导管架海洋平台减振系统的鲁棒H_∞保成本控制方法研究

' 致谢在本论文即将完成之际,谨此向我的导师张宝琳副教授和韩亚洲副教授致以衷心的感谢和崇高的敬意!本论文的工作是在张老师的悉心指导下完成的.张老师以他敏锐的洞察力、渊博的知识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风和对科学的献身精神给我留下了刻骨铭心的印象,这些使我受益匪浅,并将成为我终身献身科学和献身事业的动力.由衷感谢我的室友同学,他们开创性的研究拓展了我的学术视野,无数次的争论和探讨使我的研究工作有了长足的进展.衷心的感谢我的父母和其他亲朋好友对我的关心、支持和理解,没有他们对我的关心、鼓励和支持,我无法完成现在的硕士学业.最后,感谢曾经教育和帮助过我的所有老师.衷心地感谢为评阅本论文而付出宝贵时间和辛勤劳动的专家和教授们!沈沛鼎2012年6月 导管架海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制方法研究摘要：本文结合线性矩阵不等式处理方法和李雅普诺夫稳定性分析方法,对导管架海洋平台的鲁棒H∞保成本控制问题进行了深入的研究,并讨论了包括非线性自激波浪力荷载和随机外部扰动作用下的系统参数不确定性问题,以及在控制通道中人为地引入时滞时系统的鲁棒性问题.首先,针对非线性自激波浪力荷载和随机外部扰动,研究了导管架海洋平台减振系统的H∞保成本控制方法.考虑了传统H∞控制方法的保守性,将保成本控制方法与H∞控制方法相结合,给出了最优H∞保成本控制律存在的充分条件.仿真结果对比最优H∞控制方法,证明H∞保成本控制方法具有更小的保守性.同时,针对海洋平台系统的参数不确定性模型,研究了海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制,通过不等式方法给出了最优鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.仿真结果与最优鲁棒H∞控制方法相比较,验证了该方法的有效性.另外,考虑到控制时滞对系统控制性能的影响,在上述研究的基础上,在控制通道中人为地引入时滞,研究了海洋平台减振系统的H∞保成本控制方法.并给出了记忆型H∞保成本控制律存在的充分条件.通过处理矩阵不等式中的非线性项,结合锥补近似线性化算法求解出系统的记忆型H∞保成本控制律.仿真结果表明,适当地引入时滞能够进一步降低系统的控制能量,并保证海洋平台系统的控制性能.关键词:导管架海洋平台;LMI;H∞;保成本;时滞分类号:TP13I ResearchonRobustH∞GuaranteedCostControlforOffshoreSteelJacketPlatformsAbstract：ThispaperisconcernedwiththeproblemofRobustH∞guar-anteedcostcontrolstrategyforoffshoresteeljacketplatformssubjectedtononlinearself-excitedwaveforcesandexternaldisturbances.BasedonlinearmatrixinequalitytechniqueandLyapunovtheory,theparameterun-certaintymodelproblemandtherobustnessoftimedelayintroducedtostatefeedbackcontrolchannelarediscussed.First,accordingtononlinearself-excitedwaveforcesandexternaldis-turbances,H∞guaranteedcostcontrolschemeforoffshoresteeljacketplat-formsisproposed.ToreducethedesignconservatismofthetraditionalH∞approach,theguaranteedcostcontrolapproachisintroduced.Suffi-cientconditionsfortheexistenceofH∞guaranteedcostcontrollerfortheclosed-loopsystemarederived.Thennumericalexampleshavebeenintro-duced.TheresultsclearlyshowthattheH∞guaranteedcostcontrolschemeprovidesalowerconservatism.Further,fortheparameteruncertainmodel,robustH∞guaranteedcostcontrolschemeisintroduced.Basedoninequalitymethod,sufficientcon-ditionsfortheexistenceofrobustH∞guaranteedcostcontrollerfortheclosed-loopsystemarederived.Simulationresultsshowtheeffectivenessoftheproposedscheme.Consideringtheeffectsoftimedelayonsystemperformance,itisaddedtothecontrolchannel.SufficientconditionsfortheexistenceofmemoryrobustH∞guaranteedcostcontrollerarederived.AnimprovedconecomplementaryalgorithmisdesignedtoselecttheH∞guaranteedcostcontrollaw.Simulationresultsclearlyshowthatanappropriatetimedelaycouldreducethecontrolenergy,andalsoguaranteedthecontrolperfor-II mance.Keywords:steeljacketplatform;LMI;H∞;guaranteedcost;timedelayClassification:TP13III 目次摘要............................................................................................................................I目次............................................................................................................................ii图和附表清单............................................................................................................iii1绪论......................................................................................................................11.1选题背景和研究意义...............................................................................11.2鲁棒H∞控制方法....................................................................................31.3保成本控制方法.......................................................................................41.4本文的主要工作.......................................................................................52预备知识..............................................................................................................62.1符号定义...................................................................................................62.2线性矩阵不等式基本理论.......................................................................62.3时滞系统稳定性.......................................................................................72.4主要引理...................................................................................................83海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制.......................................................93.1导管架海洋平台减振系统数学模型.......................................................93.2海洋平台减振系统的H∞保成本控制....................................................113.2.1问题描述........................................................................................113.2.2H∞保成本控制律设计..................................................................113.2.3数值仿真........................................................................................143.2.4结论................................