复杂形状轮廓的几何形状误差评定方法分析

' 中南大学硕士学位论文【。。。。。。。。。’。‘。。。。。。。。。。’1。。。。。。。‘。。’。。。’’。。。。。。’’。。’-‘ABSTRACTABSTRACTFormerrormakesgreateffecttOthequalityofpieceparts，itisdifficulttoevaluatetheerrorofcomplexcurveandsurface，theresearchontheformerrorevaluationofthecomplexCurveandsurfacehasimportanttheorysignificanceandeconomicvalue．Inthisarticle，theformerrorisstudiedbasedonmatlabandcalculatingexampleispresented．Themainresearchisasfollows．1、Themathematicalmodelincludestraightnesserror,flatnesserror,Circularityerror,cylindricityerror,sphereerror,tapererrorarestudied，theoptimizationalgorithmsbasedonmatlabisusedtocalculateformerror,theerrorevaluationispresentedindetailinthispaper．2、Accordingtominimalzonelaw,themathematicalmodelofcomplexcurveprofileerrorevaluationiScreated．themathematicalmodeloftheoreticalcurveisconstructedwithNURBSbyinterpolatingdesignpoints，thesubdivisionapproximatingalgorithmistakenforfastcalculatingtheminimumdistancebetweenmeasurepointsandtheoreticalprofilecurve，thepositionbetweenthemeasurepointsandthetheoreticalprofileismatchedthroughcoordinatetransformtoavoidtheevaluationerrorderivedfrompositionerror,theerrorevaluationoflineprofileiSpresentedindetailinthisPaper．3、Accordingtominimalzonelaw9themathematicalmodelofcomplexsurfaceprofileerrorevaluationiScreated。ThemathematicalmodeloftheoreticalsurfaceiSconstructedwithNUImSbyinterpolatingdesignpoints，thesubdivisionapproximatingalgorithmistakenforfastcalculatingtheminimumdistancebetweenmeasurepointsandtheoreticalsurface．也epositionbetweenthemeasurepointsandthetheoreticalprofileiSmatchedthroughcoordinatetransformtoavoidtheevaluationerrorderivedfrompositionerror,theBFGSalgorithmistakenforcalculatingnonlinearoptimization．TheerrorevaluationofsurfaceprofileispresentedindetailinthisPapeL4、AnewerrorevaluationsoftwarebasedontheoptimizationtoolboxesofNLATLABispresentedtovalidatethemethodofformevaluation．TheexperimentresultsshowtheproposedmethodcanrapidlyⅡ 中南大学硕士学位论文ABSTRACTacquireabetterresult．KEYWORDSformerror,minimumcondition，optimizationalgorithms，matlabIII 目录1．4．1三坐标测量机的测量原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．71．4．2三坐标测量机的发展概况⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．81．5本文的主要研究内容与基本结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．91．5．1主要研究内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯91．5．2论文基本结构⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9第二章形状误差评定的相关理论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．1l2．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．112．2基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1l2．2．1要素定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．’⋯⋯⋯．．112．2．2公差原则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112．2．3基准定义及体现方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．122．3形状误差评定基本原则及评定方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．132．4形状误差检测原则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．132．5形状误差评定的数学模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．142．6算法选择⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯152．7本章小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．193．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．193．2直线度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯193．2．1直线度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯193．2．2基于MATLAB的直线度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯193．3平面度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯213．3．1平面度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯213．3．2基于MATLAB的平面度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．213．4圆度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．233．4．1圆度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．233．4．2基于MATLAB的圆度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．233．5圆柱度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯243．5．1圆柱度误差定义⋯⋯⋯⋯．．．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯24WI1lo厶7●I●■● 中南大学硕十学位论文目录3．5．2基于MATLAB的圆柱度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．253．6球度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．263．6．1球度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．263．6．2基于MATLAB的球度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．263．7圆锥度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯283．7．1圆锥度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯283．7．2基于MATLAB的圆锥度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．303．8本章小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．324．1引言⋯⋯⋯⋯⋯．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯324．2轮廓基本概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．324．3理论轮廓曲线的数学模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．324．4线轮廓度误差定义及评定方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯354．4．1线轮廓度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．354．4．2线轮廓度误差评定方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯354．