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'2010年福建省福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷(完卷时间:120分钟;满分:150分)参考公式:样本数据的标准差;为样本平均数;柱体体积公式:、h为高;锥体体积公式:为高;球的表面积、体积公式:其中R为球的半径。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置。1.已知集合,则等于()A.B.C.D.2.在同一坐标系内,函数与的图象可能是()3.在△ABC中,a、b分别是角A、B所对的边,则“”是“”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.在等差数列中,,则数列的前19项之和为()A.98B.95C.93D.905.某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用,把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”,并计算出,则下列说法正确的是()A.这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%B.若某人未使用该疫苗,则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C.有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”D.有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”6.设、是两个不同的平面,l、m是两条不重合的直线,下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7.如图为互相垂直的单位向量,向量可表示为()A.B.C.D.8.设的展开式的常数项是()A.12B.6C.4D.29.已知函数的解,且的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不小于零10.若直线没有公共点,则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11.如右图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图是一个圆,那么该几何体的体积是。12.已知i是虚数单位,使为实数的最小正整数n是。13.农科院小李在做某项实验中,计划从花生、大白菜、土豆、玉米、小麦、苹果这6种种子中选出4种,分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物),若小李已决定在第一块空地上种玉米或苹果,则不同的种植方案有种(用数字作答)。
14.某程序流程框图如图所示,现执行该程序,输入下列函数,则可以输出的函数是=。15.函数的定义域为D,若对于任意,当时,都有,则称函数在D上为非减函数。设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①;②;③则的值为。三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题满分13分)数列上,(I)求数列的通项公式;(II)若17.(本小题满分13分)从某自动包装机包袋的食盐中,随机抽取20袋作为样本,按各袋的质量(单位:g)分成四组,
,相应的样本频率分布直方图如图所示。(I)估计样本中的位数是多少?落入的频数是多少?(II)现从这台自动包装机包袋的大批量食盐中,随机抽取3袋,记表示食盐质量属于的袋数,依样本估计总体的统计思想,求的分布列及期望18.(本小题满分13分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,,分别是的中点.(Ⅰ)证明:平面;(II)求二面角M—AN—B的余弦值。19.(本小题满分13分)如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A。(I)求抛物线E的方程;(II)求证:点S,T在以FM为直径的圆上;(III)当点M在直线l上移动时,直线AB恒过焦点F,求m的值。
20.(本小题满分14分)已知函数(I)求的最小值;(II)讨论关于x的方程的解的个数;(III)当21.(本小题满分14分)本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。(I)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知矩阵经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线,求直线l2的方程。(II)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程求直线截得的弦长。
(III)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲若存在实数x满足不等式,求实数a的取值范围。
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。1—5BCABD6—10DCBAC二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。11.12.413.12014.15.1三、解答题:本大题共6小题,共80分。16.(本小题满分13分)解:(I)上。………………2分是以3为首项,以2为公差的等差数,………………3分………………5分(II)①…………6分②…………7分由①—②得………………9分………………12分………………13分17.(本小题满分13分)
解:(I)由已知可得直线,把频率分布直方图分为左右两侧等面积,故估计样本的中位数是502.5(直接写出答案不扣分)…………2分样本落入………………4分故落入………………6分另解:样本落入………………4分故样本落入所以样本落入………………6分(II)依样本的频率代替概率,可得………………8分故的分布列为0123P0.0270.1890.4410.343………………11分从而或………………13分18.(本小题满分13分)解法一:依条件可知AB、AC,AA1两两垂直,如图,以点A为原点建立空间直角坐标系根据条件容易求出如下各点坐标:
(I)证明:是平面ACCA1的一个法向量,且所以………………4分又,………………6分(II)设是平面AMN的法向量,因为,由………………8分得解得平面AMN的一个法向量………………10分由已知,平面ABC的一个法向量为………………11分………………12分………………13分解法二:(I)证明:设AC的中点为D,连结DN,A1D∵D,N分别是AC,BC的中点,∴………………1分
∴A1D//MN………………4分………………6分(II)如图,设AB的中点为H,连结MH,∴MH//BB1∵BB1⊥底面ABC,∵BB1⊥AC,BB1⊥AB,∴MH⊥AC,AH⊥AB∴AB∩AC=A∴MH⊥底面ABC………………7分在平面ABC内,过点H做HG⊥AN,垂足为G连结MG,AN⊥HG,AN⊥MH,HG∩MH=H∴AN⊥平面MHG,则AN⊥MG∴∠MGH是二面角M—AN—B的平面角………………9分∵MH=BB1=2,由△AGH∽△BAC,得所以所以………………13分19.(本小题满分13分)解:(I)设抛物线E的方程为,依题意,所以抛物线E的方程为…………3分(II)设点,否则切线不过点M
………………5分………………7分∴AM⊥FT,即点T在以FM为直径的圆上;同理可证点S在以FM为直径的圆上,所以S,T在以FM为直径的圆上。………………8分(III)抛物线由则………………10分由(II)切线AM的方程为,同理消去………………12分………………13分20.(本小题满分14分)解:(I)………………1分的变化的情况如下:
—0+极小值………………3分所以,………………4分(II)当单调递减且的取值范围是;当单调递增且下面讨论的解;所以,当时,原方程无解;………………6分当时,原方程有唯一解;当时,原方程有两解………………8分(III)原不等式可化为:令………………10分上单调递减,在上单调递增,………………12分
令…………14分21.(本小题满分14分)本题(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。(1)(本小题满分7分)解:,,………………2分则有………………4分此时,同理可得即………………7分(2)(本小题满分7分)解:直线………………2分曲线半径为4的圆………………4分则圆心(1,—1)到直线…………5分设直线被曲线截得的弦长为t,则,∴直线被曲线截得的弦长为………………7分(3)(本小题满分7分)解法一:令则有,………………2分
由图象可得………………4分又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是………………7分解法二:的几何意义是x在数轴上对应点P到3、4对应的点A、B的距离之和|PA|+|PB|,………………2分通过讨论三种情况的点P位置,可得|PA|+|PB|的最小值为1,………………4分又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是………………7分解法三:………………2分的最小值为1………………4分又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是………………7分'
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