................................................................183.3海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制............................................203.3.1问题描述........................................................................................203.3.2鲁棒H∞保成本控制律设计.........................................................203.3.3数值仿真........................................................................................213.3.4结论................................................................................................254基于时滞正作用的海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制.......................264.1基于时滞正作用的海洋平台减振系统的H∞保成本控制....................264.1.1问题描述........................................................................................264.1.2记忆型H∞保成本控制律设计.....................................................264.1.3数值仿真........................................................................................30i 4.1.4结论................................................................................................334.2基于时滞正作用的海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制............334.2.1问题描述........................................................................................334.2.2记忆型鲁棒H∞保成本控制律设计.............................................344.2.3数值仿真........................................................................................354.2.4结论................................................................................................365结论与展望..........................................................................................................385.1研究总结...................................................................................................385.2进一步需要开展的工作...........................................................................38参考文献....................................................................................................................39作者简历....................................................................................................................42ii 图清单图1.1墨西哥湾石油钻探平台泄露事故..............................................................2图3.1基于TMD结构的导管架海洋平台简化模型[29].....................................9图3.2作用在导管架海洋平台系统上的未知外部扰动的模拟信号..................15图3.3无控制作用时系统的位移响应..................................................................16图3.4HIC作用下系统的位移响应和控制力曲线...............................................17图3.5HGCC作用下系统的位移响应和控制力曲线..........................................18图3.6无控制作用时带有参数不确定性的系统的位移响应..............................22图3.7RHIC作用下系统的位移响应和控制力曲线............................................23图3.8RHGCC作用下系统的位移响应和控制力曲线........................................24图4.1HGCC作用下τ=0时系统的位移响应和控制力曲线............................31图4.2HGCC作用下τ=0.8时系统的位移响应和控制力曲线.........................32图4.3HGCC作用下不同τ时系统位移响应和控制力的变化曲线..................33图4.4RHGCC作用下τ=0时系统的位移响应和控制力曲线.........................35图4.5RHGCC作用下τ=0.4时系统的位移响应和控制力曲线......................36图4.6RHGCC作用下不同τ时系统位移响应和控制力的变化曲线................37表清单表3.1HGCC作用下不同κ时海洋平台系统的控制器增益...............................18表3.2HGCC作用下不同κ时系统位移响应和控制力.......................................18表3.3RHGCC作用下不同κ时海洋平台系统的控制器增益............................24表3.4RHGCC作用下不同κ时系统位移响应和控制力....................................24表4.1γ=0.15时,HGCC作用下时系统位移响应和控制力.............................32表4.2γ=0.15时,RHGCC作用下系统位移响应和控制力...............................37iii 中国计量学院硕士学位论文1绪论1.1选题背景和研究意义众所周知，近年来随着世界范围内社会经济和科学技术的高速发展,油气资源的消耗不断加剧,陆地原油的开采速度也不断提高,经过过去数十年的开发勘探,陆地上已经很难发现大型油田,而现有的油田正面临着资源拮据和开采艰难的困境,世界各国都逐渐将关注的目光投向了海洋领域的油气勘探与开发.数据显示,海洋中蕴藏了世界范围内70%以上的油气资源,而深水区域是油气资源的重要接替区,潜在石油储存量约1000亿桶.最近10年内,全国53%以上的石油产量来自于海洋,并且开发正加剧提速,2010年则达到了85%.相比之下,具有很大开发潜力的海洋必然会成为未来油气资源开采的主要方向.据统计,我国在近海正在开发的油气田共约50个左右.与此同时,国际油价的不断攀升,也逐渐缓解了深水油气开发的高成本瓶颈问题.因此,深水油气开发战略是我国油气资源发展的必然选择.目前应用海洋平台最为广泛的领域当属海上油气资源的勘探与开发.海洋平台按功能主要划分为钻井平台和生产平台两大类,分别设有钻井设备和采油设备;按结构类型及特点划分,海洋平台大致分为固定式、移动式和顺应式海洋平台三类.目前用于海上石油生产的大多数属于固定式海洋平台,包括桩式和重力式平台两个类型.桩立式海洋平台通过打桩的方法固定于海底,其中的导管架平台是目前海上作业应用最为广泛的一种平台.海洋平台属于大型柔性结构,在外部扰动荷载的作用下,由于其结构特性,必然造成较大幅度的振动响应,对于作业人员的身体状况以及平台结构本身的疲劳度都有着不可避免的影响.随着近几年海洋油气开发力度的不断提高,国内外海洋平台的安全事故也接连不断.比如,2010年4月发生的位于墨西哥湾的英国石油公司“深水地平线”石油钻探平台爆炸事故,造成数千万加仑石油泄漏,成为全球关注的焦点;2011年8月发生的位于英国北海的壳牌石油公司“塘鹅1号”钻井平台海底管道破裂事故,造成200余吨石油泄漏.“十一五”期间,国内海洋石油勘探开发中发生的溢油污染事故共记41起,其中渤海19起,南海22起.在我国油气开发逐步向深海领域发展的同时,海洋平台装置的安全问题,正逐渐地引起公众的关注和担忧.然而,深水油气开发战略已经提上日程.中海油表示,“十二五”期间将启动南海深水战略,规划向南海进军,预计至2015年,中海油在南海深水区的油气总产量将超过2500万吨;在2020年之前,规划在深水区域投资近2000亿元,打造约800口深井,总产量将超过5000万吨.油气勘探发展迫在眉急,技术问题却一直成为制约我国海洋油气勘探开发最重要的因素.近数十年内,由于海洋油气勘探开采的高昂成本,以及我国落后的技术现状,多口油井的特许权出售给了康菲石油等外国石油公司.因此,无论是从社会安全的角度还是从经济利益的方面出发,对海洋平台安全性能的控制研究工作都有着深远的意义.海洋平台结构复杂,多处于恶劣的海况,作为独立的海上作业基地,常会受到海浪、海流、浮冰以及地震等荷载作用.海水深度的增加也伴随着平台固有频率1 中国计量学院硕士学位论文图1.1墨西哥湾石油钻探平台泄露事故的降低.