5测点到理论曲线的最小距离⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．364．6测点与理论曲线轮廓位置的匹配⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．384．7基于MATLAB复杂曲线轮廓度误差评定实现⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．404．8本章小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯42第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯435．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．435．2理论轮廓曲面的数学模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．435．3面轮廓度误差定义及评定方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯445．3．1面轮廓度误差定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．445．3．2面轮廓度误差评定方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯455．4测点到理论曲面的最小距离⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．455．5测点与理论曲面轮廓位置的匹配⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．485．6基于MATLAB复杂曲面轮廓度误差评定实现⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．495．7本章小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯50第六章形状误差评定实测实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯516．1实验目的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5l6．2实验设备⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯516．3实验内容⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯526．4简单轮廓形状误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．526．4．1直线度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．526．4．2平面度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．536．4．3圆度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．536．4．4圆柱度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．54V 中南大学硕士学位论文目录6．4．5球度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．566．4．6圆锥度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．576．5复杂轮廓形状误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．586．5．1复杂曲线轮廓度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯616．5．2复杂曲面轮廓度误差评定实验⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯626．6实验结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯636．7本章小结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯63第七章总结与展望⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．647．1全文总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯647．2展望⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．64参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．66致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72攻读硕士学位期间的研究成果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．73VI 第一章绪论响着整个零件的质量，同时也会减少零件的实际接触面积，增大单位面积的压力，加快局部磨损，降低零件的工作寿命；齿轮制造误差会加快齿轮的磨损，降低齿轮的寿命；轴颈及轴承的形状误差会导致机器在运转过程中产生跳动，加重机器的磨损，严重时会引发事故；叶片的形状误差会影响燃气轮机能量转换效率等。因此，正确地检测和评定形状误差对于保证零件和机器产品的质量具有重大的意义。．目前，对精密零件的制造加工精度要求越来越高，使得形状误差的精确评定变得尤为重要。国内外学者对标准中规定的几种常见的形状误差的评定展开了大量的研究，并取得了较好的研究成果。但是，对手复杂轮廓如圆锥面、复杂曲线、曲面等形状误差的评定研究较少。因此，复杂轮廓形状误差的评定理论已成为当前重要的研究课题之一。1．2课题来源及研究目的本课题来源于国家973计划项目“大型动力机械装备制造基础研究”中的子课题“复杂曲面检测数据的处理及误差评估理论”(课题号：2007CB707703)和国家自然科学基金项目：“基于智能算法的复杂轮廓度误差评定"(批准项目号：50675229)。本课题研究的主要目的是对燃气轮机叶片复杂轮廓形状误差进行评定研究，燃气轮机在现代工业中取得了广泛的应用，它是国防工业所急需的动力装备，代表着一个国家民族工业的能力，燃气轮机由于其热效率高、污染低、工程总投资低、建设周期短、自动化程度高等优点，逐步成为继汽轮机后的主要动力装置。叶片是燃气轮机非常重要的组成部分，在火电厂、核电厂机组运行过程中，叶片不仅要承受离心力、蒸汽力及叶片振动所产生的动应力，还要经受腐蚀和振动的共同作用、工作环境极其恶劣，叶片事故时有发生口1。统计资料表明，叶片事故约占燃气轮机事故率的1／3。叶片事故不但降低了整个燃气轮机发电机组的可用率，还会造成巨大的经济损失。叶片的质量是整台燃气轮机质量的保证，叶片的形状误差对二次流有损耗有较大的影响，直接影响燃气轮机的能量转换效率幢1， 中南大学硕士学位论文第一章绪论因此，研究叶片轮廓形状误差对于提高燃气轮机工作效率具有重要理论意义和工程应用价值。1．3形状误差评定方法的国内外研究现状国外对形状误差的研究起步较早，从研究零件的直线度误差开始，到对平面度、圆度、圆柱度、圆锥度、球度等形状误差的评定，迄今已有约一百年的历史。针对不同的形状误差项目，国内外学者都展开了研究，并取得了一定的效果。MuthyT．S．R等提出用蒙特卡罗法、单纯形替换法和螺旋线搜索法等优化方法用于求解直线度和平面度误差值H，。WangY提出一种带约束条件的非线性优化算法用于评定形状误差的方法。该方法满足最小区域原理，其主要思想是应用顺序二次编程的方法，期望在有限的迭代次数内获得较好的优化结果畸3。ShunmugamMS提出一种基于最小平均偏差的形状误差评定算法，用于评定直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆锥度误差和球度误差。该算法的核心是用线性化和单纯形搜索方法使绝对偏差值的和最小阳1。Jiang等提出一种最优化逼近方法用于评定几何形状误差的方法，该方法具有较高的精度口1。A．J．Scarr等人提出用最小二乘直线和最小二乘平面作为参考要素，用于评定直线度误差和平面度误差∞，。Chen和1iu等建立了最小外接球法、最大内切球法、最小区域法三种用于评定球度误差的方法，并给出了相应的数学模型和求解算法阻1。国内对形状误差评定的研究起步较晚，从上世纪70年代末80年代初开始对形状误差进行较系统的研究。自形状和位置公差国家标准颁布以来，有关形状误差测量与评定理论的研究进展迅速，在评定项目上，从最初的直线度误差、平面度误差、圆柱度误差等简单轮廓形状误差的评定逐步深入到对圆锥度误差、复杂线轮廓度误差、复杂曲面轮廓度误差等复杂轮廓形状误差的评定；在评定算法上，从最初的最小二乘法原理发展到满足最小条件评定原则的评定方法，由传统的优化算法逐步过渡到用智能算法来求解形状误差，如遗传算法、粒子群算法等。在理论研究的基础上，许多学者开发了用于形状误差评定的软件，并在生产实践中得到了应用，取得了较好的效果。华中科技大学的熊有伦院士对精密测量的数学方法和最小区域的统一判别准则进行了系统的研究，奠定了我国形状误差评定的基础n们。其核心思想是对由一系列实测点组成的实测曲线、曲面进行坐标平移、旋转变换，使实测点与理论曲线轮廓达到最佳匹配状态，即满足最小条件的评定原则，该思想为后来的很多2 中南人学硕士学位论文第一章绪论学者所采用。王旭蕴等人将矢量积运算引入轮廓度误差评定当中，提出了对测头半径补偿的概念，并推导出了计算公式⋯3。采用判断搜索法对线轮廓度误差进行评定。．蔡轶衍提出了一种评定形状误差的新方法—．逐次逼近线性规划法，他将迭代的思想引入线性规划，通过迭代缩小形状误差评定模型线性化引起的偏差，使最近的线性规划解能真正替代形状误差评定的非线性问题的最优解，从而得到符合最小条件准则的形状误差值n刳。胡新生等人利用不可微优化理论，建立了非线性模型双包容和单包容的统一判别准则n3l。采用极大嫡数，构造了无约束可微优化来逼近无约束不可微优化问题，简化了算法。夏新涛将最小向量范数应用到形状误差评定中n钔，建立了向量范数最小化原理计算形状误差的数学模型，但其结果是否符合最小区域条件还有待斟酌。刘健提出一种线性鞍点规划用于形状误差评定的方法，将形状误差的计算模型略去高次项而得到线性模型再进行线性规划计算，此算法的核心是将非线性问题转化为线性问题，但这样势必会带来误差n副。随着人工智能技术的深入发展和广泛应用，国内不少学者将其应用到形状误差评定当中，出现了不少新算法。廖平n63等采用实数编码遗传算法计算复杂曲线、复杂曲面形状误差。郭慧n刀等采用微粒群算法计算复杂曲线轮廓度误差。