东南大学材料力学课件第四章 弯曲内力、应力截面、几何性质(复习)

第四章弯曲内力、应力和截面的几何性质 三、内力方程和内力图一、弯曲概述四、梁横截面上的正应力计算五、梁横截面上的切应力计算六、梁的合理设计二、梁的内力（剪力和弯矩）七、选择题练习第四章弯曲内力、应力和截面的几何性质 1.工程实例桥梁，屋梁，车轴都是最常见梁的例子。2.定义凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁（beam)。一、弯曲(bending)概述当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，此变形称为弯曲变形。 平面弯曲：当作用在梁上的所有外力（或合力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲。（对称弯曲）纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面。 ●支座的简化②固定铰支座③可动铰支座①固定端CL7TU23.梁的计算简图●杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁FRyFRxMRFRxFRyFRy ③外伸梁①悬臂梁●静定梁的基本形式②简支梁●超静定梁三跨连续梁主跨边跨跨径 1.梁的剪力与弯矩二、梁的剪力和弯矩梁横截面m-m上的内力mmFABFsmmAMFAmmFBFsMFA横截面上分布内力系向形心简化为剪力Fs和弯矩M。 符号规定:左上右下为正。上压下拉(上凹下凸)为正。或对微段梁内任一点顺时针转动为正。FsFs符号规定:●剪力Fs(shearingforce)●弯矩M(bendingmoment)FsFs 简例1.求梁C处左右截面上的剪力和弯矩。解：1.求支座反力FAFBABFaaCAMCA2.求C左截面内力FAFsCA 解：3.求C右截面内力BMCBFBFsCBABFaaC思考:截面内力(剪力与弯矩)和外力的关系,能否不画图示截面法的受力图而进行计算?结果比较:C处有集中力作用时,左右截面弯矩不变;左右截面剪力发生突变,变化值大小等于集中力大小。 通过上二个计算可以看出，截面上的内力与该截面任侧梁段上的外力相平衡，因而可以直接通过任一侧梁段上的外力直接求得截面上的内力，而不用画假想切开后的受力图。2.简易方法计算梁的横截面内力●剪力的直接计算（P98）横截面上的剪力等于截面左侧梁或右侧梁段上所有外力的代数和。左侧梁段上向上的外力引起正的剪力，右侧梁段向下的外力引起正的剪力，反之，相反。注：此处的外力是指除内力外的所有力含约束反力。 CL7TU7●剪力的直接计算ABFACF1F2F3F4qFBC截面剪力的直接计算C截面左侧梁段C截面右侧梁段注：实际计算时取外力相对简单的梁段。 ●弯矩的直接计算（P98）横截面上的弯矩等于截面左侧梁或右侧梁段上所有外力对该截面形心的矩代数和。向上的外力引起正的弯矩，反之，相反。外力偶引起正负弯矩可以按其转向和引起正负的弯矩的外力对截面形心的矩的转向是否相同确定。FAFBM1ABF1CF2C截面左侧梁段C截面右侧梁段 剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）2.剪力图和弯矩图以x轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力FS、弯矩M，分别称为剪力图、弯矩图。剪力图、弯矩图表示FS、M沿梁轴线变化情况。1.剪力和弯矩方程三、剪力图和弯矩图 简例3.画简支梁剪力图和弯矩图。解：1.求支座反力FAFBABFaaC2.求内力方程x1x2 解：2.求内力方程FAFBABFaaCx1x2FS0.5F0.5FM0.5Fa 解:1.求支反力2.求内力方程简例4.画内力图 注:q(x)向上为正,反之为负。3.剪力、弯矩和载荷集度间的关系 ●简易法作剪力图和弯矩图①梁上无分布荷载作用：q（x）=0剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。弯矩图斜率为常量cont，M（x）为斜直线。 ②梁上作用均布荷载：q（x）=cont剪力图斜率为cont，FS（x）图为斜直线。M（x）取得极值。弯矩图M（x）为二次抛物线。 无载荷(q=0)均布载荷(q=c)mCPC尖角突变PC无变化突变m载荷情况剪力图弯矩图各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图 CL7TU10例5.作外伸梁的内力图 M例7.画出如图梁的内力图例6.画出如图梁的内力图 CL7TU9●分段叠加法画弯矩图P基本图形 MAABMBMMAMB分段叠加法原理 M例9.画出如图梁的弯矩图 M思考:如何用分段叠加法画如下弯矩图? 刚架的组成—横梁、立柱与刚节点。立柱刚节点横梁●平面刚架和曲杆的内力图弯矩的数值标在受拉边，轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号。 1.