海浪不规则的交变应力更会引起平台系统强烈的振动响应,导致海洋平台系统的累积疲劳损伤,使用寿命降低,更严重的则会造成平台坍塌的灾难.因此,为了提高平台系统的可靠性和安全性,平台减振控制已经成为了国内外海洋工程技术人员的热门课题.从理论和实验研究以及方案设计结合实际工程的分析研究两个方面向工程进行试点和应用发展,众多的隔振、减振技术已经取得了巨大的社会和经济利益.传统的依靠结构本身耗散外部扰动能量的方法显然不够经济安全,而耗能减振技术则是将振源输入结构的能量引向特别设置的机构或者元件中加以吸收和耗散,从而达到保护系统安全的目的.阻尼器减振措施是在平台结构上并联或者串联阻尼器,或者具有接近双线性滞回特性的阻尼耗散效果.常用的阻尼器包括摩擦阻尼器、软钢和合金阻尼器、铅阻尼器、粘弹性阻尼器等等.阻尼器本身没有自动复位功能,只能依靠结构本身的刚度复位.粘弹性阻尼器是阻尼力和速度成正比(或幂次方关系)的线性或弱非线性粘弹性元件,其优点是没有显著的阈值,对各类扰动都能起作用.文献[1]对弹性阻尼器进行了研究.在此基础上,文献[2]将粘弹性阻尼器应用到海洋平台系统中并进行了数值仿真,得到较好的减振控制效果.调谐质量阻尼器(TMD)和调谐流体阻尼器(TLD)是通过二次系统吸收主题结构的振动能量,使系统主要结构减振的元件.TMD元件广泛应用于海洋平台的振动控制中.文献[3]研究了随机波浪力荷载作用下TMD对桩基钢结构海洋平台的减振控制效果,并通过谱分析的方法对TMD元件参数进行了优化.Kawano在文献[4,5]中介绍了一种主动调谐质量阻尼器(AMD)装置,并通过实验得出其减振应用的有效性.接着,文献[6]针对自激波浪力扰动研究了几种主动和被动控制装置的应用.文献[7]对比了多种被动能量耗散装置,包括粘弹性阻尼器、粘性阻尼器以及摩擦阻尼器在波浪力荷载下的控制性能,通过实验仿真得出粘弹性阻尼器的控制效果优于其他几类.文献[8]研究了磁流变阻尼器在自激波浪力扰动下海洋平台系统的横向减振控制效果.然而,通过传统的减振方法增强平台结构,不仅大幅增加了平台的造价，并且由于平台结构的复杂性和外部不确定的荷载扰动,这类被动控制方法难以达到减2 中国计量学院硕士学位论文振要求.自上个世纪七十年代以来,对于海洋平台的研究已经逐渐从结构优化的方面转向各种智能控制方法设计以及控制律实现的角度.通过各种控制设计方法的推陈出新以及控制算法的改进,取得了一系列的研究成果.文献[9]针对最为常见的自激波浪力扰动给出了一套完整的仿真模拟算法，并相应地设计了一种非线性控制方法和一种鲁棒控制方法,有效地将波浪力扰动控制在一个十分理想的范围内.文献[10]结合AMD装置,有效地将传统的鲁棒控制方法应用到海洋平台系统减振控制中.文献[11]针对海洋平台的自激波浪力扰动,在最优控制理论的基础上研究了一种前馈反馈最优控制方法.文献[12]基于Lypunov-Krasovskii稳定性理论设计了一种动态输出反馈控制方法,在控制律设计中引入小时滞,对海洋平台系统减振控制起到正作用影响.文献[13]中针对海洋平台受扰系统,给出了一种带有指数衰减性的最优滑模控制方法.1.2鲁棒H∞控制方法鲁棒控制(RobustControl)方面的研究始于20世纪50年代.所谓鲁棒性,是指系统在一定的参数摄动下,维持某些性能的特性.以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制律称为鲁棒控制律.H∞控制理论作为鲁棒控制理论的一个重要分支,由加拿大学者Zames于1981年最早提出,他通过引入H∞范数作为目标函数进行优化设计,这也标志着H∞控制理论的诞生.H∞控制理论研究大致分为两大阶段:第一阶段主要采用纯频域方法,以H∞范数为基础,把H∞标准转化为模型匹配问题,继而转化为广义距离问题.Zames针对单输入单输出系统,考虑了假定干扰信号属于某一有限能量的已知信号集,设计反馈控制律,使得闭环系统稳定并且保证扰动对系统的影响最小化,即在所有保证闭环系统稳定的控制律当中选出一个使之灵敏度函数的H∞范数最小的控制律,但却没有给出有效的解法.1983年,Zames等在文献[14]中用Nevanlinna-Pick插值理论,给出了H∞最优化问题的最初解法,随后推广到一般的多变量系统中.第二阶段主要用状态空间的方法,以Lyapunov稳定性理论、能控能观性的概念为基础,以状态空间实现为工具,得到次优解的表达式.Doyle等学者[15]分别对状态反馈和输出反馈的情形给出了标准控制问题有解的充要条件以及次优控制律的参数形式,通过Riccati方程得到H∞控制律,并导出了H∞控制理论标准问题的一个相当清晰的解.H∞控制理论是当前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系,而且在进行系统优化时能够考虑不确定扰动的集合,所以称为近年来自动控制理论应用研究的热门话题之一.目前,已尝试应用于飞行控制、导弹制导、电力系统稳定器、机械手、倒立摆等实际系统的控制中.然而,由于不确定性扰动对系统的摄动问题,一味地追求确定目标的最小值,不仅使得结论保守性强,而且对系统的性能鲁棒性造成影响.将闭环系统的最大稳定性作为研究的侧重点,不可避免地会产生高范数增益的问题.3 中国计量学院硕士学位论文1.3保成本控制方法实际系统中由于各种不可避免的因素导致了各类不确定参数的产生,针对系统存在的这些不确定性模型,使闭环系统同时具有鲁棒稳定性和性能鲁棒性的问题具有重要的研究意义和应用价值.不确定系统的保成本控制(GuaranteedCostControl)是解决上述问题的有效方法,由Chang和Peng于1972年在文献[16]中首次提出.它的思想是对于一类含有结构不确定性或者非结构摄动的系统,设计保成本控制律使得闭环系统渐近稳定并且闭环性能指标小于给定的性能指标上界.文献[17,18]通过Riccati方程求解得出了针对范数有解不确定连续系统的次最优保成本控制律,但没有得到最优控制律.文献[19]提出了二次保成本的概念,针对不确定系统构造二次镇定Riccati方程,并求解得到最优保成本控制增益矩阵.在此基础上,文献[20]针对某种二次约束的不确定系统,通过线性矩阵不等式方法设计了一种状态反馈保成本控制律,并在文献[21]中设计了一种输出反馈保成本控制律.针对线性时不变系统,一般给出如下定义[22]:对给定系统和如下性能指标∫∞()J=xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)dt,0其中,x(t)∈Rn表示系统的状态向量,u(t)∈Rm表示控制输入,Q,R为给定的对称正定矩阵.如果存在控制律u∗(t)和正数J∗,使得对所有允许的不确定性,闭环系统渐近稳定,且闭环性能指标满足J≤J∗,则J∗称作系统的成本上界,u∗(t)称作系统的保成本控制律.通过数十年的研究,对于保成本控制方面的研究已经取得了较为可观的进展,并正处于高速的发展当中.但是,保成本控制理论尚未发展成熟,缺乏完善的理论体系,并且在应用领域也存在着诸多困难.尽管如此,伴随着控制技术的不断发展完善以及算法的改进优化,保成本控制必然具有着非常广阔的应用前景.近年来,针对控制系统的多目标设计方法备受关注,其中一种有效的方法称为鲁棒保成本控制.保成本控制在保证闭环系统稳定的同时,使系统不仅具有一个确定的性能指标上界或使其最小二次稳定,又能有效地抑制外部扰动.通过Riccati不等式方法,文献[23]针对系统范数有界的参数不确定性和外部扰动的,研究了带有鲁棒扰动抑制度的最优保成本控制律.文献[24]通过设计状态反馈控制律,针对带有范数有界不确定的线性系统,给出了鲁棒混合保成本控制方法.尽管如此,至今在海洋平台减振控制领域,基于线性不等式方法并且结合鲁棒保成本控制的方法尚未研究.4 中国计量学院硕士学位论文1.4本文的主要工作第一章首先综述了海洋平台的发展,以及海洋平台减振控制的研究现状.重点介绍了鲁棒H∞控制理论和保成本控制理论的发展和应用.第二章为预备知识,介绍了线性矩阵不等式以及时滞系统相关的一些基本概念,并列出了论文中将要使用的几个引理.第三章将首先介绍一类带有主动调谐质量阻尼器(TMD)的导管架海洋平台的非线性控制系统模型.随后针对导管架海洋平台系统,利用H∞控制理论和保成本控制理论结合传统的状态反馈控制设计了H∞保成本控制律,并基于Lyapunov稳定性理论,给出了鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.研究中,运用线性矩阵不等式处理方法将最优控制律求解问题转化为线性凸优化问题.数值仿真验证了该方法的有效性.第四章将首先基于Lyapunov-Krasovskii稳定性理论,人为地在控制通道中引入时滞,设计了基于状态时滞反馈的H∞保成本控制律,并针对导管架海洋平台系统参数不确定性模型,设计了记忆型鲁棒H∞保成本控制律.在控制律求解的过程中,通过采用锥补算法有效地解决了非线性矩阵不等式的求解问题.数值仿真验证了该设计方法的有效性,并肯定了适当地引入时滞对海洋平台减振控制的正作用影响.第五章总结了本文的主要工作,并指出了今后的研究工作方向.5 中国计量学院硕士学位论文2预备知识本章主要介绍了本文需要的一些预备知识,首先简要地介绍了本文需要的一些符号定义,接着介绍了时滞系统稳定性的基本理论,最后列出了论文中需要的几个引理.2.1符号定义本文需要的一些符号和定义:Rn:n维Euclid空间;Rn×m:n×m的实数矩阵组成的集合;I:适当维数的单位矩阵;0:适当维数的零矩阵;X>Y(或者X≥Y):X−Y为正定(或者半正定)矩阵;MT:矩阵M的转置;M−1:矩阵M的逆;∥x∥:向量x的欧氏范数;∥X∥:矩阵X的范数;XYXYT,Z=ZT.:T,其中,X,Y,Z为适当维数的矩阵,且X=X∗ZYZ2.2线性矩阵不等式基本理论线性矩阵不等式(LMI)的一般形式为F(x)=F0+x1F1+...+xmFm<0其中,x,...,x为m个实数变量,称作决策变量.其构成的向量x=(x,...,x)T称1m1m作决策向量.不等号“<”表示矩阵F(x)是负定的.在许多系统和控制问题中,变量以矩阵的形式出现.文献[22]中验证了此类矩阵不等式可以写成LMI的一般形式.引理2.1:Φ=x:F(x)<0是一个凸集.上述引理说明线性矩阵不等式定义了自变量空间的一个凸集,因此是自变量的一个凸约束.正是LMI的这个性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的LMI问题.MATLAB中的LMI工具箱中给出了几种LMI问题的求解器,这里重点介绍两种.首先,假定F,G是对称的矩阵仿射函数,c是给定的常数向量.(1)可行性问题(LMIP):对给定的LMIF(x)<0,检验是否存在x,使得F(x)<0成立的问题称为一个LMI的可行性问题.如果存在这样的x,则该问题是可行的,否则是不可行的.6 中国计量学院硕士学位论文(2)特征值问题(EVP):该问题是在一个LMI约束下,求矩阵G(x)最大特征值的最小化问题或者确定问题的约束是不可行的.