(1)直线度误差评定直线度误差是指实际直线对其理想直线的变动量。给定平面内的直线度误差和给定方向内的直线度误差的评定相对简单，国内外学者展开了大量的研究，一般采用最小区域法或两端点连线法来进行计算n蝴1。零件的回转轴线大多是空间直线，因此，对空间直线度误差的评定更有研究价值。近年来，国内外有不少学者对空间直线度误差展开了研究嘲啦!。Huang提出一种最小平行六面体包络的方法用于计算空间直线度误差，但该评定方法在原理上存在一定的误差，只能得到空间直线度误差的近似值Ⅲ3。茅健等人根据最小区域条件，提出了基于粒子群算法的空间直线度误差评定方法瞳51。粟时平等提出了一种基于鞍点规划及遗传算法相结合的用于评定空间直线度误差的方法，并给出了“最小条件"判据瞳61，但是其计算结果与变量初始变化范围的选取及其算法的参数选择有很大关系，算法的鲁棒性欠佳。刘文文等提出了用线性逼近算法进行迭代运算，结合空间坐标变换逼近非线性规划模型的最优解乜"，但是对此非线性优化问题借助线性优化或线性化的优化方法解决，其精度或效率不太理想。胡仲勋等人提出测点集中心的最小二乘算法(LSABC算法)乜8J，但该算法是否满足最小区域法的条件有待验证。3 中南火学硕士学位论文第一章绪论(2)平面度误差评定平面度误差是指实际被测平面对其理想平面的变动量，理想平面的位置应符合最小条件。在满足被测零件功能要求的条件下，平面度误差值可以选用不同的评定方法。常用的方法有：最小区域法、最小二乘法、对角线平面法和三远点平面法。国内外学者对平面度误差展开了研究，出现了许多新算法啪删。Huang和Fan提出了一种用坐标旋转法来计算平面度误差的方法啪1，该方法满足最小条件原则。甄恒洲等提出用迭代逼近法来计算空间平面度误差，在小误差假设条件下，他提出用点到坐标平面的距离来构造坐标变换的迭代公式，采用循环迭代方法获得平面度误差最优解啪1。崔长彩等提出了一种基于实数编码遗传算法的平面度评定方法，算法的评价函数符合公差规定的最小条件原则口¨。岳武陵等提出一种平面度误差评定的新算法一测点分类法，该方法满足最小区域法条件，将测点分成“高点"、“低点"和“鞍点”三种类型，提高了搜索的效率，该算法收敛速度快口羽。温秀兰等将进化策略应用于平面度误差评定算法中，建立了最小区域包容评定的平面度误差数学模型口朝。(3)圆度误差评定圆度误差是指回转体的同一正截面上实际被测轮廓对其理想圆的变动量，理想圆的位置应符合最小条件。在满足被测零件功能要求的前提下，圆度误差值可以选用不同的评定方法确定。圆度误差常用的评定方法有最小包容区域法、最小二乘圆法、最小外接圆法和最大内接圆法。国内外学者对圆度误差的评定问题提出过多种算法b枷1，Ventura等提出了搜寻实测点到圆周的最大距离为最小时的圆心和半径的逼近算法，在运算过程中采用启发式算法以提高算法计算效率泓1。Suen和Chang运用神经网络技术来求解圆度误差汹1。Lai和Wang采用计算几何方法来评定圆度误差，但其计算结果存在模型转换误差，难以满足误差评定的要求m1。彭晓南等将弦线截交评价算法应用到圆度误差评定当中，利用最大内接圆评价法的几何特征关系，在确定虚拟中心位置的基础上弦线截交模式可以快速搜索到最大内接圆圆心的位置，并且在评价中避免了计算搜索步长和搜索方向Ⅻ。雷贤卿等提出一种圆度误差评定的新算法——网格搜索算法，该算法的基本原理是在最小二乘圆心周围按一定规则布置一系列的网格点，依次以各网格点为理想圆心计算所有测点的半径值，然后根据圆度误差的定义获得圆度误差值啪1。岳武陵等提出一种按最小外接圆法和最小区域法评定圆度误差的仿增量算法∞钔。(4)圆柱度误差评定圆柱度误差是指实际被测圆柱面对其理想圆柱面的变动量，理想圆柱面的位4 中南大学硕士学位论文第一章绪论置应符合最小条件。圆柱度误差评定方法包括最小包容区域法、最小二乘圆柱法、最小外接圆柱法和最大内接圆柱法。轴类零件是各类机械产品中最主要的零件之一，其精度的高低对产品质量及其使用寿命至关重要，而圆柱度误差是轴类零件形状误差的主要技术指标，因此，对圆柱度误差评定的研究具有重要的实际意义。长期以来许多学者致力于圆柱度误差评定的研究‘一1，并取得了不少的研究成果。范裕健建立了圆柱度误差评定的统一数学模型，并提出了相应的优化理论和求解方法Ⅲ1；Carr提出将最小区域问题转换为局部优化问题来评定圆柱度误差H¨；Lai运用非线性变换方法将圆柱度转换为平面问题，然后用控制平面旋转方法得到合适的控制点，经过变换求得圆柱度的参数，从而获得圆柱度误差脚1；Chen将最小外接圆柱的数学模型应用到机床轴的圆柱度误差评定当中，并取得了较好的效果m1；Roy．U等基于计算几何学的理论提出了一种最小区域圆柱度误差的方法，利用平面点集凸包的Vorohoi图的性质，可求得最小区域圆圆心的准确位置，从而得到圆柱度误差的精确值H钔。Chou提出圆柱度可以用不同圆柱体来评定H引，并用模拟退火法进行计算，此外还有一些学者提出了用遗传算法评定圆柱度误差H渊1。遗传算法虽然能够解决传统算法存在的不足，但是计算结果与变量初始变化范围的选取及算法的参数选择有很大关系，算法的鲁棒性欠佳，因此温秀兰咖1等提出了评定圆柱度误差的改进遗传算法，廖平n町提出了实数编码遗传算法用于计算圆柱度误差。(5)球度误差评定尽管国家标准《形状和位置公差》没有把球度公差单独列为一项，但是由于球形零件在滚动轴承等零件上的广泛应用，特别是高精度球形零件在航空航天制造业上的应用。因此，研究球度误差评定算法具有重要的现实意义。国内外学者对球度误差评定展开了大量研究陋㈣1。Danish将离散和线性Chebyshev逼近理论方法应用到球度误差评定当中晦¨；Fan将最小区域球度误差计算问题转换为机械系统的最小弹性势能计算哺射；SamuelGL和ShunmugaMS提出一种计算几何的方法用于评定球度误差璩引；Kanada提出一种用最d、---乘法和单纯形法用于计算球度误差的方法，之后，他又提出一种统计处理方法来估计球度误差璐Ⅷ1；温秀兰等提出一种免疫进化算法用于评定球度误差的方法，建立了满足最小区域法的球度误差评定的数学模型晦"。刘文文等依据数学规划理论，构造一种以线性包容评定模型的迭代运算去逼近非线性的精确包容评定模型优化解的球度误差评定算法，并建立了适用计算判别的球度误差包容评定最优条件判别准则嘲1。(6)圆锥度误差评定圆锥配合具有对中性好、密封性好、安装定位快速准确、零件间结合可靠性5 中南大学硕士学位论文第一章绪论搞等优点，在机械产品零件装配中得到了广泛应用。但是圆锥的结构较为复杂，此外，国家标准中还没有规定圆锥度为一种形状公差项目，圆锥度误差评定数学模型比较复杂，因此，对圆锥度误差评定的研究相对较少。以往的圆锥零部件一般采用圆锥塞规、测角仪等来检验合格性，这些方法虽然简单，但不能精确地检测圆锥度误差，因此具有一定的局限性。随着三坐标测量机的广泛应用，为圆锥零件的形状误差高精度测量提供了软硬件条件。王瑞康等介绍了三坐标测量机上实现圆锥度误差测量的基本原理和误差评定的非线性最小二乘法与最小条件法，采用传统的单纯形算法求解啼们。侯宇等人建立了空间任意方位圆锥度误差评定的数学模型，采用DPF算法求解无约束非线性最优化问题，实现圆锥度误差评定呦1。韩祖行建立了满足最小条件的圆锥度误差评定模型∞¨，采用Powell优化算法求解。廖平∞23等应用遗传算法求解圆锥度误差，并取得了一定的成效。(7)曲线轮廓度误差评定线轮廓度误差常用评定方法有最小区域法和最tJ、_-乘法，这两种方法都有不少学者展开了研究。全荣等人建立了用最小二乘法评定平面曲线轮廓度误差的通用数学模型。将直线度，圆度，椭圆度以及任何线轮廓度的评定归结在统一的数学模型中，并指出线轮廓度误差可分离成形状误差、参数误差和位置误差，给出了分离公式和误差补偿原则m引。欧阳林子等人提出了一种基于包络线法和优化方法来求解涡旋型线轮廓度误差的数据处理方法。该方法优点在于在涡旋型线轮廓度误差评定过程中能自动实现加工基准与测量基准的适应性调整，以此分离并消除加工基准与测量基准之间的位置误差对线轮廓度误差评定结果的影响嗍1。侯宇等人运用微分几何理论建立任意形式平面曲线轮廓度最小条件评定的统一模型，采用有效集法求解最优化问题∞5l。杨密等人提出了对离散点表示的轮廓曲线的数学描述方法，建立了复杂曲线轮廓度最小二乘法评定的数学模型，用等距平移曲线理论对理论曲线加法线方向的误差，作为实际测得的误差曲线，便于线轮廓度误差评定呻3。王伯平提出了一种基于遗传算法和自适应的计算平面线轮廓度误差的新方法。该方法满足最小条件原理，该方法的优点是在评定过程中能自动地实现被测轮廓与理论轮廓之间的适应性调整，从而分离并消除被测轮廓与其测量基准之间的位置误差对轮廓误差评定结果的影响，提高了误差评定的精度№71。于源等人提出一种用法矢定界法计算线轮廓度误差的新方法，通过矢量积运算得出测量点到曲线最短距离的所有局部解，再求出其最小值即为测量点到曲线6 中南大学硕士学位论文第一章绪论的最短距离，该方法的优点是不必事先对复杂曲线进行单调处理嘲。张进等人提出一种基于离散点的轮廓度评价算法，即被测轮廓与理论轮廓离散点间最小距离法。首先提取出被测轮廓的边缘点信息，然后，将被测轮廓等间距离散，寻找被测轮廓点对应的理论轮廓点，将计算得出的被测轮廓点到最近理论轮廓点的距离作为该点的轮廓度误差值旧1。郭慧等盯们将微粒群算法用于计算复杂曲线轮廓度误差，并取得了一定的成效。(8)曲面轮廓度误差评定王东善等人提出一种基于最d"--乘法与复合形法的优化方法用于曲面轮廓度误差评定的数据处理办法，该方法的优点在于在轮廓度误差评定过程中能自动地实现被测轮廓与理论轮廓的适应性调整，从而消除被测轮廓与理论轮廓之间的位置误差对轮廓度误差评定结果的影响口¨。王林艳等人提出一种基于坐标法的轮廓度误差评定方法，该方法将复杂曲面的理论模型离散化后用双三次样条函数进行精确描述，采用坐标轮换法求取实测点在理论轮廓上的对应点，最后求得曲面轮廓度误差口副。杨恒亮等人提出一种不要求满足小误差假设、不使用微分线性化评定二次曲面轮廓度的方法。该方法首先通过最小二乘法得到一个初始二次曲面，然后用模式搜索对初始二次曲面系数进行调整，直到找到满足最小条件原则的理想二次曲面，其目标函数值作为曲面轮廓度误差口引。．郭慧等盯铂将微粒群算法应用到曲面轮廓度误差评定中，并取得了一定的成效。纵观国内外形状误差评定方法研究现状，最／J、-"乘法评定理论已经相当成熟，其评定方法简便快捷，可以满足一般精度要求，因而广泛应用于生产领域。对于最小区域法评定理论，虽然国内外研究者已提出了不少优化算法，但大多未能在实际生产中推广应用。1．4三坐标测量机测量原理及其发展概况1．4．1三坐标测量机的测量原理三坐标测量机的基本测量原理是将各种几何元素的测量转化为对这些几何元素上一些点集坐标位置的测量，在测得这些点的坐标位置后，再由软件按一定的评定准则计算出这些几何元素的尺寸、形状、相对位置等，可实现在线检测及自动测量，测量精确可靠口鲥。7 中南大学硕士学位论文第一章绪论1．4．2三坐标测量机的发展概况从1956年由英国Ferranti公司发明第一台三坐标测量机以来，经过五十多年的发展，三坐标测量机已广泛应用于机械制造、汽车、造船和航空航天等制造业当中。测量机自动化程度越来越高，测量精度越来越高。近年来，随着计算机、集成电路、新材料和精密传感器等技术的发展，进一步促进了三坐标测量机的发展。