应力分布图如下： 总第23讲纯扭圆轴横截面切应力分布圆轴扭转的强度设计准则等截面圆轴扭转的强度设计准则[τ]为许可切应力；通常，对于塑性材料[τ]＝（0.5~0.6)[σ]；对于脆性材料：[τ]＝（0.8~1.0)[σ]扭转圆轴强度设计 例17－11某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=580prm，直径d=55mm，材料的许可切应力[τ]=50MPa，试校核轴的强度。解：传动轴的外力偶矩为：工作切应力的最大值：强度足够！ 例17－12汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知：[τ]=60MPa，若钢管的外径D＝90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。解：1、校核强度带入数据后得：τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa;强度足够2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等)3、两轴重量比 总第24讲轴向拉伸杆件：式中：[△l]为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量平面弯曲梁：式中：[ω]为许用挠度；[θ]为许用转角。扭转变形圆轴：式中：[θmax]为许用扭转角。杆件的刚度准则与刚度设计 例17-15P317飞机系统中的钢拉索，其长度为l=3m，承受拉力F=24kN，弹性模量E=200GPa，需用应力[σ]=120MPa，要求钢拉索在弹性范围内的许用伸长量[△l]=2mm，试求其横截面面积至少应该为多少？解：钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为FN=F=24kN1、由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则，得：2、由轴向拉压杆件的刚度设计准则，得：综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积至少应该为：200mm2 例17-16如图所示阶梯轴，已知：d1=40mm，d2=55mm，MC=1432.5N.m，MA=620.8N.m。轴的许用单位长度扭转角[θ]=20/m，许用切应力[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，试校核轴的强度和刚度。解：由阶梯轴的计算简图b)画出轴的扭矩图c)，得出AB、BC段的扭矩显然，在AB段上AD段各个截面是危险截面，其最大切应力为：BC段的最大切应力为：整个轴的最大切应力所以轴的强度足够 例17-16(续）刚度校核AD段的单位长度扭转角BC段的单位长度扭转角因此，轴的最大单位长度扭转角所以，轴的刚度足够 例17-17图示为一等截面空心机床主轴的平面简图，已知其外径D=80mm,内径d=40mm，AB跨度l=400mm,BC段外伸a=100mm,材料的弹性模量E=210GPa;切削力在该平面上的分力F1=2kN，齿轮啮合力在该平面上的分力F2=1kN，若主轴C端的许用挠度[ω]=0.01mm，轴承B出的许用转角[θ]=0.001rad，试校核机床的刚度。解：机床主轴发生弯曲变形，其惯性矩为：图b)为主轴的计算简图，利用叠加原理，计算出F1、F2单独作用在主轴时C端的挠度。 例17-17（续1）F1单独作用时C端的挠度如图c),由表15-3查得(p261)F2单独作用时C端的挠度如图d),由表15-3查得(p261)B点的转角，由几何关系得：C端的挠度 F1单独作用时B点的转角如图c),由表15-3查得p261F2单独作用时B点的转角如图d),查表得B点的转角如上计算可知，主轴满足刚度要求。例17-17（续2） 总第25讲工程上常用于联结构件的螺栓、铆钉、销钉和键等称为联结件常见联结件的失效形式：剪切和挤压连接件的假定计算：假定应力是均匀分布在剪切面和积压面上联接件的假定计算 剪切的假定计算假定：切应力均匀分布在剪切面上切应力计算公式：FQ—为剪切面上的剪力；A—为剪切面面积剪切强度设计准则：[τ]—为材料的许用切应力，可由试验得到；通常在剪切假定计算时，可以参考拉伸许用应力[σ]，如钢材[τ]=(0.75)~(0.8)[σ] 挤压的假定计算有效积压面面积挤压接触面为平面挤压接触面为曲面挤压应力挤压强度设计准则Fbc－为挤压力Abc－为有效积压面面积[σ]－为需用积压应力 焊接缝的假定计算切应力作用面面积:Amin=δlcos450强度准则:[τ]为焊缝材料的许用切应力 胶粘接缝的假定计算假定：假定垂直于胶粘接缝方向和沿接缝方向的应力都同时满足σ≤[σ]；其中：[σ]＝σb/nb；τ≤[τ]；其中：[τ]＝τb/nb；σb、τb分别为胶粘接缝破坏时的抗拉强度和抗剪强度；通常由垂直于接缝方向的拉伸试验和平行于接缝方向的剪切试验确定。 总第26讲提高弯曲梁承载能力的措施提高弯曲梁强度的措施合理安排载荷和支座选择合理的截面形状提高杆件承载能力的措施 总第26讲－1注意：对拉压强度不同的脆性材料，宜采用上下不对称于中性轴的截面，中性轴位置偏向受拉一侧等强度梁－－变截面梁 圆轴扭转提高圆轴扭转承载能力的措施合理安排轮系选用空心轴 思考题矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的几倍？矩形截面梁的横截面宽度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的几倍？钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均相同，其内力、最大弯矩、最大正应力及梁的最大挠度是否相同？