其标准形式为mincTxs.t.F(x)<0.2.3时滞系统稳定性通常意义下，我们指的系统稳定性都是Lyapunov稳定性,它是基于能量概念来确定系统的稳定性的.根据经典力学原理,Lyapunov构造了一个通过状态变量描述的能量函数V(x).只要V(x)>0,x,0;V(x)=0,x=0.且V˙(x)<0,则不需要求解系统的运动方程即可证明平衡点的稳定性,称V(x)为Lyapunov函数.定理2.1:[25](连续时间系统的Lyapunov稳定性定理)对于系统x˙=f(x,t),f(0,t)=0,∀t,如果:(1)存在正定函数V(x,t),(2)V˙(x,t)=dV(x,t)是半负定函数,dt则平衡状态xe=0是稳定的.若条件(2)改为:V˙(x,t)是负定函数,则平衡状态x=0是渐近稳定[25]的.e给定常数τ>0,设C=C([−τ,0],Rn)为区间C([−τ,0])映射到Rn的全体构成的Banach空间.对任意t∈[t,∞),记x=x(t+θ)∈Rn(θ∈[−τ,0]),则称0tx˙(t)=f(t,xt)是一个时滞系统.上述方程过(ϕ,t)的解在Rn中记为x(ϕ,t,t)其中f:Rn×C→Rn00为给定泛函,且满足Lipschitz条件.设L为Lipschitz常数,则∥f(ϕ1,t)−f(ϕ2,t)∥≤L∥ϕ1−ϕ2∥.7 中国计量学院硕士学位论文对时滞系统来说,对应的Lyapunov泛函是依赖于xt的泛函V(xt,t),表征了x(t)偏离零解的势能.这样的泛函称作Lyapunov-Krasovskii泛函.文献[26]中给出了Lyapunov-Krasovskii稳定性定理.定理2.2:[26]设f:R×C→Rn为从R×(C的有界子集到Rn的有界子集的映射,u,v,w:R+→R+是连续的非减函数,当s>0时u(s)和v(s)为正,且u(0)=v(0)=0,若存在连续可微泛函V:R×C→R,使得u(∥ϕ(0)∥)≤V(ϕ,t)≤v(∥ϕ∥c),并且V˙(ϕ,t)≤−w(∥ϕ(0)∥),则系统的零解一致稳定.当s>0时w(s)>0,则系统的零解一致渐近稳定;如果还有s→∞时u(s)→∞,则系统的零解全局一致渐近稳定.2.4主要引理[]引理2.2:[22](Schur补引理)对给定的对称矩阵S=S11S12,其中S是r×rSTS111222维的.以下三个条件是等价的:(1)S<0;(2)S<0,S−STS−1S<0;1122121112(3)S<0,S−SS−1ST<0;2211122212引理2.3:[27]给定对称矩阵Y和适当维数的矩阵M,N,则Y+MF(t)N+NTFT(t)MT<0对任意满足条件FT(t)F(t)≤I的矩阵F成立,当且仅当存在常数ε>0,使得Y+εMMT+ε−1NTN<0引理2.4:[28]对任意实对称矩阵W>0和向量函数x˙:[τ,0]→Rn,其中τ>0,满足如下不等式:∫0[]−WWx(t)−τx˙T(t+ε)Wx˙(t+ε)dε≤xT(t)xT(t−τ)−τW−Wx(t−τ)8 中国计量学院硕士学位论文3海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制本章将根据H∞保成本控制理论设计状态反馈控制律,并通过线性矩阵不等式方法给出最优H∞保成本控制律.3.1导管架海洋平台减振系统数学模型导管架海洋平台(SteelJacketPlatform)属于大型柔性结构物,结构复杂,动力学分析通常采用有限元方法实现.但是,采用有限元方法计算,通常会导致较高的模态阶数.所以一般情况下会进行模型降阶处理,将实际模型通过低阶模型近似代替,即将无限多自由度的实际平台系统转化为有限自由度的简化模型,并保证平台主要的动力特性,控制其低阶响应模态,从而达到减小计算量的目的.本文以简化的导管架式海洋平台为主要对象,研究其主动减振控制方法.该简化模型如图3.1所示.图3.1中介绍了通过圆柱形钢质导管搭建的三层海洋平台简化模型以及自激波浪力形态的简化模型.顶部装配了主动调谐质量阻尼器(TMD)装置,并连接至液压随动系统.TMD的动态响应受平台受迫运动和液压随动系统的影响.而液压随动系统通过设计的主动控制律调节响应.图3.1基于TMD结构的导管架海洋平台简化模型[29]对于如图3.1所示的导管架海洋平台,其动态特性由下述微分方程描述:z¨(t)=−2ξωz˙(t)−ω2z(t)−ϕK[ϕz(t)+ϕz(t)]1111111T1122+ϕ1KTzT(t)−ϕ1CT[ϕ1z˙1(t)+ϕ2z˙2(t)]+ϕ1CTz˙T(t)+ϕ1[ζ1(t)−u(t)]+f1(z1(t),z2(t),t)+f2(z1(t),z2(t),t),z¨(t)=−2ξωz˙(t)−ω2z(t)−ϕK[ϕz(t)+ϕz(t)]2222222T1122(3.1)+ϕ2KTzT(t)−ϕ2CT[ϕ1z˙1(t)+ϕ2z˙2(t)]+ϕ2CTz˙T(t)+ϕ2[ζ2(t)−u(t)]+f3(z1(t),z2(t),t)+f4(z1(t),z2(t),t),z¨T(t)=−2ξTωT[˙zT(t)−ϕ1z˙1(t)−ϕ2z˙2(t)]+u(t)/mT−ω2[z(t)+ϕz(t)+ϕz(t)],TT11229 中国计量学院硕士学位论文其中,z1(t),z2(t)表示第1,2阶振动模态的广义坐标;zT(t)表示TMD装置的水平位移.ξ1,ξ2表示第1,2阶振动模态的阻尼比;ξT表示TMD装置的阻尼比.ω1,ω2表√示第1,2阶模态的固有频率;ωT=KT/mT表示TMD装置的固有频率.ϕ1,ϕ2表示第1,2阶模态形参数.CT,mTandKT分别代表TMD装置的阻尼,质量和刚度.fi(z1(t),z2(t),t),i=1,2,3,4表示非线性自激波浪力扰动项.ζ1(t),ζ2(t)表示作用在第1,2阶模态上的未知扰动项.u(t)表示系统的控制律.h表示水深;Ω=2π/T表示波浪固有频率;λ和H分别表示波长和波高;Uow表示波浪在水平面上的流速.非线性自激波浪力扰动项fi(z1(t),z2(t),t),i=1,2,3,4在各节点的作用可以通过Morison方程建模,其近似模型见文献[9].注释3.1.1:如果不考虑作用在平台上的未知外部扰动项,即ζ1(t)≡0,ζ2(t)≡0,则该系统模型退化为文献[9,12,30,31]中的模型.通过变量替换x1(t)=z1(t),x2(t)=z˙1(t),x3(t)=z2(t),(3.2)x4(t)=z˙2(t),x5(t)=zT(t),x6(t)=z˙T(t),并定义状态变量[]Tx(t)=x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)x6(t),f(x(t),t)=f1(x1,x3,t)+f2(x1,x3,t)ζ1(t),ζ(t)=,f3(x1,x3,t)+f4(x1,x3,t)ζ2(t)则由(3.1)可得系统的状态空间描述:x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),x(0)=x0,(3.3)其中010000−ω2−KTϕ2−2ξ1ω1−CTϕ2−KTϕ1ϕ2−CTϕ1ϕ2ϕ1KTϕ1CT111A=000100,−Kϕϕ−Cϕϕ−ω2−Kϕ2−2ξω−Cϕ2ϕKϕCT12T122T222T22T2T000001222ωTϕ12ξTωTϕ1ωTϕ22ξTωTϕ2−ωT−2ξTωT00000−ϕ110ϕ1000000B=,D=,D0=.−ϕ2010ϕ2000001/mT0000(3.4)10 中国计量学院硕士学位论文非线性自激波浪力f(x(t),t)满足约束条件[9]∥f(x(t),t)∥≤µ∥x(t)∥,(3.5)外部扰动ζ(t)∈L2[0,∞],其中,µ为正实数.3.2海洋平台减振系统的H∞保成本控制3.2.1问题描述设控制输出方程为:η(t)=C1x(t)+D1ζ(t),(3.6)其中,C1与D1为适当维数的定常矩阵,其值取决于控制输出变量的选择.下面,设计H∞保成本控制律u(t)=Kx(t),(3.7)其中,K为适当维数的待定矩阵.使得(1)如下闭环系统渐近稳定:x˙(t)=(A+BK)x(t)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),x(0)=x0,(3.8)(2)在零初态条件下,对任意非零ζ(t)∈L2[0,∞],控制输出(3.6)满足H∞指标∥η(t)∥<γ∥ζ(t)∥;(3.9)(3)闭环系统的成本函数∫∞[]J=xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)dt(3.10)000满足J≤J∗,其中,γ为给定的实数,Q和R为给定的对称半正定矩阵和正定00矩阵,J∗为给定的保成本上界.在后面的讨论中,假设下面条件成立:DTD<γ2I.(3.11)113.2.2H∞保成本控制律设计首先,给出H∞保成本控制律存在的充分条件.11 中国计量学院硕士学位论文定理3.1:对给定的µ>0,γ>0,如果存在6×6的实矩阵P>0以及1×6实矩阵K满足下述矩阵不等式:ΛPDPD0µICTKTR01∗−I0000∗∗−γ2I0DT01<0,(3.12)∗∗∗−I00∗∗∗∗−I0∗∗∗∗∗−R0其中Λ=PA+ATP+PBK+KTBTP,(3.13)则系统(3.8)存在保成本控制律,且保成本上界为J∗=xT(0)Px(0).(3.14)证明:首先,证明闭环系统(3.8)的渐近稳定性.为此,选取Lyapunov函数V(x(t))=xT(t)Px(t),(3.15)1其中,P>0.对V(x(t))沿系统(3.8)关于时间求导,同时考虑条件(3.5),易得V˙(x(t))≤αT(t)Ψα(t),(3.16)其中Λ+µ2IPDΨ=.(3.17)∗−I进而,由Schur补引理,从矩阵不等式(3.12)容易得到Ψ<0.因此,闭环系统(3.8)渐近稳定.其次,证明零初态条件下,闭环系统(3.8)满足H∞性能指标(3.9).为此,考虑如下性能指标∫∞[]J=ηT(t)η(t)−γ2ζT(t)ζ(t)dt.(3.18)ηζ0令[]βT(t)=xT(t)fT(x(t),t)ζT(t),显然,零初态条件下,对任意非零的ζ(t)∈L2[0,∞]有∫[]∫∞T2T∞TJηζ≤0η(t)η(t)−γζ(t)ζ(t)+V˙1(x(t))dt=0β(t)Ξ1β(t)dt,(3.19)12 中国计量学院硕士学位论文其中Λ+µ2I+CTC1PDPD0+CTD111Ξ1=∗−I0.(3.20)T2∗0D1D1−γI由矩阵不等式(3.12)可得Ξ1<0,从而有Jηζ<0.亦即,对任意非零的ζ(t)∈L2[0,∞],有∥η(t)∥<γ∥ζ(t)∥.最后,考虑性能函数(3.10)的保成本上界问题.由矩阵不等式(3.12)可得Λ+µ2I+CTC1+KTR0KPDPD0+CTD111∗−I0<0.(3.21)T2∗∗D1D1−γI令Q=CTC,则由式(3.21)可得011Λ+µ2IPDQ0+KTR0K0<−.