现在，三坐标测量机已广泛应用于三维复杂零件的尺寸、形状和相互位置的测量口51，例如箱体、导轨、涡轮和叶片、齿轮等三维形体的测量。国外几个著名的生产三坐标测量机的厂家包括德国Zeiss和Leitz公司、瑞士TESA公司、美国Brown&Sharpe公司、意大利DEA公司、美国Sheffield公司、英国的LK等公司。我国自70年代开始研制三坐标测量机以来，也取得了很大的发展。国内主要生产厂家有青岛前哨朗普、西安爱德华测量设备有限公司、上海机床厂、中国航空精密机械研究所等。由于三坐标测量机控制系统复杂，并且需要高精度的测量传感器。国内迄今为止还没有形成具有完全自主知识产权的产品，大部分公司都是与国外合资，核心技术来源于国外。因此，必须加大对三坐标测量机研发投入的力度，在引进、吸收消化的基础上，开发出具有自主知识产权的产品。目前，国内外对三坐标测量机的研究主要集中在以下几个方面，这些方面代表着三坐标测量机未来的发展方向CTe]。l、提高测量精度与测量效率，包括提高标尺精度、结构精度等，采取恰当的采样方法，提高控制系统精度检测及误差分析能力，具有对动态误差进行补偿的能力等。目前，国外的三坐标测量机测量精度已达到微米级别，测量速度可达几百毫米每秒。2、发展探测技术。测头是三坐标测量机高精度测量的关键，也是三坐标测量机的核心部件，理想测头最主要的性能指标是测头接近零件能力的参数，在同等精度指标下，测头端部的测头体直径D与测杆长度L的长径比(L／D)，其值愈大，精度越高口明。3、采用新材料，新技术。近年来，铝合金、陶瓷材料等在坐标测量机得到了广泛应用，德国Zeiss公司、英国LK公司、美国Brown&Sharpe公司，都采用了重量轻、刚性好的铝合金或陶瓷材料。4、软件技术的革新。测量机的功能主要由软件决定，测量机的软件功能包括测量坐标系转换、温度补偿、测头半径补偿、误差修正等功能，如瑞士TSEA公司公司生产的MicroPlus坐标测量机具有温度补偿功能，意大利DEA公司生产的坐标测量机采用PC—DMIS通用测量软件，能够对三维复杂零件进行测量。8 中南大学硕士学位论文第一章绪论1．5本文的主要研究内容与基本结构1．5．1主要研究内容本文主要研究内容如下：(1)研究了直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆柱度误差、球度误差、圆锥度误差和复杂曲线、复杂曲面轮廓度误差评定的数学模型，提出了相应的算法：(2)建立了燃气轮机叶片截面曲线、叶片曲面的数学模型，采用非均匀有理B样条(NURBS)插值反算，构造了叶片外形：’(3)根据微分几何理论，推导出了被测轮廓的二维坐标变换公式与三维坐标变换公式；(4)针对轮廓度误差评定中的关键问题一点到曲线、曲面的最小距离，采用分割逼近法快速求解；(5)采用拟牛顿法中的BFGS算法求解非线性最优化问题，利用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的最优解；(6)运用MATLAB平台编写程序，对形状误差评定进行实例验证。1．5．2论文基本结构第一章绪论。介绍了课题的来源与研究目的，国内外相关课题与技术的研究现状，三坐标测量机的测量原理与发展趋势，以及本文的主要研究内容及基本结构。第二章形状误差评定的相关理论。介绍了要素、基准等相关概念以及形状误差评定的基本原则及评定方法等。给出了形状误差评定的通用数学模型，采用拟牛顿法中的BFGS方法求解非线性最优化问题。第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定。根据已有的简单轮廓形状误差(直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆柱度误差、球度误差、圆锥度误差)评定的数学模型，设计了基于MATLAB的误差评定算法，给出了误差评定的详细步骤。第四章基于MATLAB的复杂盐线轮廓度误差评定。根据线轮廓度误差的定义，建立了复杂线轮廓度误差评定的数学模型，采用分割逼近法快速求解点到曲线的最小距离，阐述了曲线轮廓度误差评定的详细步骤。第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定。根据曲面轮廓度误差的定义，建立了复杂曲面轮廓度误差评定的数学模型，采用分割逼近法快速求解点到曲面的最小距离，阐述了曲面轮廓度误差评定的详细步骤。9 中南大学硕士学位论文第一章绪论第六章实验验证。对直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆柱度误差、球度误差、圆锥度误差、复杂线轮廓度误差和复杂曲面轮廓度误差评定进行实例验证，并分析了实验结果。第七章总结与展望。总结了本论文所完成的工作，主要创新点，并对以后的研究工作进行了展望。10 2．2基本概念零件的实际要素对其理想要素的变动量称为形状误差。零件在加工过程中由于受到各种因素的影响，如加工装备本身的误差；加工中的安装、调整等人为因素的误差，加工过程中受夹紧力、切削力的影响，使工件和加工装备产生弹性变形。温度变化、刀具磨损、切削时的振动，以及内应力、热处理变形等也是产生形状误差的原因口"。2．2．1要素定义机器或零件是由构成其几何特征的点、线、面组成的，这些点、线、面统称为几何要素盯力(简称要素)。(1)轮廓要素：零件表面上的点、线、面各要素。(2)中心要素：轮廓要素对称中心所表示的点、线、面各要素。(3)单一要素：给出形状公差要求的要素，如圆、圆柱面等。(4)关联要素：对其他要素有功能关系的要素。(5)被测要素：给出了形状公差的要素。(6)基准要素：用来确定理想被测要素方向或位置的要素。2．2．2公差原则零件的各个要素包括尺寸公差要求和形状公差要求。对同一个要素，必须明确规定尺寸公差与形状公差两者之间的关系。因此，在零件图上必须用公差原则来规定要素的尺寸公差与形状公差二者之间的关系。公差原则分为独立原则和相 中南大学硕士学位论文第二章形状误差评定的相关理论关要求n71。。(1)独立原则独立原则是指图样上给出的各项尺寸公差与形位公差是相互独立的，互不相干，分别满足各自要求的公差原则，它是形状公差的基本原则。(2)相关要求所谓相关要求是指图样上给出的尺寸公差与形状公差相互关联的公差要求。相关要求包括包容要求、最大实体要求、最小实体要求和可逆要求。它们的的区别在于理想边界不同。最大实体要求的理想边界是实效边界，边界尺寸为实效尺寸；包容要求的理想边界是最大实体边界，边界尺寸为最大实体尺寸。2．2．3基准定义及体现方法(一)基准定义基准是确定关联要素方向和位置的依据。凡是要确定两个或多个要素之间的方向或位置关系时，必须先确定基准。只有当基准确定后，才能确定被测要素的方向或位置。为了准确地确定理想被测要求的方向或位置，必须建立理想的基准要求，但是零件在加工过程中，由于存在制造误差，这就需要在具有形状误差的实际基准要素上按照相关要求建立理想的基准要素，基准包括基准点、基准直线和基准平面等三种形式。根据实际需要，关联要素的位置可以由单一基准、组合基准或三基面体系来确定Ⅲ。(1)单一基准单一基准是指仅由一个要素建立的基准，如一个平面、一个圆锥面或圆柱表面的轴线、一个球的球心等建立的基准。(2)组合基准组合基准是指由两个或两个以上的同类要素构成而作为一个基准使用的要素。(3)三基面体系当单一基准不能提供对关联要素完整的定位时，可以采用三基面体系，它由三个相互垂直的基准平面组成，三个基准平面是确定和测量零件上各要素几何关系的起始点，测量方向垂直于基准平面。(二)基准的建立在用三坐标测量机测量零件时，必须先建立测量基准。基准包括基准点、基准线、基准面，它们的建立都有统一的原则，即：由实际基准要素建立基准时，基准为该实际基准要素的理想要素，理想要素的位置应满足最小条件原则，即实际基准要素对理想基准的最大变动量为最小。(三)基准的体现12 中南人学硕士学位论文第二章形状误差评定的相关理论基准应符合最小条件是建立基准的基本原则，常用的基准体现方法有模拟法、直接法和分析法吲。在这三种体现方法中，采用直接法简单方便，但是，由于实际基准存在形状误差，实际基准要素的形状误差会直接反映到测量结果中，对测量结果有影响，一般只有当实际基准具有足够高的精度的情况下，才用它直接作为基准。当采用模拟法和直接法都不方便时，可以采用分析法，该方法是对实际基准要素和实际被测要素进行测量后，根据测得数据用计算或图解的方法确定符合最小条件基准的位置，然后评定定向、定位误差，该方法确定基准位置的准确程度主要取决于实际基准要素的测点数目、测量精度、数据处理方法和计算精度。2．3形状误差评定基本原则及评定方法形状误差评定有多种方法，如评定直线度误差有两端点连线法、最小区域法、最小二乘法等；评定平面度误差有对角线平面法、三远点平面法、最小二乘法和最小区域法等；评定圆度误差有最小外接圆法、最大内接圆法、最小区域法和最小二乘法等。上述各种评定方法得出的误差值差异很大，评定时应选择合适的评定方法。根据国家标准GB／T1182和ISO1101的规定，最小条件是评定形状误差的基本原则，并以此为仲裁方法口刀。在实际生产过程中，应根据具体情况选择合适的评定方法。在满足功能要求的前提下，应从检测的简便性和经济性两方面考虑。最小二乘法计算简单，在实际生产过程中得到了广泛应用，一般都能满足生产实际要求。但是，从理论上说，任何评定方法计算所得结果均不小于最小区域法的评定结果。2．4形状误差检测原则零件加工后，需要对零件进行检测，以确定其是否合格。就形状误差来说，测量是指将实际被测要素与其理想要素相比较，以确定它们之间的区别，根据这个差别来评定形状误差的大小。检验是指使用位置量规或光滑极限量规来确定被测要素的形状误差和实际尺寸综合形成的实体是否在零件图样所规定的理想边界范围内，从而判断零件的合规性，它不能得到具体的形状误差值口71。由于零件的结构特点、尺寸精度以及检验设备的不同，同一形状误差项目有多种不同的检测方法，形状误差检测原则包括与理想要素比较原则、测量坐标值原则、测量特征参数原则、测量跳动原则和边界控制原则。测量坐标值原则是指利用测量仪器上的坐标系(直角坐标系、极坐标系、圆13 中南大学硕十学位论文第二章形状误差评定的相关理论柱面坐标系等)，对被测要求进行采样，获取实际被测要素上各测点的坐标值，根据测得的坐标值求得形状误差值口钉。随着三坐标测量机的广泛运用，这种检测原则在形状误差测量中被广泛采用，本文中数据正是通过三坐标测量机进行采集，通过计算获得零件的形状误差值。2．5形状误差评定的数学模型按最小区域法评定形状误差，是指包容被测轮廓的两理论轮廓的最小距离，理想轮廓的位置必须符合最小条件。其实质是一个非线性最优化问题，人们根据形状误差的定义分别给出了极差最小、极大值最小、极小值最大的数学模型【硒】。min[max(F(U，X)-min(F(U，X)】(2—1)min[max(F(U，X)】(2—2)max[min(F(U，X)】(2—3)式中，【，为理想要素参数构成的集合，X为实际要素参数构成的集合。本文根据极差最小原理建立满足最小条件的简单轮廓形状误差评定的数学模型，(矿)=min{max{d,I江1，2，⋯，z)-一min{a，l扛1，2，⋯n))(2-4)上式中，Z为实测点到理论轮廓的距离。对于简单轮廓形状误差，如直线度误差、平面度误差、圆度误差等，矿为理想要素参数所构成的集合。计算形状误差，即要寻找一组参数值，获得目标函数式(2-4)的最优解。