纯弯曲：横力弯曲：四、梁横截面上的正应力计算 从三方面考虑：①变形几何关系②物理关系③静力学关系①变形几何关系●纯弯曲时梁横截面上的正应力公式推导观察梁纯弯曲时变形现象 观察到以下变形现象:部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。纵向直线弯成弧线；横向直线变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的纵向直线垂直； 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层 中性轴中性层z中性层与横截面的交线称为中性轴。 变形几何关系 ②物理关系①几何关系正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零；由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；式中未知.（若已知M，与M有何关系？）上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算。 设中性轴为zyz横截面对z轴的静矩M③静力学关系中性轴z必通过截面形心 令：截面对yz轴的惯性积截面对z轴的惯性矩*由于y为对称轴,上式自然满足。 横截面上正应力横截面上最大正应力Wz为弯曲截面系数 ◆沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。◆中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。◆最大正应力发生在距中性轴最远处。Z 截面的几何性质◆平面图形的静矩zy如图示，整个图形对z轴的静矩bh阴影图形对z轴的静矩 ◆惯性积由规则图形构成的组合图形静矩y，z轴为正交轴时，只要有一轴为对称轴则惯性积为零,如图中y轴。zhby ◆惯性主轴（又称主轴）：使惯性积为零的一对正交坐标轴。形心主轴：经过形心的主轴。其惯性积为零。◆对z轴的惯性矩主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩。主惯性平面 简单截面的Iz和WzzdzhbzDd ●计算惯性矩的常用方法组合法平行移轴公式Czz1azDd iy,iz分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即 例10.确定中性轴z的位置，并求Iz80802020解：确定中性轴z的位置中性轴必过形心，求形心位置yz1CzycIⅡ 80802020yz1CzycIⅡzC1zC2 强度条件等直梁强度条件对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。2、梁的正应力强度条件 P1PP2hzbbzh(b)(a)例12.两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？ 解： 例14.图示铸铁梁，许用拉应力[σ+]=30MPa，许用压应力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。2.5kN10.5kN解：作弯矩图M2.5kN.m4kN.m C截面：B截面：满足强度要求本题可不必计算为什么？M2.5kN.m4kN.mBCＩz=7.63×10-6m4 例16.图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。P=20kN解:作弯矩图20kN.m(1)矩形 (2)圆形d≈11.3cm(3)工字形查型钢表，取16号工字钢工字形截面最省料，圆形截面最费料。为什么？本题中，最大工作应力将略大于许用应力，但不超过5%，这在工程中是允许的。 例17.我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（如何使Wz最大?）hb解:设圆木直径为d 五、梁横截面上的切应力计算1.矩形截面梁zyb-梁截面宽S＊-静矩 1.矩形截面梁zy最大值发生在中性轴上的点 2.矩形截面梁zy最大值发生在中性轴上的点 最大值发生在中性轴上的点2、工字形截面梁的剪应力 腹板翼缘2、工字形截面梁的剪应力在腹板上 最大剪应力3、圆截面梁的剪应力 ●弯曲剪应力强度条件例18.圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。 解:作内力图 解：由正应力强度条件：由剪应力强度条件： 例20.两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。梁长为l。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？bPP bPl解：1、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层。每梁各承担一半弯矩。 2、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。