(3.22)∗−I∗0进而有,V˙(x)<−xT(t)(Q+KTRK)x(t),即J0,γ>0,如果存在6×6的实矩阵P¯>0以及1×6实矩阵K¯满足下述线性矩阵不等式:Λ¯DD0µP¯PC¯TK¯TR01∗−I0000∗∗−γ2I0DT01<0,(3.23)∗∗∗−I00∗∗∗∗−I0∗∗∗∗∗−R0其中Λ=¯AP¯+PA¯T+BK¯+K¯TBT,(3.24)则闭环系统(3.8)存在H保成本控制律u(t)=K¯P¯−1x(t),且保成本上界为∞J∗=xT(0)P¯−1x(0).(3.25)由定理3.2,容易得到下面的结论.13 中国计量学院硕士学位论文推论3.1:(最优H∞控制律)对给定的µ>0,若存在适当维数的矩阵P¯>0,K¯使得下述最小化问题有解,则控制律(4.1)为系统的最优H∞控制律:Minimizeγ2,γ>0,P¯>0,K¯s.t.Λ¯DD0µP¯PC¯T1∗−I000(3.26)∗∗−γ2I0DT<0.1∗∗∗−I0∗∗∗∗−I推论3.2:(最优H∞保成本控制律)对给定的µ>0,若存在适当维数的矩阵P¯>0,K¯使得下述最小化问题有解,则控制律(4.1)为系统的最优H∞保成本控制律:Minimizeγ2+α,γ>0,α>0,P¯>0,K¯s.t.(1)LMI(3.23);(3.27)−αxT(2)0<0.∗−P¯3.2.3数值仿真3.2.3.1系统模型本节给出了对应的系统模型参数,并计算出了状态空间模型的参数矩阵.对应自激波浪力扰动项的参数如下:海水的密度为1025.6kg/m3;H=12.19m;h=76.2m;λ=182.88m;Uow=0.122m/s.对应导管架海洋平台模型的参数如下:钢的密度为7730.7kg/m3;导管架承受的甲板重量为6672.3×103N;第一、二阶振动模态的固有频率分别为ω=11.818rps,ω2=10.8717rps;第一、二阶振动模态的阻尼比均为0.5%;第一、二阶振动模态形参数分别为ϕ1=−0.003445,ϕ2=0.003463.TMD装置的参数如下:ωT=1.8rps;ξT=0.15;KT=1551.5以及CT=256.14 中国计量学院硕士学位论文根据上述系统参数,导管架海洋平台系统的系数矩阵计算如下010000−3.3235−0.02120.01840.0030−5.3449−0.8819A=000100,0.01840.0030−118.1385−0.11185.34650.8822000001−0.0114−0.00190.01140.0019−3.3051−0.5454[]TB=00.0034450−0.0034462800.00213,TD=0−0.0034450000.00000.0034462800令C=1000000.101,D1=.00100000.1系统外部扰动力由给定的范数有界的随机信号近似,如图3.2所示:作用在系统第一、二阶模态上的随机信号幅值分别为4.6×105N和1.1×105N.55x10x101.51.5110.50.500theFirstMode−0.5−0.5theSecondMode−1−1−1.5−1.5050100150050100150Time(s)Time(s)图3.2作用在导管架海洋平台系统上的未知外部扰动的模拟信号15 中国计量学院硕士学位论文3.2.3.2无控制律作用时系统的振动响应当导管架海洋平台系统没有控制律作用时,第一、二、三层平台的位移响应如图3.3所示.由计算知,第一、二、三层平台位移响应的最大振幅分别为1.4159m,110.50.500−0.5−0.5ResponseofFloor1(m)ResponseofFloor2(m)−1−1050100150050100150Time(s)Time(s)10.50−0.5ResponseofFloor3(m)−1050100150Time(s)图3.3无控制作用时系统的位移响应1.5270m和1.6061m,其平均最大振幅为1.5163m.3.2.3.3最优H∞控制律作用下系统的振动响应令µ=0.8,初始状态xT=[0.300.300.30].0由推论3.1,可得最优H∞指标为γ=0.1,最优H∞控制器增益为K=105×[−0.37690.05861.0617−0.0080−0.1398−0.3082].HIC当该最优H∞控制器作用在海洋平台上时,第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图3.4所示.显然,第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.2044m,0.2226m和0.2366m;其平均最大振幅为0.2212m,约降至无控制力作用时系统位移响应最大振幅的14.59%;所需的控制力为1.9423×105N.3.2.3.4最优H∞保成本控制律作用下系统的振动响应选择成本函数的参数矩阵Q=CTC,R=2×10−7.0110由推论3.2,易求出最优H∞指标为γ=0.3901,最优保成本上界为α=3.9268.16 中国计量学院硕士学位论文0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1−0.15−0.15050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.151.50.110.050.500−0.05ControlForce(N)−0.5ResponseofFloor3(m)−0.1−0.15−1050100150050100150Time(s)Time(s)图3.4HIC作用下系统的位移响应和控制力曲线最优H∞保成本控制器增益为K=104×[−0.8177−0.02682.58350.1736−0.2046−0.6572].HGCC当该控制器作用在系统上时,可得系统第一、二、三层的位移响应最大振幅分别降至0.2077m,0.2286m,0.2457m,约降至无控制律作用时系统位移响应最大振幅的14.99%;所需的控制力为1.4864×105N.系统的响应曲线由图3.5给出.和最优H∞控制器相比,容易看到,在最优H∞保成本控制器作用下,对系统的控制性能相当,但所需的控制力明显减少.下面,进一步分析两个指标值γ2和α对系统控制性能的影响.为此,将推论3.2中的优化问题改写为:Minimizeκγ2+α,γ>0,α>0,P¯>0,K¯s.t.(1)LMI(3.23);(3.28)−αxT(2)0<0.∗−P¯当κ取不同值时,求得的系统最优H∞保成本控制器增益由表3.1给出,进而当上述控制器作用在系统上时,系统的最大位移响应及控制力由表3.2给出.由该表可以看出:κ增大时,最优H∞指标减小,最优保成本上界增大,控制效果变好,但是控制力也逐渐增大.所以,在实际控制过程中,基于控制效果的要求和控制能量的实际情17 中国计量学院硕士学位论文0.10.100−0.1−0.1ResponseofFloor1(m)050100150ResponseofFloor2(m)050100150Time(s)Time(s)5x101.50.110.500−0.1−0.5ControlForce(N)−1ResponseofFloor3(m)050100150050100150Time(s)Time(s)图3.5HGCC作用下系统的位移响应和控制力曲线表3.1HGCC作用下不同κ时海洋平台系统的控制器增益caseκ控制器增益K(104)HGCCI1[−0.8177−0.02682.58350.1736−0.2046−0.6572]II10[−0.8717−0.02402.73890.1767−0.2182−0.6921]III102[−1.0544−0.00763.20270.1822−0.2668−0.8125]IV103[−1.78940.12874.44370.1643−0.4828−1.3181]表3.2HGCC作用下不同κ时系统位移响应和控制力caseγαFloor1(m)Floor2(m)Floor3(m)u(105N)I0.39013.92680.20770.22860.24571.4864II0.23494.23330.20530.22600.24291.5040III0.15685.20000.19960.21950.23591.5491IV0.12318.14360.19070.20860.22331.6314况折衷考虑,选择合适的权系数κ.3.2.4结论本节研究了海洋平台系统的H∞保成本控制方法.针对自激波浪力荷载和外部扰动下的导管架海洋平台系统的简化模型,给出了H∞保成本控制律存在的充分条18 中国计量学院硕士学位论文件.仿真结果表明,相对于H∞控制方法,通过选取适当的参数,H∞保成本控制方法在海洋平台减振控制中在保证系统控制性能的同时,能够进一步减小系统的控制能量,具有更小的保守性.19 中国计量学院硕士学位论文3.3海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制3.3.1问题描述本节将针对导管架海洋平台减振系统的时变范数有界不确定性模型,设计鲁棒H∞保成本控制律.系统含有参数不确定性的模型为:x˙(t)=(A+∆A(t))x(t)+Bu(t)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),(3.29)其中,∆A(t)=M1∆1(t)N1,(3.30)式中,M1,N1为给定实矩阵,∆1(t)为满足下述条件的未知矩阵∆T(t)∆(t)≤I,∀t.(3.31)11本节的控制目标是针对导管架海洋平台中的参数不确定性,给定实数γ>0,设计鲁棒H∞保成本控制律u(t)=Kx(t),(3.32)其中,K为适当维数的待定矩阵.使得(1)如下带有参数不确定性的闭环系统渐近稳定:x˙(t)=[A+∆A(t)+BK]x(t)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),x(0)=x0,(3.33)(2)在零初态条件下,对任意非零ζ(t)∈L2[0,∞],控制输出(3.6)满足H∞指标(3.9);(3)闭环系统的成本函数(3.10)满足J≤J∗,其中Q,R为给定的对称半正定矩00阵和正定矩阵,J∗为给定的保成本上界.3.3.2鲁棒H∞保成本控制律设计类似于定理3.2的证明,结合引理2.3,给出关于鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.定理3.3:对给定的µ>0,γ>0,如果存在6×6的实矩阵P¯>0,1×6实矩阵20 中国计量学院硕士学位论文K¯及ϵ>0,满足下述线性矩阵不等式:Λ¯DD0µP¯PC¯TK¯TR0ϵM1PN¯T11∗−I000000∗∗−γ2I0DT0001∗∗∗−I0000<0,(3.34)∗∗∗∗−I000∗∗∗∗∗−R000∗∗∗∗∗∗−ϵI0∗∗∗∗∗∗∗−ϵI其中Λ=¯AP¯+PA¯T+BK¯+K¯TBT,(3.35)则不确定系统(3.29)存在鲁棒H保成本控制律u(t)=K¯P¯−1x(t),且保成本上界如∞(3.25)式所示.