本文根据极大值最小原理建立满足最小条件的复杂轮廓形状误差评定的数学模型F(y)=I血{2max{d,If=1，2，⋯，z))(2—5)上式中，Z为实测点到理论轮廓的距离。对于复杂轮廓形状误差，由于测量坐标系跟设计坐标系存在偏差，为了使实测点与理论轮廓达到最佳匹配状态，必须对实测点进行坐标平移、旋转变换，此时，矿为坐标变换参数所构成的集合，对于复杂曲线，X=(乞，f，，秒)，对于三维复杂曲面，X=(乞，f，，乞，口，∥，厂)。计算形状误差，就是要寻找一组坐标变换参数值，获得目标函数式(2-5)的最优解。14 中南大学硕士学位论文第二章形状误差评定的相关理论2．6算法选择从式(2-4)可以看出，这是一个非线性最优化问题，求解非线性最优化问题有很多算法口引，其中包括最速下降法、共轭梯度法、Newton法、拟Newton法、单纯形法、模拟退火法等，在这些常用算法中，最速下降法构造简单、但收敛慢，已不太采用，梯度法计算量小，但收敛速度慢，Newton法突出优点是收敛速度快，但需计算二阶偏导数，当维数较高时，计算量大，而且对初值的依赖性也比较大，其目标函数的Hessian矩阵有可能出现非正定的情况。在Newton法的基础上，人们提出了拟Newton法。它的基本思想是模拟牛顿方向的生成途径，利用相邻两个点的位移及一阶导数信息构造与二阶导数阵相似的正定矩阵。所产生的方法计算量比牛顿法少，收敛速度达到超线性收敛m3。设厂：R”一R在开集DcRn上二次可微，／在％+1附近的二次近似为1一f(x)≈厂(故+1)+厂’(五+1)(x一噍+1)+÷@一％+1)7f”(五+I)(x一‰+1)(2—6)二’记g(x)=夥(z)，g川=f。(赡+。)，q+，=f“(以+，)对上式两边求导得g(．)c)≈gk+l+Gk州(x—t+1)(2—7)令x=以，&=垓+1一吒，Yk=g七+l—g．|}，得础ly七≈&(2-8)显然，对于二次函数．厂，式(2-6)精确成立。从而可以得到拟牛顿法中的Hesse矩阵日川满足该关系式，即日．|}+lYk=＆(2—9)上述关系式称为拟牛顿方程或拟牛顿条件，令壤+l=础l，则可得到拟牛顿方程的另一个表达式瓯+1&=Yk(2—10)根据构造矩阵方式的不同，拟Newton法又分为DFP法和BFGS法，本文采用BFGS法求解。BFGS方法是求解非线性优化问题的最有效的方法之一，它是由Broyden，Fietcher，Gold．farb和Shanno提出并发展起来的n引，其校正公式为‰=峨+舞一锈癸州协⋯其中15 中南大学硕士学位论文第二章形状误差评定的相关理论州旭∥2L表一厩／-／kYk-J&=xk+1一xk，％=vf(‰+1)一W(以)相应地，对于反族的校J下公式为％=吃+畿Yk一镣+K《沿㈦S；SlkBkSk’⋯其中％邓鲰∥陀L袭一一BkskSkBkSk／I沿㈣Lsi儿由式(2—4)和式(2—5)可知，目标函数是二次函数，应用BFGS方法经过有限次迭代，必定达到最小值，迭代公式为晚+l=％+以dk(2一14)式中，以是迭代步长，畋是搜索方向并且是下面线性方程组的解。畋+％夥(％)=0(2—15)确定以有精确搜索和wolfe型不精确搜索两种方法，本文采厍Jwolfe型不精确搜索方法求解，计算公式为：慨Vf(x篇七dk’黧a2Vf垮(x,o)栅dkk广’矾(2_16)【+1)2≥r怕“7式中，q、吒为正的常数且满足q<吒<1。BFGS算法步骤如下：(1)选初值，给定初始点Xo∈R一，变量维数n和收敛精度g>0，Ho∈R删“(对称正定矩阵)，令k=0，计算目标函数在初始点处的梯度舒。(2)由式(2—15)计算搜索方向畋，由式(2—16)确定最佳步长丑。(3)计算新的迭代起始点，令％+l=稚+以以，计算厂(％+1)。(4)检验终止条件，计算|I吆+l一≮II，满足给定的精度要求，循环结束，否则，根据式(2—11)‘修正Hk+l，继续迭代。(5)令k=k+1。算法流程图如图2-I所示：16 -求解约束条件非线性极小值，包括目标逼近问题、极大一极小值问题；求解二次规划和线性规划问题；_非线性最小二乘逼近和曲线拟合；。_非线性系统的方程求解；·约束条件下的线性最小二乘优化；·求解复杂结构的大规模优化问题。每一种优化问题都有相对应的函数来求解，表2—1列出在最优化问题中最常用的几种函数及其求解类型。表2—1求解最优化问题常用函数及类型函数名求解类型fminsearchfminuncfminbndfminconfscminfquadprogfminimaxfgoalattainlinprog单纯形法求解无约束非线性最优化问题拟牛顿法求解无约束非线性最优化问题单变量约束最优化问题约束非线性最优化问题约束最优化问题二次规划鞍点规划问题多目标约束最优化线性规划17 中南大学硕J二学位论文第二章形状误差评定的相关理论用于求解无约束非线性极小值的函数有fminunc和fminsearch，本文采用fminunc求解，基本算法是迭代法，用法介绍如下：[x，fval，exitflag，output]=fminunc(fun，xO，options)x：最优解；．fun：目标函数；options：设置优化选项参数；fval：返回目标函数在最优解x点的函数值；exitflag：返回算法终止标志；output：返回优化算法信息的一个数据结构。fminunc函数为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=“on’’(默认值)，使用大型算法；LargeScale=“off"，使用中型算法。fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了3种算法，由options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=“bfgs"(默认值)，拟牛顿法的BFGS方法；HessUpdate=“dfp’’，拟牛顿法的DFP方法；HessUpdate=“steepdesc’’，最速下降法。本文采用拟牛顿法中的BFGS方法求解，BFGS法求解非线性优化问题时，求解速度快，但也存在局部收敛问题，初始迭代值选取很关键，好的初始值不仅可以获得全局最优解，还可以加快收敛速度。本章所采用的优化算法为后续各章节所采用。2．7本章小结本章首先根据国家标准GBl985-80，介绍了形状误差的基本概念，要素的定义，公差原则、基准定义及体现方法。然后介绍了形状误差评定的基本原则及评定方法，在此基础上，给出了形状误差最小区域法评定的数学模型，采用拟牛顿方法中的BFGS方法求解此优化问题。 中南人学硕士学位论文第三章基于MATL—d3的简单轮廓形状误差评定第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定3．1引言形状误差对机械产品零件的质量有重要影响，随着机械制造业的快速发展，人们对产品质量提出了更高的要求，常见的零件如轴类零件、齿轮等，都是由基本几何形体构成。因此，对简单轮廓形状误差的评定显得尤为重要。简单轮廓形状误差包括直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆柱度误差、球度误差、圆锥度误差等，这些形状误差普遍存在于机械产品零件当中。因此，对这类形状误差的评定具有重要理论意义和经济价值。3．2直线度误差评定3．2．1直线度误差定义直线度误差是指实际直线对其理想直线的变动量n1。理想直线的位置必须符合最小条件，两平行直线间的距离w即为直线度误差值，如图3-1所示。图3-1直线度误差定义3．2．2基于MATLAB的直线度误差评定按最小区域法评定直线度误差，是指包容被测直线的两平行线的最小距离。直线度误差分为平面直线度误差和空间直线度误差。平面直线度最小区域法的数学模型【161为：·F(A，B，C)=min{max张)一miIl碱))(3—1)式中喀为测点g{(薯，咒)If=1，2，⋯以)到理论直线血+缈+C=0的距离，即盔=—A—x,尸+亍B：y：i+iC一(3-2)‘√彳2+B219 中南大学硕：I：学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定空间直线度最小区域法的数学模型[16】为：F(t，m，咒，Xo，Yo，zo)=rain{2max{dr|i=l，2，⋯，z))(3—3)式中，吐为测点g{(t，Yt，zt)fi=1，2，⋯n)到空间参数直线的距离，即盔=j(3-4)√z2+聊2+，z2从直线度误差评定的数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-1)可以看出，平面直线度误差由参数(么，曰，C)决定，优化变量为(么，B，C)，从式(3—3)可以看出空间直线度误差由参数(，，m，n，xo，Yo，Zo)决定，优化变量为(，，m，n，Xo，Yo，Zo)，平面直线度误差目标函数为式(3—1)，空间直线度误差目标函数为式(3-3)，即函数fminunc中fun的值，建立直线度误差优化数学模型后，通过load函数导入测量数据，调用fminunc优化函数，即可求出平面直线度和空间直线度误差值。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的直线度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测点坐标数据，将其中任意三组数据代入直线方程，求解得到直线参数值；(3)根据式(3-1)、(3—3)构造直线度误差评定目标函数；(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的直线参数作为目标函数迭代初始值，代入优化函数fminunc，求出直线参数精确值，此参数即为理论直线参数值；(5)根据式(3—2)、式(3-4)分别求取实测点到理论平面直线、空间直线的最小距离；(6)分别求得平面直线度误差、空间直线度误差。根据最小区域法建立的数学模型，在MATLAB平台下，设计直线度误差评定软件，进行误差评定，平面直线度误差评定算法流程图如图3—2所示。 中南人学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定圃●导入测量数据I计算迭代初始值(A’B，C)l构造直线度误差评定目标函数l目标函数寻优I求得直线度误差3．3平面度误差评定图3-2平面直线度软件算法流程图3．3．1平面度误差定义平面度误差是指实际被测平面对其理想平面的变动量n1。理想平面的位置必须符合最小条件，两平行平面间的距离h即为平面度误差值，如图3-3所示。●图3-3平面度误差定义3．3．2基于MATLAB的平面度误差评定按最小区域法评定平面度误差，是指包容被测平面的两平行平面的最小距离。平面度最小区域法的数学模型【16】为：F(A，B，C，D)=min{max{d1)一rain{a,})(3—5)式中或为测点g{(薯，儿，刁)If=1，2，⋯珂)到理论平面厶+缈+Q+D=0的距离，即(3-6)从平面度误差数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB2l 中南大学硕：f：学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-5)可以看出，平面直线度误差由参数(彳，曰，C，D)决定，优化变量为(A，B，C，D)，平面度误差目标函数为式(3-5)，即函数fminunc中fun的值，建立平面度误差优化数学模型后，通过load函数导入测量数据，调用fminunc优化函数，即可求出平面度误差值。