bPz思考：计算各梁形心轴上的剪应力。 六、梁的合理设计提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。1、梁的合理截面 ★合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。为指标。 2、合理安排梁的受力情况 ★对于[t]=[c]的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘σtmax=σcmax★对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用中性轴偏于受拉边的截面。 3、采用变截面梁、等强度梁的概念★梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力［σ］时，称为等强度梁。 七、选择题练习 1、下列说法错误的有()。A、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零。B、图形对其形心主轴的惯性积为零。C、图形对其形心轴的静矩为零。D、图形对其主轴的静矩为零。D 2、下列错误的有()。A、Cyzz1bhy1y2B、C、D、D 3.中性轴z以下图形对位置z轴的静矩等于（）。A、中性轴z以上图形对位置z轴的静矩80802020yCz65B、零C、-4225D、4225C分析： 4.外力偶在简支梁上移动，其他外力不变，则正确说法为等于（）。B、剪力图不变，弯矩图改变A、剪力图和弯矩图都改变C、剪力图和弯矩图都不变D、剪力图改变,弯矩图不变B分析：约束反力不变，剪力图不变。 CL7TU105.静定梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（）。ABCA、A端为固定端B、A端和B端为支座C、A端和C端为支座D、B端和C端为支座B CL7TU10外伸梁分析： CL7TU106.梁上无力偶和集中荷载作用，梁的剪力图如图示，则正确的为（）。ABCA、弯矩图为直线B、弯矩图有突变C、弯矩图AB段为斜直线，BC段为抛物线D、弯矩图不能确定C CL7TU10外伸梁分析： 7、多跨静定梁的弯矩图()。A、BD，CB，AC段为斜率不同的三直线段B、BD，CB，AC段为斜率相同的三直线段C、BD，AB段为斜率不同的二直线段D、CD，AD段为斜率不同的二直线段C 8、静定梁不受集中力作用，弯矩图如图示，则有（）。A、静定梁为悬臂梁B、静定梁为简支梁C、静定梁为外伸梁，C处受顺时针外力偶作用D、静定梁为外伸梁，C处受逆时针外力偶作用D分析：按D,B处剪力突变排除A，B。再按C处弯矩，排除C。 9、画具有中间铰的组合梁，关于B处左截面和C处右截面弯矩，正确的有（）。A、B、C、D、D分析：按C处弯矩为零，排除B，C。再按简易法可知B左截面弯矩为负，排除A。 10、画具有中间铰的组合梁，C处左截面和右截面剪力，正确的有（）。A、B、C、D、D分析：按C处突变值排除A，B。再按简易法可知右截面剪力为负，排除C。 11、计算各梁中指定截面的剪力和弯矩，正确的为（）。A、B、C、D、B分析：按1-1处剪力为负，排除A，C，按中间处突变排除D。或简易法计算。 12.图示铸铁梁上受一移动载荷作用，当移动到()点处梁上拉应力最大。A、A点B、B点C、C点D、D点分析：排除A，B。C 13、从正应力强度方面考虑，若截面积相同。最合理的截面形状为（）。A、B、C、D、D 14.图示铸铁梁，当截面倒置时，随着外力增加，与图示放置相比()。A、更安全B、更危险C、同样安全D、难于比较B 15、对称结构在对称荷载作用下，有()。B、弯矩图对称，剪力图反对称A、弯矩图对称，剪力图对称C、弯矩图反对称，剪力图反对称D、弯矩图，剪力图不存在对称性B 16、对称结构在反对称荷载作用下，有()。B、弯矩图对称，剪力图反对称A、弯矩图反对称，剪力图对称C、弯矩图反对称，剪力图反对称D、弯矩图，剪力图不存在对称性A 17、如跨中C处弯矩为零，则。A、B、C、D、分析：分段叠加法画出弯矩图最快。B 18、截面积相同的矩形、工字形、圆形和圆环形横截面梁，支座、载荷等条件相同，则切应力由大至小顺序为()。A、矩形、工字形、圆形、圆环形CB、圆环形、圆形、工字形、矩形C、圆环形、矩形、圆形、工字形D、矩形、圆环形、圆形、工字形 19、图示截面梁的变形为()。FFCyzA、纯弯曲B、平面弯曲而不扭转C、弯曲同时扭转D、扭转C分析：非对称薄臂截面只受横向力时，只有通过弯曲中心（剪力中心）且平行于主惯性平面，才产生平面弯曲而不扭转。 19、从正应力考虑，承载能力()。FB、a最大A、相同C、各不相同Da、自由叠放b、钉牢c、整体截面D、a最小 19、各种方式下最大切应力有()。FB、a最大A、相同C、各不相同Da、自由叠放b、钉牢c、整体截面D、a最小 mmFABFsAMFAFsMFBFA20、用截面法求梁横截面m-m上的内力，正确的图为()。1、2、FsAMFA3、A、1图B、1和3图C、3图D、以上全部图B