推论3.3:(鲁棒最优H∞控制律)对给定的µ>0,若存在适当维数的矩阵P¯>0,K¯及ϵ>0,使得下述最小化问题有解,则控制律(4.22)为系统的鲁棒最优H∞控制律:Minimizeγ2,γ>0,P¯>0,K¯s.t.Λ¯DD0µP¯PC¯TϵM1PN¯T11∗−I00000∗∗−γ2I0DT00(3.36)1∗∗∗−I000<0.∗∗∗∗−I00∗∗∗∗∗−ϵI0∗∗∗∗∗∗−ϵI推论3.4:(鲁棒最优H∞保成本控制律)对给定的µ>0,若存在适当维数的矩阵P¯>0,K¯及ϵ>0,使得下述最小化问题有解,则控制律(4.22)为系统的鲁棒最优H∞保成本控制律:Minimizeγ2+α,γ>0,α>0,P¯>0,K¯s.t.(1)LMI(3.34);(3.37)−αxT(2)0<0.∗−P¯3.3.3数值仿真参数定义同3.2.3节.21 中国计量学院硕士学位论文3.3.3.1无控制律作用时带有参数不确定性的系统的振动响应当带有参数不确定性的导管架海洋平台系统没有控制作用时,第一、二、三层平台的位移响应如图3.6所示.110.50.500−0.5−0.5ResponseofFloor1(m)−1ResponseofFloor2(m)−1050100150050100150Time(s)Time(s)10.50−0.5ResponseofFloor3(m)−1050100150Time(s)图3.6无控制作用时带有参数不确定性的系统的位移响应显然,第一、二、三层平台位移响应的最大振幅分别为1.4180m,1.5371m和1.6181m;其平均最大振幅为1.5244m.3.3.3.2最优鲁棒H∞控制律作用下系统的振动响应由推论3.3,可得最优鲁棒H∞指标为γ=0.1,最优鲁棒H∞控制器增益为K=105×[−2.52850.87742.8573−0.2758−1.0017−2.2189].RHIC当该最优鲁棒H∞控制器作用在海洋平台上时,系统第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图3.7所示.显然,第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.2029m,0.2189m和0.2317m;其平均最大振幅为0.2179m,约降至无控制律作用时系统位移响应最大振幅的14.29%;所需的控制力为1.0616×106N.22 中国计量学院硕士学位论文0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1−0.15−0.15050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.15860.140.05200−2−0.05ControlForce(N)−4ResponseofFloor3(m)−0.1−6−0.15−8050100150050100150Time(s)Time(s)图3.7RHIC作用下系统的位移响应和控制力曲线3.3.3.3最优鲁棒H∞保成本控制律作用下系统的振动响应由推论3.3,易求出最优H∞指标为γ=0.4887,最优保成本上界为α=7.8865.最优H∞保成本控制器增益为K=104×[−3.90011.15466.9404−0.0416−1.6085−3.5507].RHGCC当该控制器作用在系统上时,可得系统第一、二、三层的位移响应最大振幅分别降至0.2149m,0.2328m,0.2457m,约降至无控制律作用时系统位移响应最大振幅的15.16%;所需的控制力为2.6872×105N.系统的响应曲线由图3.8给出.和鲁棒最优H∞控制器相比,容易看到,在鲁棒最优H∞保成本控制器作用下,对系统的控制性能相当,但所需的控制力明显减少.下面,进一步分析两个指标值γ2和α对系统控制性能的影响.为此,将推论3.4中的优化问题改写为:Minimizeκγ2+α,γ>0,α>0,P¯>0,K¯s.t.(1)LMI(3.34);(3.38)−αxT(2)0<0.∗−P¯当κ取不同值时,求得的系统鲁棒最优H∞保成本控制器增益由表3.3给出,进而当上述控制器作用在系统上时,系统的最大位移响应及控制力由表3.4给出.由该表23 中国计量学院硕士学位论文0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05−0.1−0.1ResponseofFloor1(m)ResponseofFloor2(m)−0.15−0.15050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.1520.110.0500−0.05ControlForce(N)−1−0.1ResponseofFloor3(m)−0.15−2050100150050100150Time(s)Time(s)图3.8RHGCC作用下系统的位移响应和控制力曲线表3.3RHGCC作用下不同κ时海洋平台系统的控制器增益caseκ控制器增益K(104)RHGCCI1[−3.90011.15466.9404−0.0416−1.6085−3.5507]II10[−4.14951.22617.2825−0.0638−1.7020−3.7486]III102[−5.05581.50198.4279−0.1521−2.0539−4.4874]IV103[−9.1362.87112.653−0.616−3.735−7.967]表3.4RHGCC作用下不同κ时系统位移响应和控制力caseγαFloor1(m)Floor2(m)Floor3(m)u(105N)I0.48877.88650.21490.23280.24572.6872II0.29118.37430.21350.23140.24422.7688III0.19089.89530.21020.22780.24053.0776IV0.150414.00390.20530.22250.23504.551424 中国计量学院硕士学位论文可以看出:κ增大时,鲁棒最优H∞指标减小,鲁棒最优保成本上界增大,控制效果变好,但是所需的控制力也逐渐增大.所以,在实际控制过程中,基于控制效果的要求和控制能量的实际情况折衷考虑,选择合适的权系数κ.3.3.4结论本节研究了具有参数不确定模型的海洋平台系统的鲁棒H∞保成本控制方法.给出了鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.仿真结果表明,鲁棒H∞保成本控制方法相对于鲁棒H∞控制方法,在海洋平台减振控制中能够进一步减小控制能量,具有更好的控制性能.25 中国计量学院硕士学位论文4基于时滞正作用的海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制时滞通常是系统不稳定的主要原因,时滞系统的显著特点是:当控制参数变化时,被控量需要延迟一段时间才能响应.控制律的不同步实施,通常情况下不仅降低了系统的控制性能,而且使得系统的鲁棒性减弱.但是,能否结合有效地控制方法,使得时滞在系统减振控制过程中发挥正作用影响,这是本章重点讨论的内容之一.本章将根据H∞保成本控制理论设计记忆型状态反馈控制律,并讨论在控制通道中人为地引入合适的时滞对导管架海洋平台减振系统的正作用问题.4.1基于时滞正作用的海洋平台减振系统的H∞保成本控制4.1.1问题描述设系统模型由式(3.3)给出,设计记忆型H∞保成本控制律u(t)=K1x(t)+K2x(t−τ),t>τ(4.1)其中K1,K2为适当维数的待定矩阵矩阵,τ为引入的定常时滞.注释4.1.1:当t∈[0,τ]时,取K1=K,K2=0.其中,K由定理3.2确定.下面设计控制律(4.1),使得(1)如下闭环系统渐近稳定:x˙(t)=(A+BK1)x(t)+BK2x(t−τ)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),(4.2)x(t)=x(0),t∈[−τ,0].(2)在零初态条件下,对任意非零ζ(t)∈L2[0,∞],控制输出(3.6)满足H∞指标(3.9);(3)系统的成本函数(3.10)满足J≤J∗,其中Q,R为给定的对称半正定矩阵和00正定矩阵,J∗为给定的保成本上界.4.1.2记忆型H∞保成本控制律设计首先,给出记忆型H∞保成本控制律存在的充分条件.26 中国计量学院硕士学位论文定理4.1:对给定的µ>0,γ>0以及时滞τ>0,如果存在6×6的实矩阵P>0,Q>0,R>0以及1×6实矩阵K1,K2满足矩阵不等式:ΦPBK2+RPDPD0µIτ(AT+KTBT)CTQ0KTR0111∗−Q−R000τKTBT00KTR022T∗∗−I00τD000∗∗∗−γ2I0τDTDT0001∗∗∗∗−I0000<0,(4.3)∗∗∗∗∗−R−1000∗∗∗∗∗∗−I00∗∗∗∗∗∗∗−Q00∗∗∗∗∗∗∗∗−R0其中Φ=PA+ATP+PBK+KTBTP+Q−R,(4.4)11则系统(4.2)存在保成本控制律,且保成本上界为J∗=xT(0)[P+τQ]x(0)+γ2ρ2.(4.5)证明:首先,证明闭环系统的渐近稳定性.为此,选取Lyapunov泛函∫t∫0∫tV(x)=xT(t)Px(t)+xT(s)Qx(s)ds+τdsx˙T(θ)Rx˙(θ)dθ,(4.6)2tt−τ−τt+s其中,xt=x(t+s),s∈[−τ,0].P,Q,R为待求的正定矩阵.对V(xt)沿系统(4.2)关于时间求导,易得V˙(x)≤ψT(t)(Θ+τ2ΥTRΥ)ψ(t),(4.7)2t其中[]ψT(t)=xT(t)xT(t−τ)fT(x(t),t),Φ+µ2IPBK2+RPDΘ=∗−Q−R0,(4.8)∗∗−I[]Υ=A+BK1BK2D.进而由Schur补引理,从矩阵不等式(4.3)容易得到Θ+τ2ΥTRΥ<0.因此闭环系统(4.2)渐近稳定.其次,证明零初态条件下,闭环系统(4.2)满足H性能指标(3.9).令αT(t)=[]∞xT(t)xT(t−τ)fT(x(t),t)ζT(t),注意到条件(3.5),易得V˙(x)≤αT(t)(Π+τ2ΓTRΓ)α(t),(4.9)2t27 中国计量学院硕士学位论文其中Φ+µ2IPBK2+RPDPD0Π=∗−Q−R00,∗∗−I0(4.10)∗∗∗0[]Γ=A+BK1BK2DD0.考虑性能指标(3.18).显然,在零初态条件下,对任意非零的ζ(t)∈L2[0,∞]有∫∞()J≤ηT(t)η(t)−γ2ζT(t)ζ(t)+V˙(x)dtηζ2t∫0∞[]=αT(t)(Ξ+τ2ΓTRΓ)α(t)dt,20其中Φ+µ2I+CTC1PBK2+RPDPD0+CTD111Ξ=∗−Q−R00.(4.11)2∗∗−I0T2∗∗∗D1D1−γI由Schur补引理知,矩阵不等式(4.3)成立,则Ξ+τ2ΓTRΓ<0.