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的平面度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测得的坐标数据，将其中任意四组数据代入平面方程，求解平面方程参数A，B，C，D值；(3)根据式(3—5)构造平面度误差评定目标函数；(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的平面参数作为目标函数迭代初始值，代入优化函数fminunc，求出平面方程参数精确值，此参数即为理论平面参数值；(5)根据式(3-6)求取实测点到理论平面的最小距离；(6)求得平面度误差。根据最小区域法建立的平面度误差数学模型，在MATLAB平台下，设计平面度误差评定软件，平面度误差评定算法流程图如图3-4所示。导入测量数据II计算迭代初始值(A，岛c，D)IlI构造平面度误差『评定目标函数l目标函数寻优I求得平厦度误差图3-4平面度误差算法流程图 图3-5圆度误差定义3．4．2基于MATLAB的圆度误差评定按最小区域法评定圆度误差，是指包容被测圆的两同心圆的最小半径差。圆度误差最小区域法的数学模型【16】为：F(xc，yc)=min{max{df}一min{di))(3—7)式中应为测点q{(xi，乃)If=1，2，⋯刀)到圆心(≮，Yc)的距离，即广————————_=————————————●喀=√(‘一t)2+(咒一儿)2(3—8)从圆度误差数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-7)可以看出，圆度误差由圆心坐标(t，儿)决定，优化变量为(t，Y。)，圆度误差目标函数为式(3—7)，即函数fminunc中fun的值，建立圆度误差优化数学模型后，通过load函数导入测量数据，调用fminunc优化函数，即可求出圆度误差值。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的圆度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测得的坐标数据，由其中任意三组数据可求解圆心坐标参数(t，儿)值：(3)根据式(3—7)构造圆度误差评定目标函数；(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的圆心坐标参数作为目标函数迭代 中南大学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定初始值，代入函数fminunc，求出圆心坐标参数精确值，此参数即为理论圆圆心坐标参数值；(5)根据式(3—6)求取实测点到理论圆圆心的最小距离；(6)求得圆度误差。根据圆度误差优化数学模型，采用MATLAB平台编写程序，设计圆度误差评定软件，圆度误差评定算法流程图如图3-6所示。3．5圆柱度误差评定导入测量数据II计算迭代圆心坐标初始值1l构造圆度误差评定目标函数I目标函数寻优l求得圆度误差图3-6圆度误差算法流程图3．5．1圆柱度误差定义包容实际圆柱面做一外包容圆柱面和一与之同轴的内包容圆柱面形成两个同轴的包容圆柱面区域，两同轴的圆柱位置必须符合最小条件，其半径差△置即为圆柱度误差，如图3—7所示：图3-7圆柱度误差定义24 中南大学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定3．5．2基于MATLAB的圆柱度误差评定按最小区域法评定圆柱度误差，是指包容被测圆柱的两同轴圆柱的最小半径差。圆柱度误差评定问题转化为求圆柱中心轴线位置。轴线的一般方程为—x-—xo=—Y--—YO=—Z--—Z0f3—9、一一一一一，’J—U、J『ml"l～～圆柱度误差最小区域法的数学模型【16】为：F(xo，虬，Zo，，，m，n)=rain{max{a,)一rain{d,})(3—10)式中碣为测点g{(五，儿，弓)lf=1，2，⋯刀)到圆柱轴线的距离，即盔=监兰必掣鸟鱼掣塑型(3-11)“：一———————————1============————————一√Z‘+，竹‘+刀‘从圆柱度误差数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-10)可以看出，圆柱度误差由轴线参数(％，甄，Z0，Z，m，n)决定，优化变量为(而，％，Zo，Z，朋，n)。圆柱度误差目标函数为式(3-10)，即函数fminunc中fun的值，建立圆柱度误差优化数学模型后，通过load函数导入测量坐标数据，调用fminunc优化函数，即可求出圆柱度误差值。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的圆柱度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测得坐标数据，求解出圆柱轴线坐标参数(嘞，％，气，，，m，n)值；(3)根据式(3—10)构造圆柱度误差评定目标函数；(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的圆柱轴线坐标参数值作为目标函数迭代初始值，代入函数fminunc，求出圆柱轴线坐标参数精确值，此参数值即为理论圆柱轴线的坐标参数值；(5)根据式(3一11)求取实测点到理论圆柱轴线的最小距离；(6)求得圆柱度误差。根据最小区域法建立的圆柱度误差数学模型，在MATLAB平台下，设计圆柱度误差评定软件，圆柱度误差评定算法流程图如图3-8所示。 中南大学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定3．6球度误差评定I构造圆轴度误差l评定目标函数J目标函数寻优lf求得圆柱度误差图3-8圆柱度误差算法流程图3．6．1球度误差定义包容实际球做一外包容球和一与之同心的内包容球，形成两个同心的包容球区域。两同心球的位置必须满足最小条件，其半径差即为球度误差值，如图3-9所示。图3-9球度误差定义3．6．2基于MATLAB的球度误差评定按最小区域法评定球度误差，是指包容被测球的两同心球的最小半径差。设球的参数方程为匿x=R：sina三c警osfl++以x球度误差最小区域法的数学模型1q为：(3-12) 第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定，(‘，Yc，乙)=rain{max{d,}一min{或))(3—13)式中，珥为测点g{(玉，Yi，zi)lf=1，2，⋯刀)到球心坐标(t，咒，乙)的距离，即df=、／(‘一t)2+(乃一咒)。+(Z1一乙)2(3-14)从球度误差数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-13)可以看出，球度误差由球心坐标参数(t，儿，乞)决定，优化变量为(艺，咒，zc)，球度误差目标函数为式(3-13)，即函数fminunc中fun的值，建立球度误差优化数学模型后，通过load函数导入测量数据，调用fminunc优化函数，即可求出球度误差。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的球度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测得的数据，求解出球心坐标参数(t，儿，乙)值；(3)根据式(3—13)构造球度误差评定目标函数：(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的球心坐标参数值作为目标函数迭代初始值，代入函数fminunc，求出球心坐标参数精确值，此参数值即为理论球球心的坐标参数值；(5)根据式(3-14)求取实测点到理论球心的最小距离；(6)求得球度误差。根据最小区域法建立的球度误差数学模型，在MATLAB平台下，设计球度误差评定软件，球度误差评定算法流程图如图3-10所示。●导入测量数据Il计算迭代球心坐标初始值|l构造球度误差评定目标函数I目标函数寻优l求得球度误差图3-10球度误差评定算法流程图 中南人学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定3．7圆锥度误差评定3．7．1圆锥度误差定义按最小区域法评定圆锥度误差，是指包容被测轮廓，圆锥半顶角为秒的两同轴圆锥面的最小距离，如图3一11所示。图3-11圆锥度形状误差定义设圆锥半锥角为目，圆锥顶点A坐标为(％，％，Zo)，圆锥轴线的方向矢量为(J『，m，，z)，则圆锥轴线的参数方程为X—Xo—Y—Yo—z—Zo——_一——一——(3-15)Zmn设实测点为P{(Xi，Yi，毛)If=l，2，⋯n)，测点到圆锥面上的距离如图3—12所示：图3-12测点到圆锥面的距离示意图由图3—12可知，IPDI为测点到圆锥面的距离。依据几何关系有：4=IPDI-I船Icos0(3-16)又有28 中南大学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定PBI_I粥I-lBCIBCI_lACItgO将上面三式联立得到lPDI=IPCIcosO-IACsinO其中IPCI=监j与兽等掣剑qtz+m2+n2在小偏差假设条件下，目与矽相差很小，秒≈≯，如图3—13所示。(3-17)(3-18)(3-19)(3-20)图3—13测点到圆锥面的距离由前面的假设可知IAP}√(‘-Xo)2+(M-yo)2+(乙一‰)2(3—21)厂———————————一AC|_√I彳尸12一I尸c12(3-22)联立以上四式，即可求得di的值包容被测圆锥的两同心圆锥的半径差为d=max{d,li=1，2，⋯刀)-nan{d,I待l，2，⋯刀)(3—23)则圆锥度误差为F(1，m，n，Xo，Yo，Zo，秒)=min{d)(3-24)因(J『，m，，z)三个变量之间其中一个量可以用另外两个量表示，设口=，／m，∥=l／n，则圆锥度误差可简化为F(xo，Yo，Z0，口，∥，秒)=rain{d}(3-25)29 中南大学硕士学位论文第三章基于MATLAB的简单轮廓形状误差评定3．7．2基于MATLAB的圆锥度误差评定从圆锥度误差数学模型可知，这是一个非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数fminunc求解，所用算法为BFGS方法。从式(3-25)可以看出，圆锥度误差由圆锥轴线参数(％，％，Zo，口，∥，0)决定，优化变量为(％，％，Zo，口，∥，秒)，圆锥度误差目标函数为式(3—25)，即函数fminunc中fun的值，建立圆锥度误差数学模型后，通过load函数导入测量数据，调用fminunc优化函数，即可求出圆锥度误差值。