第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案

第23届全国中学生物理竞赛预赛试题（2006年9月3日）本卷共九题，满分200分一、（20分，每小题10分）1.如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连。球B与球C之间用弹簧S2相连。A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度。2.两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。（ⅰ）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。（ⅱ）如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在位置，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 二、（20分，第1小题12分，第2小题8分）1.老爷爷的眼睛是老花眼。（ⅰ）一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。（ⅱ）带了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。图12.有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4。已知，f1＞f2＞|f3|＞|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_________的透镜作为物镜，应选焦距为________的透镜作为目镜。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 三、（20分，第一小题12分，第2小题8分）1.如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l。已知q2＝2q1。（ⅰ）求在x轴上场强为零的P点的坐标。（ⅱ）若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况）。图1图22.有一静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示，试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线（设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值）。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 四、（20分）一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L＞H。现把细管弯成L形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。五、（20分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件，即式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，……；h为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 六、（25分）如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连。除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落时的速度。七、（25分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：1.P的速率应为多少？2.P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？八、（25分）图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 是水平的，截面的边长都是l。一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点。现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1.2.设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。九、（25分）从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R＝6400km。已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量，G为引力常量。1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）。2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3.试导出。第23届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 一、参考解答：1.线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S1的弹力（1）弹簧S2的弹力（2）在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时球A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有（3）（4）（5）解以上有关各式得方向竖直向上（6）方向竖直向下（7）（8）2.开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。（ⅰ）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。（ⅱ）从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直到停在处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。评分标准：（本题20分）1.10分。（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，aA、aB的方向各1分。2.10分。（ⅰ）5分，（ⅱ）5分（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分）。二、参考答案1.第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 图1图2（ⅰ）（ⅱ）(ⅲ)2.f1，f4。评分标准：（本题20分）1.12分。（ⅰ）4分，（ⅱ）4分，（ⅲ）4分。2.8分。两个空格都填对，才给这8分，否则0分。三、参考解答：1.（ⅰ）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间。设P点的坐标为x0，则有（1）已知（2）由（1）、（2）两式解得（3）（ⅱ）先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况。q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为且有E10＝E20二者方向相反。点电荷q0在P点受到的合力为零，故P点是q0的平衡位置。在x轴上P点右侧处，q1、q2产生的场强的大小分别为方向沿x轴正方向方向沿x轴负方向第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 由于，处合场强沿x轴的负方向，即指向P点。在x轴上P点左侧处q1、q2的场强的大小分别为方向沿x轴正方向方向沿x轴负方向由于，处合场强的方向沿x轴的正方向，即指向P点。由以上的讨论可知，在x轴上，在P点的两侧，点电荷q1和q2产生的电场的合场强的方向都指向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0＞0时，P点是q0的稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当q0＜0时，P点是q0的不稳定平衡位置。再考虑q0被限制在沿垂直于x轴的方向运动的情况。沿垂直于x轴的方向，在P点两侧附近，点电荷q1和q2产生的电场的合场强沿垂直x轴分量的方向都背离P点，因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂直x轴的的分量的电场力都背离P点，所以，当q0＞0时，P点是q0的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0＜0时，P点是q0的稳定平衡位置。2.评分标准：（本题20分）1.12分（ⅰ）2分（ⅱ）当q0被限制在沿x轴方向运动时，正确论证q0＞0，P点是q0的稳定平衡位置，占3分；正确论证q0＜0，P点是q0的不稳定平衡位置，占3分（未列公式，定性分析正确的同样给分）。当q0被限制在垂直于x轴的方向运动时，正确论证q0＞0，P点是q0的不稳定平衡位置，占2分；正确论证q0＜0，P点是q0的稳定平衡位置，占2分。2.8分。纵坐标标的数值或图线有错的都给0分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分。四、参考解答第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H（以cmHg为单位），注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为x时，管内空气压强p＝（H＋x），根据波意耳定律，此时空气柱长度（1）空气柱上表面与管口的距离（2）开始时x很小，由于L＞H，故即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d＝x（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水银柱表明与管口相平，可分下面两种情况讨论。1.水银柱表明与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度，由波意耳定律有（3）由（3）式可得（4）由此可知，当时，注入的水银柱的长度x的最大值（5）2.