进而由(??)知2Jηζ<0.亦即,对任意非零的ζ(t)∈L2[0,∞],有∥η(t)∥<γ∥ζ(t)∥.最后,考虑性能函数(3.10)的保成本上界问题.由矩阵不等式(4.3)可得Ξ+τ2ΓTRΓ+Ω<0,(4.12)22其中Q0+KTR0K1KTR0K20011∗KTR0K200Ω2=2.(4.13)∗∗00∗∗∗0即Ξ+τ2ΓTRΓ<−Ω,(4.14)22进而有V˙(x)+ηT(t)η(t)−γ2ζT(t)ζ(t)<−xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t),2t00即J0,γ>0以及时滞τ>0,如果存在6×6的实矩阵P¯>0,Q¯>0,R¯>0以及1×6实矩阵K¯1,K¯2满足如下条件:Φ¯BK¯2+RDD0µP¯τ(PA¯T+K¯TBT)PC¯TPQ¯0K¯TR0111∗−Q¯−R¯000τK¯TBT00K¯TR022T∗∗−I00τD000∗∗∗−γ2I0τDTDT0001∗∗∗∗−I0000<0,(4.16)∗∗∗∗∗−S000∗∗∗∗∗∗−I00∗∗∗∗∗∗∗−Q00∗∗∗∗∗∗∗∗−R0S¯L¯≥0,(4.17)∗M¯SS¯=I,L¯P¯=IM¯R¯=I,(4.18)其中Φ=¯AP¯+PA¯T+BK¯+K¯TBT+Q¯−R¯,(4.19)11则闭环系统(4.2)存在保成本控制律,且保成本上界为J∗=xT(0)[P¯−1+τP¯Q¯−1P¯]x(0)+γ2ρ2.(4.20)根据上述定理,矩阵不等式求解的问题转化为非线性最小化问题(Nonlinearminimizationproblem:NMP):MinimizeTrace(SS¯+L¯P¯+M¯R¯),γ>0,P¯>0,Q¯>0,R¯>0,K¯1,K¯2s.t.(1)LMIs(4.16),(4.17);(4.21)S¯IL¯IM¯I(2)<0,<0,<0.∗S∗P¯∗R¯29 中国计量学院硕士学位论文通过构造如下数值算法,可以实现上述NMP的求解.首先构造如下状态变量及其初始解Γ=(P¯,Q¯,R¯,S¯,S,L¯,M¯,K¯1,K¯2)Γ(0)=(P¯(0),Q¯(0),R¯(0),S¯(0),S(0),L¯(0),M¯(0),K¯(0),K¯(0))12算法4.1非线性最小化问题的锥补算法(0)1:令k=0,给定一组初始解Γ满足NMP中所有的LMIs以及参数δ>0.(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)2:令S¯=S¯,S=S,L¯=L¯,P¯=P¯,M¯=M¯,R¯=R¯;求解下述NMPMinimizeTrace(S¯(k)S+S(k)S¯+L¯(k)P¯+P¯(k)L¯+M¯(k)R¯+R¯(k)M¯),Γs.t.(1)LMIs(4.16),(4.17);.S¯IL¯IM¯I(2)<0,<0,<0.∗S∗P¯∗R¯3:如果上述NMP问题在给定迭代次数内不能满足如下条件,则退出;|Trace(S¯(k)S+S(k)S¯+L¯(k)P¯+P¯(k)L¯+M¯(k)R¯+R¯(k)M¯)−36|<δ.否则,令k=k+1,返回Step2.4.1.3数值仿真参数定义同3.2.3节.4.1.3.1H∞保成本控制律作用下系统的振动响应给定γ=0.15,由定理3.2,通过线性矩阵不等式求解,可得H∞保成本控制器增益为K=105×[−1.98060.36124.6331−0.1842−0.7211−1.5354].HGCC第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图4.1所示.显然,当该H∞保成本控制器作用在海洋平台上时,系统第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.1932m,0.2104m和0.2238m;其平均最大振幅为0.2091m,约降至无控制力作用时系统位移响应最大振幅的13.79%;所需的控制力为5.6462×105N.30 中国计量学院硕士学位论文0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.1540.120.0500−0.05ControlForce(N)−2ResponseofFloor3(m)−0.1−0.15−4050100150050100150Time(s)Time(s)图4.1HGCC作用下τ=0时系统的位移响应和控制力曲线4.1.3.2记忆型H∞保成本控制律作用下系统的振动响应由定理4.2和算法4.1,易求出记忆型H∞保成本控制器增益为K=104×[−4.00130.93598.2139−0.3979−2.0057−3.2405];1K=103×[−1.3797−0.59194.09831.21170.4696−1.1198].2当该控制器作用在系统上时,系统第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图4.2所示.显然,第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.1964m,0.2144m和0.2281m;其平均最大振幅为0.2129m,约降至无控制力作用时系统位移响应最大振幅的13.97%;所需的控制力为3.6552×105N.和H保成本控制器相∞比,容易看到,在记忆型H∞保成本控制器作用下,对系统的控制性能相当,但所需的控制力明显减少.下面,进一步分析时滞τ的引入对系统控制性能的影响.在记忆型HGCC方法作用下,τ<1时导管架海洋平台系统的位移响应和控制力的最大振幅由表4.1给出.当τ取不同值时,系统第一、二、三层位移响应和控制力的最大振幅变化曲线由图4.3给出.系统的控制性能和控制能量,随τ的增大呈规则的周期性变化.以τ取0.8为例,不难看出,在保证系统的减振控制性能的同时,人为地引入时滞,能够将系统所需的控制力进一步减小35.26%.31 中国计量学院硕士学位论文0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1−0.15−0.15050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.1530.120.05100−0.05−1ControlForce(N)ResponseofFloor3(m)−0.1−2−0.15−3050100150050100150Time(s)Time(s)图4.2HGCC作用下τ=0.8时系统的位移响应和控制力曲线表4.1γ=0.15时,HGCC作用下时系统位移响应和控制力caseτ(s)Floor1(m)Floor2(m)Floor3(m)u(105N)I00.19320.21040.22385.6462II0.10.20040.21830.23283.7604III0.20.19930.21790.23363.4638IV0.30.19900.21680.23233.1603V0.40.19810.21600.23133.5782VI0.50.19690.21550.23033.5355VII0.60.19740.21480.23043.2993VIII0.70.19680.21450.22913.5180IX0.80.19640.21440.22813.6552X0.90.19730.21460.23023.626132 中国计量学院硕士学位论文0.2040.2220.2020.220.20.218FirstFloor(m)0.198SecondFloor(m)0.2160.1960.21405100510Time−delay(s)Time−delay(s)5x100.2383.80.2363.60.2343.40.232ThirdFloor(m)ControlForces(N)3.20.230.228305100510Time−delay(s)Time−delay(s)图4.3HGCC作用下不同τ时系统位移响应和控制力的变化曲线4.1.4结论本节针对自激波浪力荷载和外部扰动下的导管架海洋平台系统的简化模型,人为地在控制通道中引入时滞,并给出了记忆型H∞保成本控制律存在的充分条件.仿真结果表明,通过选取合适的时滞,记忆型H∞保成本控制方法在保证海洋平台减振控制性能的基础上,能够进一步减小系统的控制能量,具有更小的保守性.综上所述,针对导管架海洋平台系统,在控制通道中人为地引入合适的时滞,对于导管架海洋平台的减振控制会起到积极影响.4.2基于时滞正作用的海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制4.2.1问题描述本节将针对导管架海洋平台减振系统中的时变范数有界不确定性模型,设计鲁棒记忆型H∞保成本控制律.本章节的控制目标是对给定的实数γ>0,设计记忆型鲁棒H∞保成本控制:u(t)=K1x(t)+K2x(t−τ),t>τ.(4.22)其中K1,K2为适当维数的待定矩阵,τ为引入的定常时滞.使得33 中国计量学院硕士学位论文(1)如下闭环系统渐近稳定:x˙(t)=(A+∆A(t)+BK1)x(t)+BK2x(t−τ)+Df(x(t),t)+D0ζ(t),(4.23)x(t)=x(0),t∈[−τ,0](2)在零初态条件下,对任意非零ζ(t)∈L2[0,∞],控制输出(3.6)满足H∞指标(3.9);(3)闭环系统的成本函数(3.10)满足J≤J∗,其中Q,R为给定的对称半正定矩00阵和正定矩阵,J∗为给定的保成本上界.4.2.2记忆型鲁棒H∞保成本控制律设计类似于定理4.2的证明,结合引理2.3,首先给出记忆型鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.定理4.3:对给定的µ>0,γ>0以及时滞τ>0,如果存在6×6的实矩阵P¯>0,Q¯>0,R¯>0以及1×6实矩阵K¯1,K¯2及ϵ>0,满足(4.17)(4.18)及线性矩阵不等式:ΦΦ¯2DD0µP¯Φ4PC¯TPQ¯0K¯TR0ϵM1PN¯T111∗Φ000τK¯TBT00K¯TR003220∗∗−I00τDT00000∗∗∗−γ2I0τDTDT000001∗∗∗∗−I000000∗∗∗∗∗−S00000<0,(4.24)∗∗∗∗∗∗−I0000∗∗∗∗∗∗∗−Q0000∗∗∗∗∗∗∗∗−R000∗∗∗∗∗∗∗∗∗−ϵI0∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−ϵI其中,Φ=BK¯+R,Φ=−Q¯−R¯,Φ=τ(PA¯T+K¯TBT).22341则系统(4.2)存在保成本控制律,且保成本上界如(4.20)式所示.34 中国计量学院硕士学位论文4.2.3数值仿真4.2.3.1鲁棒H∞保成本控制律作用下系统的振动响应给定γ=0.15,由定理3.3,通过线性矩阵不等式求解,可得鲁棒H∞保成本控制器增益为K=105×[−1.95010.57372.8513−0.1672−0.7744−1.6504].RHGCC第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图4.4所示.