本文采用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的圆锥度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入测量数据，MATLAB中导入数据的函数为load，基本应用形式为A=load(’DATA．dat’)，确定循环结束条件；(2)根据测得的坐标数据，求解出圆锥轴线坐标参数(％，％，zo，口，∥，0)值；(3)根据式(3-25)构造圆锥度误差评定目标函数；(4)为了减少迭代次数，将步骤(2)求得的圆锥轴线坐标参数值作为目标函数迭代初始值，代入函数fminunc，求出圆锥轴线坐标参数精确值，此参数值即为理论圆锥轴线的坐标参数值；(5)根据式(3—19)求取实测点到理论圆锥轴线的最小距离；(6)求得圆锥度误差。根据最小区域法建立的圆锥度误差平的数学模型，在MATLAB平台下，设计圆锥度误差评定软件，圆锥度误差评定算法流程图如图3-14所示。导入测量数据II计算迭代圆锥轴线坐标初始值l构造圆锥度误差评定目标函数l目标函数寻优·I求得圆锥度误差图3-14圆锥度误差评定算法流程图 轮廓形状误差评定、球度误差和步骤和评定软 中南人学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定4．1引言自由曲线在工程中发挥着重要作用，如叶片，齿轮、涡轮等零件的外形曲线多为不规则曲线，它们无法用统一的解析表达式表示，在进行误差评定时，一般是通过三坐标测量机测得坐标数据，通过样条函数插值拟合其理论轮廓曲线，再求测量点到理论轮廓曲线的距离。随着航空、航天、汽车等机械制造业的快速发展，自由曲线的应用越来越广泛，对高效率、高精度的制造误差的测量及评定要求也越来越高。因此，复杂曲线轮廓度误差的测量与评定就有着重要的意义。4．2轮廓基本概念(1)理想轮廓理想轮廓是由正确尺寸确定的理论轮廓，它是具有几何学意义的轮廓。在设计时，图样上给出的是理想轮廓。在零件制造过程中，由于各种因素的影响不可能获得理想轮廓。但根据零件功能的需要，必须具有一定的精度，因此设计中给出轮廓度公差，表示对轮廓度的精度要求Ⅲ。(2)实际轮廓实际轮廓是指零件上实际存在的轮廓，是轮廓度误差检测的具体对象n1，通过检测来判断实际轮廓的精度是否满足设计的要求。(3)测得轮廓运用某种手段，对实际轮廓进行采样后，获得一系列信息，由这些信息体现的轮廓即是测得轮廓Ⅲ。在检测中，由于各种原因，测得轮廓与实际轮廓间有一定差异。在评定轮廓度误差时，通常都以测得轮廓代替实际轮廓。4．3理论轮廓曲线的数学模型由于给定的理论曲线轮廓由一系列离散的数据点g(／=o，1，⋯，1)组成，在进行曲线轮廓度误差评定时，应首先将这些理论点插值反算得到理论轮廓曲线，再求实测点到理论轮廓曲线的距离。鉴于NURBS曲线在表示自由曲线时有许多优良性质呻0。，本文采用三次NURBS方法进行插值处理，生成理论轮廓曲线的数学模型，NURBS曲线的有理分式表示形式删为： 好J‰=o【U，=“f+l+Ii—l|l／2，江1，2，⋯，n(4—2)式中，卸，为向前差分矢量，△p，=Pf+1一P，即弦线矢量。(2)确定节点矢量。对于非周期NURBS曲线，一般取两端节点的重复度为k+l，即U=[口，⋯，口，‰小⋯，U。，∥，⋯，∥]，本文中a，∥的取值分别为0和l。(3)NURBS基函数求取NURBS基函数的求取是一个递推过程。k次NURBS基函数是由两个相邻的k一1次NURBS基函数的线性组合构成。NURBS基函数递推公式船们如下：啪，=”嚣‰1．．M，I@)=型盟M，七_。@)+』世：吐M“纠@)后≥l(4—3)Ui+七一Ui“f“+l—Ui+1规定罟=oM．。(“)的双下标中第一下标i表示基函数的序号；第二下标k表示次数。每一个基函数由u取值范围内的k个子区间来定义。(4)反算控制顶点设通过n+1个型值点Qj，J=O，1，⋯，n的k次NURBS曲线方程可写为：n●尸(“)=∑弓q。。(甜)“∈(o，1)j*o式中，M“)：掣。∑哆以，。(“)j-o将型值点Qj对应参数甜，，代入上式，得到以下线性方程组：33(4-4) 中南人学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定Qj=P(云，)=窆只R，。(云，)／=0，1，⋯，以(4-5)i=0将式(4-5)改写成矩阵形式得到以下关系式：QoQl：●Q民。女(uo)墨。t(uo)⋯Rn．t(uo)R。^(“1)墨。^(“1)⋯民。I(“1)●R，t@一)马，t(“n)⋯咒，t似n)昂日：●只(4-6)求控制点的问题转化为求线性方程组的问题，MATLAB在求解线性方程组简单方便，用于求解线性方程组的函数为linsolve，求线性方程组A*x--b的解，基本形式是linsolve(A，b)，其中，AFR，七(铭o)墨，七(“o)⋯疋，七(“o)R，I@1)墨，女(“1)⋯兄，^(“1)R，。(“一)足，七(“一)⋯民，七(“一)，b=Q0Q1：●Q调用函数linsolve(A，b)，即可求得控制顶点的值。(5)由控制顶点和节点矢量即可插值生成NURBS曲线。曲线反算过程流程图如图4-1所示数据点参数化I计算节点矢量I求取基函数Il采用姒TLAB求解线性方程组{求得控制顶点值I插值得到曲线图4-1曲线反算流程图以燃气轮机叶片的某个截面轮廓为例，进行实例分析，截面曲线是闭合曲线，由理论设计点插值反算生成NURBS曲线时，首末数据点应相同，反算出的叶片截面曲线如图4-2所示。 廓度误差评定图4-2燃汽轮机叶片截面曲线图4．4线轮廓度误差定义及评定方法4．4．1线轮廓度误差定义线轮廓度误差是指实际被测轮廓线对其理想轮廓线的变动量。理想轮廓线的位置应满足最小条件，误差值用最小包容区域的宽度w确定n1，W的值就是曲线轮廓度误差值，如图4—3所示。图4-3曲线轮廓度误差定义4．4．2线轮廓度误差评定方法线轮廓度误差的评定方法有三种：(1)最小二乘评定法；(2)两端点法；(3)最小区域评定法。(1)最小二乘评定法最小二乘评定法，是用理想曲线的等距线逼近实际曲线，并使残差平方和最小，这时的残差是指等距曲线与实际曲线的法向距离口"。与最小区域评定法相比，虽存在一定的误差，但它完全能满足实际生产要求，因而在形状误差评定中被广泛采用。(2)两端点法两端点法是指以通过实际被测轮廓线两端点的理想轮廓线作为评定基准，取35 中南大学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定测得各点相对于它的偏差值中的最大偏差值“。与最小偏差值吒访之差作为线轮廓度误差值，在它上面的测点的偏离值取正值，在它下面的测点的偏离值取负值m1。即：f=d一一dm缸。(3)最小区域评定法最小区域评定法是形状误差评定的基本原则，最小区域是指由两条曲线包容实际轮廓线时，理想轮廓线穿过实际被测轮廓线，这两条曲线分别至理想轮廓线的法向距离相等且它们之间的宽度为最小包容区域。理想轮廓线所处的位置，要使得实际被测轮廓线对它的最大偏离量为最小，误差值为最大偏离量的两倍，也就是最小区域的宽度口71。4．5测点到理论曲线的最小距离设理论曲线，．@)的参数方程为：IX=rx(U)1Y=t，(甜)(40)l=o(甜)¨¨其中参数“的范围为“∈[ffa,％】，由平面几何知识可得，测点只(葺，Yt)到理论曲线轮廓上一点，(‘@)，0(甜))的距离为：(4-8)由于在误差评定过程中，轮廓各实测点的误差是该点与其在理论轮廓上对应点之间的法向距离。因此，在轮廓度误差评定的过程中，关键是求出测量点到理论曲线轮廓的法向最小距离，设B为实测点，对应的法线为％，％与理论曲线轮廓的交点硝即为实测点在理论曲线轮廓上的对应点，易与力之间的距离即为点B到理论曲线轮廓的最小距离o．如图4—4所示。D图4-4点到曲线的距离示意图对于参数曲线，一个参数值甜对应于曲线上一点，．(‘(“)，‘(“))，不同的“对 中南大学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定应曲线上一系列不同的点，寻找对应点才，也即要搜索一个U参数值。这是一个复杂的非线性最优化问题，分割逼近法【8l】在计算点到复杂曲线的最短距离，收敛速度快、精确度高。因此，本文采用分割逼近法求解。对于分段NURBS曲线，为了提高计算效率和求解精度，在小偏差假设条件下，即当实测点与理论曲线的偏差较小的情况下，可以先寻找与实测点对应的曲线段，然后计算测点到理论曲线的距离。由前面建立的NURBS数学模型可知，每段三次NURBS曲线都是由四个控制点和节点矢量确定。首先，寻找与实测点对应的四个最近的控制顶点，以及每个控制顶点所对应的节点矢量；然后，根据前面介绍的NURBS曲线反算方法，由求得的控制顶点和节点矢量即可插值生成NURBS曲线。找到实测点对应的曲线段后，采用分割逼近法精确计算测点到理论曲线的最小距离。这里仅以某一实测点B为例说明求解的过程，其步骤如下：(1)在理论曲线上先沿参数U方向m等分，形成m+1个节点Q，(／=0，1，⋯历)，m取实测点个数的两倍；(2)求出测点只到m+1个节点Q，(／=0，1，⋯m)的距离，找出其中的最小距离所对应的曲线上节点“，，则测点到理论曲线的最小距离的大概位置落在参数“∈[掰，一兰垒兰，“，+兰垒兰]m区域内，即在与节Au,相邻的两条小曲线段上，如图4—5所示。图4-5点到曲线段节点的最小距离(3)继续将这两条相邻小曲线段沿“方向等间距m等分，分别求出测点肛到这些曲线段分割节点的距离，然后找出其中的最小距离所对应的曲线分割节点吩，则测点到理论曲线轮廓的最小距离必落在与分割节点“，相邻的两条曲线段上，如图4-6所示，图4-6分割曲线段37 中南大学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定(4)计算测点到与“，相邻的两个节点间的距离差；(5)判断距离差是否小于给定精度，是结束计算，此时的测点Pl到节点“，的距离即认为是测点仍到理论曲线轮廓的最小距离；否则转步骤(3)，继续分割，直到条件满足。按上述步骤不断缩小搜索区域，最后求出参数U，将U代入式(4-8)，即可获得测点易所对应的点才的坐标值，然后求出测点到理论曲线的最小距离。算法流程图如图4—7所示。(开始)I细分曲线段Il计算测点到所有分割节点的距离l找出其中最小距离对应的节点lI确定最小距离对应曲线段lt一继续细分曲线段I计算测点至g新节点的距离I／相邻距离差达＼N＼＼到给定精度?／／lY循环结束图4-7分割逼近算法流程图4．6测点与理论曲线轮廓位置的匹配由曲线轮廓度误差的定义可知：当测量点与理论曲线轮廓的位置趋于最佳匹配时，才能使包容全部测点的理论轮廓等距线之间的距离最小，即满足最小条件的评定原则。因此必须对测点进行平移、旋转变换。设P={(‘，Y川f=l，2，⋯，n)为实测点坐标，P’={(‘。，一)If=1，2，⋯，，1)为经过坐标变换后的新坐标。依据坐标系的变换关系cs羽有：1、平移变换矩阵 第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定O1O—Yl+Ay1(4-9)缸、知分别是测点在工轴、Y轴上的平移量。2、旋转变换矩阵厂cOS乡一sin0o]正=lsin秒COS秒0l(4—10)Lo1．J总的变换矩阵为T=五互(4—11)经过坐标变换后的新坐标为【z“1】r=丁qtYl1】r(4—12)即经过平移旋转变换后测点新坐标与旧坐标的关系为：I《=毛cos／9一Yisin0+tx1∥=誓sin0+yJ}cos0+ty@。