南大材料力学课件第十一章 能量法

材料力学第十一章能量法10/7/2021材料力学 第十一章能量法§11–1杆件应变能的计算§11–2单位载荷法莫尔积分§11–4卡氏定理§11–5互等定理10/7/2021材料力学 §11–1杆件应变能的计算一、能量原理：二、杆件应变能的计算：能量方法弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。10/7/2021材料力学 不计能量损耗时，外力功等于应变能。内力为分段常量时dxN(x)N(x)拉压杆的比能u：单位体积内的应变能。1.轴向拉压杆的应变能计算：能量方法10/7/2021材料力学 2.扭转杆的应变能计算：3.弯曲杆的应变能计算：能量方法10/7/2021材料力学 三、应变能的普遍表达式：应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。能量方法10/7/2021材料力学 QMNMTAAPNBjT例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力能量方法APR10/7/2021材料力学 ③外力功等于应变能②应变能：能量方法10/7/2021材料力学 例2用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？能量方法qCaaAPBf10/7/2021材料力学 §11–2单位载荷法莫尔积分求任意点A的位移fA。一、定理的证明：能量方法aA图fAq(x)图cA0P=1q(x)fA图bA=1P010/7/2021材料力学 莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法fA--梁上任一点A在外力作用下的挠度.M(x)--外载下的弯矩方程.M0(x)--单位力作用于A点时的弯矩方程.10/7/2021材料力学 三、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量方法10/7/2021材料力学 例3用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x10/7/2021材料力学 ③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx10/7/2021材料力学 ④求转角，重建坐标系（如图）能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1d)()()()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM10/7/2021材料力学 例4拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：①画单位载荷图②求内力能量方法51020A300P=60NBx500Cx151020A300Bx500C=1P010/7/2021材料力学 ③变形能量方法10/7/2021材料力学 §11–4卡氏定理给Pn以增量dPn，则：1.先给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：2.先给物体加力dPn，则：一、定理证明能量方法dn10/7/2021材料力学 再给物体加P1、P2、•••、Pn个力，则：能量方法dnn=nPU¶¶d卡氏定理应变能对任一外力的偏导数,等于该力作用点沿该力方向的位移.10/7/2021材料力学 二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性应变能②Pn视为变量，结构反力和应变能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn作用点的沿Pn方向的变形。④当没有与n对应的Pn时，先加一沿n方向的Pn，求偏导后，再令其为零。能量方法dn10/7/2021材料力学 三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法10/7/2021材料力学 例5结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO10/7/2021材料力学 求转角A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令MA=0③求变形（注意：MA=0）能量方法LxOAPMA10/7/2021材料力学 例6结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。能量方法PALxBPxCfxOx110/7/2021材料力学 ③变形（注意：Px=0）能量方法10/7/2021材料力学 例7等截面梁如图，用卡氏定理求B点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，③将内力对RC求偏导①取静定基如图能量方法PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC10/7/2021材料力学 ④变形能量方法10/7/2021材料力学 2.求②将内力对P求偏导①求内力能量方法10/7/2021材料力学 ③变形能量方法10/7/2021材料力学 △111△12△222位移互等定理最终变形能与加载顺序无关§11–5互等定理能量方法10/7/2021材料力学 本章结束10/7/2021材料力学