显然,当该鲁棒H∞保成本控制器作用在海洋平台上时,系统第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.2023m,0.2196m和0.2323m;其平均最大振幅为0.2181m,约降至无控制力作用时系统位移响应最大振幅的14.31%;所需的控制力为6.5453×105N.0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.1540.120.0500−0.05ControlForce(N)−2ResponseofFloor3(m)−0.1−4050100150050100150Time(s)Time(s)图4.4RHGCC作用下τ=0时系统的位移响应和控制力曲线4.2.3.2记忆型鲁棒H∞保成本控制律作用下系统的振动响应由定理4.3和算法4.1,易求出记忆型H∞保成本控制器增益为K=104×[−1.51810.36954.6810−0.0803−0.5686−1.2475];1K=104×[−0.5469−0.29653.14230.08970.4236−0.2445].2当该控制器作用在系统上时,系统第一、二、三层平台的位移响应以及控制力曲线由图4.2所示.显然,第一、二、三层平台的位移响应最大振幅分别降至0.2026m,35 中国计量学院硕士学位论文0.2187m和0.2327m;其平均最大振幅为0.2180m,约降至无控制力作用时系统位移响应最大振幅的14.30%;所需的控制力为2.5073×105N.和鲁棒H保成本控制器∞相比,容易看到,在记忆型鲁棒H∞保成本控制器作用下,对系统的控制性能相当,但所需的控制力明显减少.0.150.150.10.10.050.0500−0.05−0.05ResponseofFloor1(m)−0.1ResponseofFloor2(m)−0.1−0.15−0.15050100150050100150Time(s)Time(s)5x100.151.50.110.050.500−0.05−0.5ControlForce(N)ResponseofFloor3(m)−0.1−1−0.15−1.5050100150050100150Time(s)Time(s)图4.5RHGCC作用下τ=0.4时系统的位移响应和控制力曲线下面,进一步分析时滞τ的引入对系统控制性能的影响.在记忆型RHGCC方法作用下,τ<1时导管架海洋平台系统的位移响应和控制力的最大振幅由表4.1给出.当τ取不同值时,系统第一、二、三层位移响应和控制力的最大振幅变化曲线由图4.6给出.以τ取0.4为例,不难看出,在保证系统的减振控制性能的同时,人为地引入时滞,能够将系统所需的控制力进一步减小61.69%.4.2.4结论本节针对参数不确定模型,人为地在控制通道中引入时滞,并给出了记忆型鲁棒H∞保成本控制律存在的充分条件.仿真结果表明,通过选取合适的时滞,鲁棒H∞保成本控制方法在海洋平台减振控制中能够进一步减小控制能量,并且具有较好的控制性能.综上所述,针对带有参数不确定性的海洋平台系统,在控制通道中人为地引入合适的时滞,对于海洋平台的减振控制会起到积极影响.36 中国计量学院硕士学位论文表4.2γ=0.15时,RHGCC作用下系统位移响应和控制力caseτ(s)Floor1(m)Floor2(m)Floor3(m)u(105N)I00.20230.21960.23236.5453II0.10.20470.22090.23522.5929III0.20.20410.21990.23392.5261IV0.30.20290.21920.23242.3158V0.40.20260.21870.23272.5073VI0.50.20310.21840.23242.7217VII0.60.20330.21890.23132.6013VIII0.70.20410.21960.23222.4638IX0.80.20510.22020.23302.5585X0.90.20540.22060.23262.64090.2250.240.220.2350.2150.230.210.225FirstFloor(m)SecondFloor(m)0.2050.220.20.21505100510Time−delay(s)Time−delay(s)5x100.2552.80.252.72.60.2452.50.242.40.235ThirdFloor(m)2.3ControlForces(N)0.232.20.2252.105100510Time−delay(s)Time−delay(s)图4.6RHGCC作用下不同τ时系统位移响应和控制力的变化曲线37 中国计量学院硕士学位论文5结论与展望5.1研究总结本文主要用鲁棒H∞保成本控制方法研究了导管架海洋平台减振系统的稳定性分析和控制器设计.所完成的主要工作和结论如下:(1)针对非线性自激波浪力荷载和未知外部扰动,给出了导管架海洋平台减振系统最优H∞保成本控制器存在的充分条件;进而,针对平台系统的参数不确定性模型,结合不等式方法给出了导管架海洋平台减振系统最优鲁棒H∞保成本控制器存在的充分条件.数值仿真验证了H∞保成本控制方法较H∞控制方法,在保证控制性能的前提下,能够进一步减小控制能量.(2)人为地在控制通道中引入时滞,结合锥补近似线性化算法和线性不等式变换技术给出了导管架海洋平台减振系统记忆型H∞保成本控制器存在的充分条件.数值仿真验证了在控制通道中人为地引入合适的时滞,能够在保证系统控制性能的基础上,进一步减少系统的控制能量;并且,随着时滞的增大,系统的控制效果和控制力呈周期性的变化.(3)在H∞保成本控制方法下,在实际控制过程中,基于控制效果的要求和控制能量的实际情况折衷考虑,可以选择合适的H∞指标和保成本上界指标的权系数.5.2进一步需要开展的工作本文在海洋平台减振系统的鲁棒H∞保成本控制方法以及平台减振安全性方面进行了系统化的研究.作者基于自身的认识,认为以下几个方面有待进一步研究讨论:(1)在仿真导管架海洋平台控制响应时,考虑了平台外部随机扰动的影响.而现实中这类扰动可以细化为冰、地震、风等具体的扰动.如果能结合具体环境耦合各类扰动,计算结果将更接近实际情况.(2)在引入时滞问题的时候,选取的是定常时滞,能否考虑实际系统中存在的变时滞问题.(3)能否结合其他的控制性能指标优化海洋平台的减振控制性能.38 中国计量学院硕士学位论文参考文献[1]周云，邓雪松，赵东．铅粘弹性阻尼器性能试验研究[J]．地震工程与工程振动．2001，21(1)：139–144．[2]欧进萍，肖仪清．设置粘弹性耗能器的JZ20-2MUQ平台结构冰振控制[J]．海洋工程．2000，18(3)：9–14．[3]陆建辉，彭临慧，李华军．固定式近海石油平台振动控制研究[J]．中国造船．2000，41(3)：63–68．[4]KawanoK,VenkataramanaK.SeismicresponseofoffshoreplatformwithTMD[C].In10thWorldConferenceonEarthquakeEngineering.Madrid,Spain,july1992.[5]KawanoK.Activecontroleffectsondynamicresponseofoffshorestructures[C].In3rdISOPEConference.1993.[6]Abdel-RohmanM.Strcturecontrolofsteeljacketplatform[J].StructureEngineeringandMe-chanics.1996,4:25–38.[7]PatilKC,JangidRS.Passivecontrolofoffshorejacketplatforms[J].OceanEngineering.2005,32(16):1933–1949.[8]KawanoK,VenkataramanaK.Semi-activecontrolofwave-inducedvibrationforoffshoreplat-formsbyuseofMRdamper[C].InInternationalConferenceonOffshoreMechanicsandArticEngineering.Oslo,Norway,July2002.[9]ZribiM,AlmutairiN,Abdel-RohmanM,etal.Nonlinearandrobustcontrolschemesforoff-shoresteeljacketplatforms[J].NonlinearDynamics.2004,35:61–80.[10]HanDS,JiangXF,HanQL.H∞controlforoffshorestructureswithpersistentdisturbances[C].Inthe2006IEEEInternationalConferenceonInformationAcquisition.Weihai,China,Aug2006.[11]MaH,TangGY,ZhaoYD.Feedforwardandfeedbackoptimalforoffshorestructuressubjecttoirregularwaveforces[J].OceanEngineering.2006,33:1105–1117.[12]ZhangXM,HanQL,HanDS.Effectsofsmalltime-delaysondynamicoutputfeedbackcontrolofoffshoresteeljacketstructures[J].JournalofSoundandVibration.2011,330(16):3883–3900.[13]ZhangBL,TangGY,MaH.Optimalslidingmodecontrolwithspecifieddecayrateforoffshoresteeljacketplatform[J].ChinaOceanEngineering.2010,24(3):443–452.[14]ZamesG,FrancisBA.Feedback,minimaxsensitivity,andoptimalrobustness[J].AutomaticControl.1983,28(5):585–601.[15]DoyleJC,GloverK,KhargonekarPP,etal.State-spacesolutiontostandardH2andH∞controlproblems[J].AutomaticControl.1989,34(8):831–847.39 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