水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时注入水银柱的长度x＞l，由波意耳定律有（6）（7）（8）由（8）式得，或（9）（10）即当时，注入水银柱的最大长度。由上讨论表明，当时，可注入的水银量最大，这时水银柱的长度为，即（5）式。评分标准：（本题20分）正确论证时可注入的水银量最大，占13分。求出最大水银量占7分。若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分。五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 （1）正电子、负电子的动能分别为和，有（2）正、负电子间相互作用的势能（3）电子偶素的总能量（4）由（1）、（2）、（3）、（4）各式得（5）根据量子化条件n＝1，2，3，……（6）（6）式表明，r与量子数n有关。有（1）和（6）式得与量子数n对应的定态r为n＝1，2，3，……（7）代入（5）式得与量子数n对应的定态的E值为n＝1，2，3，……（8）n＝1时，电子偶素的能量最小，对应于基态。基态的能量为（9）n＝2是第一激发态，与基态的能量差（10）评分标准：（本题20分）（2）式2分，（5）式4分，（7）式、（8）式各5分，（10）式4分。六、参考解答：P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速转动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路。A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。A1、A2第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度（1）A1带动A2转动，A2的角速度与A1的角速度之间的关系为（2）A1中每根辐条产生的感应电动势均为（3）轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为（4）A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电阻是A1中四条辐条电阻的并联，其数值为（5）A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联，其数值为（6）A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为（7）以（1）至（6）式代入（7）式，得（8）当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即（9）以（8）式代入（9）式得（10）评分标准：（本题25分）（1）、（2）式各2分，（3）、（4）式各3分，（5）、（6）、（7）式各2分，（9）式6分，（10）式3分。七、参考答案：第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 图11.如图1所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P带正电，其速率为v。P从小孔射入圆筒中，因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。造此情形中，P在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN、和NH组成。现考察其中一段圆弧MN，如图2所示。由于P沿筒的半径方向入射，OM和ON均与轨道相切，两者的夹角（1）设圆弧的圆半径为r，则有图2（2）圆弧对轨道圆心所张的圆心角（3）由几何关系得（4）解（2）、（3）、（4）式得（5）2.P由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为（6）经历时间为（7）P从射入小孔到射出小孔经历的时间为（8）由以上有关各式得（9）评分标准：（本题25分）1.17分。（1）、（2）、（3）、（4）式各3分，（5）式5分。2.8分。（6）、（7）、（8）、（9）式各2分。八、参考解答：小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动。当小球运动到图1中的M点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为a＝30°。在这过程中，小球下落的距离第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 图1（1）细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：（2）在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可以不计，而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度（3）在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A点，如图1所示。由（1）、（2）、（3）式得（4）当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为v，细绳与水平方向的夹角为q，由能量关系有（5）用FT表示绳对小球的拉力，有（6）1.设在时（见图2），绳开始松弛，FT＝0，小球的速度。以此代入（5）、（6）两式得（7）图2（8）由（4）、（7）、（8）式和题设v0的数值可求得（9）（10）即在q1＝45°时，绳开始松弛。以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成45°角的初速度作斜抛运动。以N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x轴水平向右，y轴竖直向上。若以小球从N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t的坐标分别为第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 （11）（12）由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：（13）AD面的横坐标为（14）由（13）、（14）式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标y＝0（15）由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上，DC边的纵坐标为（16）把（16）式代入（13）式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x＝1.75l（17）撞击点与D点的距离为（18）2.设在时，绳松弛，FT＝0，小球的速度，以此代替（5）、（6）式中的q1、u1，得（19）（20）以代入（4）式，与（19）、（20）式联立，可解得（21）（22）(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D点为圆心，l为半径的圆周打到梁上的C点。评分标准：（本题25分）（3）式2分，（5）、（6）式各1分，（9）、（10）式各3分，得出小球不可能打在AD边上，给3分，得出小球能打在DC边上，給2分，正确求出小球打在DC边上的位置，給2分。求出（21）、（22）式各占3分，得出小球能打在C点，再給2分。如果学生直接从抛物线方程和求出x＝1.75l，同样给分。不必证明不能撞击在AD边上。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 九、参考解答：1.这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面（此平面是C点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度v）必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上。已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴a的关系为（1）要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径是R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小。由几何关系可知（2）设发射时导弹的速度为v，则有（3）解（1）、（2）、（3）式得（4）因（5）比较（4）、（5）两式得（6）代入有关数据得v＝7.2km/s（7）速度的方向在C点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP，从图中可看出，速度方向与OC的夹角（8）2.由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为（9）式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T＝24×3600s＝86400s，故（10）C点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（C第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页 点）的发射速度应有一大小等于vC，方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为（11）代入有关数据得v¢＝7.4km/s（12）它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。3.质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式（13）（14）式中v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离。将（14）式中的v1代入（13）式，经整理得（15）注意到r1＋r2＝2a（16）得（17）因（18）有（16）、（17）、（18）式得（19）评分标准：（本题25分）1.14分。（2）式6分，（3）式2分，（6）、（7）式共4分，（8）式2分。2.6分。（11）式4分，（12）式2分。3.5分。（13）、（14）式各1分，（19）式3分。第23届全国中学生物理竞赛预赛试题第17页