材料力学课件12.梁弯曲变形的叠加法.pdf

§3.8梁的强度计算习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力[σ]=t40MPa,许用压应力[σc]=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，200即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？30单位（mm）200F=20kN30q=10kN/mBDAC2m3m1m §3.8梁的强度计算解：y1)计算T形界面的形心和惯性矩200302003010020030215yc200220030ycz185mm30132302002003058124Immzc13220030200302151581246010cm §3.8梁的强度计算2)计算支座反力，做内力图F=20kNq=10kN/mF=30kN，F=10kNBDRBRDAyC200302m3m1m200yczMymax30maxIz33201023015810860101024MPat40MPamax §3.8梁的强度计算2)计算支座反力，做内力图F=20kNq=10kN/mF=30kN，F=10kNBDRBRDAyC200302m3m1m200yczMymax30maxIz33201015810860101052.6MPac160MPamax §3.8梁的强度计算2)计算支座反力，做内力图F=20kNq=10kN/mF=30kN，F=10kNBDRBRDAyC200302m3m1m200ycz30MymaxmaxIz33101015810860101026.3MPat40MPamax 前情回顾：弯曲变形的度量积分法F四、挠曲线方程和转角方程Cyy=y（x）……挠曲线方程挠度向下为正；向上为负yθ=θ(x)……转角方程挠度：横截面形心沿垂由变形前的横截面转到变形后，直于轴线方向的位移顺时针为正；逆时针为负。用“y”表示五、挠度和转角的关系转角：横截面绕中y()xytg性轴转过的角度用“”表示tgy 前情回顾：弯曲变形的度量积分法积分法计算梁的变形(EI为常数）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分EIy(x)M(x)EIy(x)M(x)dxC1EIy(x)(M(x)dx)dxCxC123、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。PFPACBD边界条件：y0y0y00ABDD连续条件：yyC左C右C左C右 哈尔滨工业大学本科生课第5章变形计算、刚度条件及超静定问题§5.4用叠加法计算梁的变形§5.5梁的刚度计算，提高刚度的途径§5.7超静定梁的解法 哈尔滨工业大学本科生课§5.4叠加法计算弯曲变形 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形梁上有分布载荷，集中力与集中力偶Meq2qx弯矩方程：MMFxeA2BxMFeqlAMMeqFFsxABx2qxFlM1M2FxM3Me2MMMM123弯矩的叠加原理----梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形梁上有分布载荷，集中力与集中力偶Meq2qx弯矩方程：MMFxeA2BxFEIyM(x)lEIyM(x)M11eqEIyM(x)22ABEIyM(x)x33FlMMMM123弯矩的叠加原理----梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形叠加法计算梁的变形yyyyEIyM(x)123M(x)MMM123yyyyyyyy123123一、前提条件：线弹性、小变形二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。(F,F,,F)(F)(F)(F)B12nB11B22Bnny(F,F,,F)y(F)y(F)y(F)B12nB11B22Bnn三、叠加法的适用性：1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形F例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.q解：a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表(教材P112页)ACaa查简单载荷引起的变形22=FLFaFFA16EI4EI33FLFayFC48EI6EI33qLqaaaqA24EI3EI+5qL45qa4qyqC384EI24EI2aAFAqA(3F4qa)12EIaa435qaFayyyCFqAA24EIE6I §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形q例题2：求图示梁C截面的挠度A解：1、载荷分解如图CL/2L/22、查梁的简单载荷变形表=q4q/25()L2yy;0CaCbA384EIC3、叠加L/2L/2(a)yyyyCCaCbCa0+q/2q45()L5qL4A2C384EIE768Iq/2(b)L/2L/2 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形例题3：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。q解：1)结构分解如图AB2)查梁的简单载荷变形表LCa=（a’）qq（a）LABBCa+CM=qa2/2qa（b）qaM=qa2/2LABC §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形q例题3：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图ABLCa2)查梁的简单载荷变形表qa4=y;Baq8EI12（a）()qaL32qaLyaaBbCb36EIEIB+C3)叠加qayyy（b）BBaBb2M=qa/243qaqaLLAB86EIEIC3qa(3a4)L24EI §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形例题4: 用叠加法确定和y,(EI=常数）CC q解法1:ABC3ql4l/2l/2ql,yC1=C18EI6EIql3q()AC2,l/2l/2CB226EI+lyyCBB222B2AClq4q()l/22l8EIB22 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形例题4: 用叠加法确定和y,(EI=常数）CC q解法1:ABCl/2l/2l44q()4yyyql(2l)41qlCCC12B28EI8EI2384EIl33q()3ql27qlCC1C26EI6EI48EI §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形解法2（逐段刚化法）ql/2M=qa2/8yc1y=0b1yB2yC2lyyyCCC12()yyCBB2222 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形解法2（逐段刚化法）ql/2M=qa2/8yc1y=0b1l()yyCBB2222yB2yyyyC2CCC12 §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形解法2（逐段刚化法）yc1y=0b143llq4q32ql2qlyC1C18EI128EI64EIE8I §5.4用叠加法计算梁的弯曲变形解法2（逐段刚化法）4qlyC1128EI3yqlB2yC2C148EI322qllqll414qlyB22282l384EIyyCBB2223EI2EI22qll2qll434ql314qlqll38ql2282384EIE8I2384EICB228EI2EIEI 哈尔滨工业大学本科生课§5.5梁的刚度计算，提高刚度的途径 §5.5梁的刚度计算提高刚度的途径一、梁的刚度条件yfmaxmaxLL其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。土木工程中，[y/l]通常为1/250–1/1000.机械工程中，[y/l]通常为1/5000–1/10000二、刚度计算、校核刚度：、设计截面尺寸；、确定外载荷。（对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位） §5.5梁的刚度计算提高刚度的途径三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；z跨长——梁的位移与跨长L的n次幂成正比。e.g.（转角为L的2次幂，挠度为L的3次幂）1、增大梁的抗弯刚度（EI）z2、减小跨长或增加支座方法——同提高梁的强度的措施相同3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用） §5.5梁的刚度计算提高刚度的途径注意：同类的材料，E值相差不多，[]相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！ 哈尔滨工业大学本科生课超静定问题的求解 哈尔滨工业大学本科生课一、超静定问题的定义1、静定:结构或杆件的未知力个数等于独立(有效)静力方程个数，利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力——静定问题2、超静定：结构或杆件的未知力个数多于有效静力方程的个数，只利用静力方程不能求出所有的未知力——超静定问题FN1FNX0,FN32FFBDCN1N2AY0.A3P12PAP 哈尔滨工业大学本科生课一、超静定问题的定义3、多余约束：在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。超静定结构可看作在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些约束对于特定的工程要求往往是必要的FN1FNX0,FN32FFBDCN1N2AY0.A3P12P4、多余约束反力：多余约束对应的反力。A多余约束5、超静定的次数=未知力个数–平衡方程个数。P 哈尔滨工业大学本科生课例题试判断图示结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？BDE(a)静定。未知内力数：3AC平衡方程数：3FP 哈尔滨工业大学本科生课例题试判断图示结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？BD(b)静不定。未知力数：5平衡方程数：3AC静不定次数=2FP