组合变形1-同济大学材料力学课件

第九章组合变形§9—1组合变形概念和工程实例§9—2斜弯曲§9－3轴向拉(压)与弯曲组合偏心拉压§9－6截面核心§9－7弯扭组合变形1 §9-1组合变形概念和工程实例构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为组合变形工程实例：烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向压缩+水平方向的风力而引起弯曲；传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+扭转立柱：载荷不过轴线，为偏心压缩=轴向压缩+纯弯曲2 组合变形的研究方法——叠加原理构件在小变形和服从虎克定理的条件下，力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加解决组合变形的基本思路是：将其分解为几种基本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。具体求解步骤：①外力分解和简化②内力分析——确定危险面。③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。3 §9-2斜弯曲一、斜弯曲的概念平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线位于外力所在的纵向对称面内。斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内xxxxzzFF4 y二、斜弯曲的计算lx1、载荷的分解FFcosyFxFFsinzFzy产生xy平面绕z轴的平面弯曲yFF产生xz平面绕y轴的平面弯曲zy2、任意横截面的内力MzkM(x)FxFcos(lx)zyzMyzFzMy(x)FzxFsin(lx)显然本题中，危险截面为固定端截面（x=0处）F3、任意横截面任意点的应力FyMzMzykMyMyzk,（应力的“＋”、“－”由变形判kkIzIy断）MzMy5kkk 横截面正应力的分布规律在M作用下：在My作用下：zyyyykMzMzFzzMyMzzzyFFyK点的应力MzMyMzykMyzkkkkIIzy6 yyybbxaaxMzMzzcyzcFdd4、强度计算危险截面——固定端截面MzmaxFyl,MymaxFzl危险点——b点为最大拉应力点，d点为最大压应力点。（均为简单应力状态）MzmaxymaxMymaxzmaxMzmaxMymaxtmaxcmaxIIWWzyzy强度条件——max7 5、中性轴MMzykkkMzykMyzkIIzyMzykMyzkIIzyFLcosyFLsinz000IIzy中性轴方程为：yItg0ztgz0Iy中性轴是过截面形心的一条斜直线。8 yx6、刚度计算x33FyLFLf,zymaxfzmaxz3EIz3EIyFy3322FyL2FzL2kfff()()maxyzzFz3EI3EIzy刚度条件：fmaxfFFyfzFzIzIzytantanfIFIyyyyfzmax因为一般情况下的II，则zyz变形发生的平面和载荷作用平面不在同一平面——斜弯曲与平面弯曲的区别f9maxfymax fzffy10 7、讨论中性轴方程：yItg0ztgz0Iy通常，II，故≠，也即荷z≠y载作用方向与中性轴不垂直。挠曲方向y中性轴fFIIzzzzwtantanzzfIFIyyyy因此，=β，即挠曲方向垂直wwy于中性轴。11 对于无棱角的截面如何进行强度计算——中性轴1、首先确定中性轴的位置；yFkbzFzALBaMzMyMzykMyzkFFykkkIIzy令z0、y0代表中性轴上任意点的坐标Mzy0Myz0——中性轴方程0（过截面形心的一条斜直线）IIzy2、找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；y0IMzy3、最后进行强度计算。注意到中性轴方程：tgz0IM12yz 例：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，容许挠度为：L/200，E=9GPa，试校核此梁的强度和刚度。q解：1、外力分解简化ABqqsin8000.447358N/mzLqqcos8000.894714N/myyb=80mm2、内力分析（危险截面为跨中截面）h=120mmqL22y7143.3qM972Nmzzmax88zqqqL23583.32yzM487Nmymax88=26°34′13 例：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，容许挠度为：L/200，E=9GPa，试校核此梁的强度和刚度。q2、内力分析（危险截面为跨中截面）ABqL22y7143.3M972NmzmaxL8822qzL3583.3yM487Nmymax88yq3、强度计算MzMyzmaxWzWyMzmax972103487103Mzymax1212=26°34′801201208066b=80mm8.86(MPa)此梁的强度足够h=120mm14 例：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，容许挠度为：L/200，E=9GPa，q试校核此梁的强度和刚度。AB4、刚度计算L435qzL535810yfzmax11.99(mm)384EI313y38491012080412q5qL5714103y10.63(mm)fymax1384EI33fz38491080120zmax12zfymax2222fmaxfzmaxfymax11.9910.6316.02(mm)fmax33.310=26°34′f16.02(mm)f16.5(mm)max200f11.99此梁的刚度足够zotan48.4415f10.63y 例图示悬臂梁，承受载荷F与F作用，已知F=800N，F=1.6kN，1212l=1m，许用应力[]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。zy解：危险截面为固定端截面MzmaxF2l,MymaxF12l（1）矩形截面：F2F1ZYLL16 例图示悬臂梁，承受载荷F与F作用，已知F=800N，F=1.6kN，1212l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。zyyMzmaxF2l,MymaxF12l（2）圆截面22zMMMzyMzMyM17 yKtgM/MyzzMMMyzzRRsincosK′KIIMyzMy注意到：Iy=IzdK0,MMcossin0yzdMytgMz容易出现的一种计算错误：所以，M与KK′垂直。MMzymaxWWzy18 例矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位置；若将截面改为直径D=50mm的圆形，试确定危险点的位置，并计算最大正应力。例题图19 解（一）外力分析梁在P作用下绕z轴1弯曲（平面弯曲），在P作用下绕y轴弯曲2（平面弯曲），故此梁的弯形为两个平面弯曲的组合——斜弯曲。受例1图力简图如图示。受力简图20 （二）内力分析分别绘出M(x)z和M(x)图如图示。y两个平面内的最大受力简图弯矩都发生在固定端A截面上，A截面为危险截面。M1KNmzM1KNmy21 （三）应力分析和最大应力绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。应力分布图22 （四）计算中性轴位置及最大正应力AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）IIzzMxyPx20.5tan0.5mx1mIyMzxIyPx1从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：340803IzP20.512110tan433IP18040110y11223 应力分布图340803IzP20.512110tan433IP18040110y112解得：76（见图）24 如以合成后的总弯矩以矢量表示，中性轴与M的矢量不重合，说明荷载作用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲的特征之应力分布图一。A截面中性轴确定后可绘出总应力分布图（见图）。最大和最小正应力为：MMzymaxa70.2MPa25minbWWzy （五）改为圆截面时的计算矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的合成由矢量来表示（见图）。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。合成后总变矩为：22MMM1.41KNmzyM115MPamaxcmindWA截面应力分布图26 ab容易出现的一种计算错误：MMzy163MPamaxWWzyA截面应力分布图Mz此时式中Mz引起的应力Mz在图中a点；My引起WzMy的应力M在图中b点，显然不能将不同点处的应力进yWy行相加，作为该截面上的最大正应力。27