13’I∥=誓H-1洲式中乙=Xl—Ax，fv=Yl一缈乞、fy分别为测点在x轴、】，轴的坐标平移量，秒为坐标旋转量。经过坐标变换使实测点与理论曲线轮廓位置匹配后，采用上节介绍的测点到理论曲线轮廓最小距离计算的方法，寻找实测点在理论曲线轮廓上的法向对应点，计算各测点{魏。(‘。，y；)li=1，2，⋯，n)到理论曲线轮廓的最小距离，找出测点到理论曲线的最小距离的最大值max(d，n)。复杂曲线轮廓度误差的评定是应用优化理论的方法，经过坐标系一步步变换使实测点与理论曲线轮廓的位置达到最佳匹配，此时maX(一曲)达到最小值。优化数学模型为minF(t膏，tr，矽)=min{max{dimi。If=1，2，⋯甩))(4—14)从上面的分析可知，要使测点与理论曲线轮廓位置达到最佳匹配，就是要寻找一组曲线坐标变换参数(屯，f，，口)值，即优化数学模型的最优解。目标匹配流程图如图4—8所示。39 中南人学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定图4-8匹配流程图4．7基于MATLAB复杂曲线轮廓度误差评定实现经过前面的分析，曲线轮廓度误差评定的优化模型为：minF(tx，f，，口)=min{2·max{U,mi。I净1，2，⋯刀))(4—15)这是一个复杂的无约束非线性最优化问题，本文采用bIATLAB中的优化函数求解，MATLAB优化工具箱包含一系列的优化算法函数，用于求解无约束非线性极小值的函数有fminunc和fminsearch，本文采用fminunc求解，基本算法是迭代法，用法介绍如下：[x，fval，exitflag，output]=fminunc(fun，xO，options)x：最优解：fun：目标函数；options：设置优化选项参数；fval：返回目标函数在最优解X点的函数值；exitflag：返回算法终止标志；output：返回优化算法信息的一个数据结构。从式(4—15)可知，曲线轮廓度误差值是由(乞，fv，秒)这三个参数值决的，优化变量为(t，fv，秒)，优化目标函数为(4一15)，即函数fminunc中fun的值，建立数学优化数学模型后，通过fopen和fscanf函数导入数据，调用fminunc函数，即可求出(乙，f，，目)的值。 中南大学硕士学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定本文采用分割逼近法和MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的复杂曲线轮廓度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入曲线测量坐标数据、设定优化变量初始值及循环结束条件；(2)利用分割逼近法搜索实测点溉“，咒)If=l，2，⋯刀)在理论曲线轮廓上的对应点{霄(t+，乃‘)ff=1，2，⋯，1)，计算各测点到理论曲线法向对应点的最小距离，找出最小距离的最大值ma)【(4曲)，并将最大值的两倍2max(4晌)保存在数组中；(3)把{只(薯，Yi)If=1，2，⋯以)和{p；(t‘，Yi。)If=1，2，⋯刀)代入式(4—15)，利用MATLAB优化函数fminunc求解此优化问题，求得F取最小值时的坐标变换参数(f，～t，秒)值；(4)利用式(4—13)进行坐标系变换，求出实测点的新坐标及其在理论曲线轮廓上的新对应点的坐标，按步骤(2)中的方法，计算2max(d,a)并保存在数组中；(5)判断是否达到所提出的精度要求，是循环结束，否则，转步骤(3)；(6)从数组中找出2maX(4n)的最小值，此值即为复杂曲线轮廓度误差值。曲线轮廓度误差软件评定流程图如图4-9所示：导入测量数据●搜索对应点Il计算测点到理论曲线的最小距离I一●．目标函数寻优I求坐标变换值I坐标系变换I寻找实测点新对应点{计算最小距离<达到给定精度>nIY。循环结束l图4-9误差评定软件流程图41 中南大学硕：l：学位论文第四章基于MATLAB的复杂线轮廓度误差评定4．8本章小结1、介绍了轮廓的基本概念，理想轮廓、实际轮廓与测得轮廓之间的区别与联系。鉴于NURBS曲线在表示自由曲线时有许多优良性质，采用三次NURBS方法进行插值处理，建立了理论轮廓曲线的数学模型。2、介绍了线轮廓度误差的定义以及线轮廓度误差评定的方法。为了使理论轮廓与实测点达到最佳匹配状态，必须对测点进行平移、旋转坐标变换，给出了坐标变换公式。3、针对线轮廓度误差评定的关键问题一测点到理论轮廓的最小距离，采用分割逼近法求解，并给出了详细的计算步骤。4、根据线轮廓度误差的定义，建立了线轮廓度误差评定的数学模型，它是一个复杂的无约束非线性最优化问题，利用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的复杂曲线轮廓度误差最优解，阐述了线轮廓度误差评定的详细步骤。42 中南大学硕上学位论文第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定5．1引言复杂曲面的轮廓度误差检测是产品质量控制的重要环节，随着现代设计与制造技术的发展，复杂曲面的应用越来越广泛。叶片是燃气轮机非常重要的零部件之一，随着大型燃气轮机应用水平的日益提高，设备对叶片型面的精确性提出了更高的要求，叶片型面的质量直接影响着燃汽轮机的能量转换效率H1，因此叶片型面的测量与误差评定一直受到人们关注。由于空气动力学方面的原因，叶片的型面往往是由复杂的自由曲面所组成，它们无法用统一的解析表达式表示，在进行误差评定时，一般是通过三坐标测量机测得坐标数据，通过样条函数插值拟合得到其理论曲面轮廓，再求测量点到理论曲面轮廓的距离。随着航空、航天、汽车及机械制造业的快速发展，自由曲线曲面的应用越来越广泛，对高效率、高精度的测量及评定要求也越来越高。因此，复杂曲面轮廓度误差的测量与评定就有着重要的意义。5．2理论轮廓曲面的数学模型由于给定的理论轮廓是由一系列离散的数据点组成，在进行形状误差评定时，首先将这些理论点插值反算得到截面轮廓曲线，再对各个截面曲线进行插值，得到复杂曲面。鉴于NURBS在表示自由曲面时有许多优良性质，本文采用NURBS进行插值处理，生成复杂曲面的数学模型，NURBS曲面的有理分式表示形式阻们为：∑∑M，。(“)M，∥如，．，di，_，S(u，1，)=竺#)_————一(5一1)∑∑co，,jM，。(“)U，，(y)i=O1=0式中，喀，，为控制顶点，哆。／为权因子，M．。@)，M，，(1，)分别为沿“向的七次和沿’，向的，次的B样条基函数，f=0，1，⋯，m，J=0，1，⋯，n。反算过程∞们如下：(1)数据点参数化。由于向心参数化法对于非均匀型值点的参数化具有较好的效果。故本文采用该方法对数据点进行参数化。计算公式如下：＼Uo=QlUf=“M+l卸Hll，2，江1∥2一，m(5—2)43 中南大学硕士学位论文第五章基于M朋rLAB的复杂曲面轮廓度误差评定式中，瓴为向前差分矢量，瓴=Pk+l—Pk即弦线矢量；(2)确定节点矢量。采用(5-2)式构造U向和’，向的节点矢量U=(U0％，⋯，U。+川)和∥=(Vo，H，⋯，屹+，+lJ；(3)求取NURBS曲面基函数M。、Ⅳ，。。已知节点矢量U、V，NURBS曲面基函数M。、Ⅳ，。的求取过程与NURBS曲线基函数求取过程基本相同。(4)对于U向的m+1组型值点，在节点矢量矿上进行NURBS曲线插值，反算得到m+l条NURBS曲线和其控制顶点4，，jf=0，1，⋯，l；(5)以1，向的控制顶点4，，／=O，1，⋯刀为数据点，在节点矢量u上进行NURBS曲线插值，得到NURBS曲线及其控制顶点只√’f=O，1，⋯m，／=O，1，⋯n，C，，即为所求曲面的控制顶点；(6)由控制顶点和节点矢量即可插值生成NURBS曲面。建立好数学模型后，本文采用MATLAB插值实现曲面的显示，以燃气轮机叶片曲面为例，进行实例分析，叶片数据由三坐标测量机测得，采用NURBS曲面插值反算得到的叶片图形如图5-1所示。)(『mm图5-1叶片曲面反算图5．3面轮廓度误差定义及评定方法5．3．1面轮廓度误差定义面轮廓度误差是指实际被测轮廓面对其理想轮廓面的变动量，理想轮廓面的位置应满足最小条件，误差值用最小包容区域的宽度W确定n1，曲面轮廓度误差狮卸伽仰∞oE，二商 中南人学硕士学位论文第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定值为W，如图5-2所示。理论轮廓包容面图5-2曲面轮廓度误差定义5．3．2面轮廓度误差评定方法面轮廓度误差常用的评定方法有三种：(1)截面法；(2)三远点法；(3)最小区域法。(1)截面法截面法是指测量实际被测轮廓面的若干截面的线轮廓度误差，取各个截面的误差值中的最大值作为该轮廓面的面轮廓度误差值口力。(2)三远点法三远点法是指以通过实际被测轮廓面上相距最远的三个点的理想轮廓面作为评定基准，取测得各点相对于它的法向距离中的最大偏差值‰与最小偏差值“；。之差作为面轮廓度误差值。在它上面的测点的偏离值取正值，在它下面的测点的偏离值取负值口71。即：f=d一一dmin。(3)最小区域法最小区域法是面轮廓度误差评定的基本原则。最小区域是指由两个曲面包容实际轮廓面时，理想轮廓面穿过实际被测轮廓面，这两个曲面分别至理想轮廓面的法向距离相等且它们之间的宽度为最小包容区域。也就是说，理想轮廓面所处的位置，要使得实际被测轮廓面对它的最大偏离量为最小，误差值为最大偏离量的两倍，也就是最小区域的宽度口"。5．4测点到理论曲面的最小距离设理论曲面S(u)的参数方程为：45 中南人学硕士学位论文第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定(5-3)测点P，(t，Y，，乞)到理论曲面轮廓上一点S(S。(“，v)，Sy(u，v)，S(u，v))的距离为：‘喀=√[‘一Sx(U，V)】2+[只一s，(“，V)】2+[zf一·￡(“，1，)】2(5—4)由于在误差评定过程中，轮廓各实测点的误差是该点与其在理论轮廓上对应点之间的法向距离。因此，在误差评定的过程中，关键是求出测量点到理论曲面轮廓的法向最小距离，设给定实测点坐标为A(屯，只，乙)，对应的法线为氇，rli与理论曲面轮廓的交点西即为实测点在理论曲面轮廓上的对应点，只与雳之间的距离即为测点B到理论曲面轮廓的最小距离。如图5—3所示。pl图5-3点到曲面的最小距离分割逼近法【8l】在计算点到复杂曲面的最小距离，求解速度快、计算精度高。因此，本文采用分割逼近法求解。为了提高计算效率和求解精度，在小偏差假设条件下，即当实测点与理论曲面的偏差较小的情况下，可以先寻找实测点对应的小曲面区域，然后采用分割逼近算法精确计算测点到理论曲面的最小距离。首先，在“向、1，向上，分别寻找与实测点对应的四个最近的控制顶点，以及每个控制顶点所对应的节点矢量，然后，根据前面介绍的NURBS曲面反算的方法，由控制顶点和节点矢量即可插值生成NURBS曲面。找到实测点对应的小曲面区域后，采用分割逼近法精确计算测点到理论曲面的最小距离。这里仅以某一实测点仍为例说明求解的过程，其步骤如下：(1)在理论曲面s(u，1，)上分别沿参数“向、’，向t等分，在曲面上形成O+1)×O+1)网格点S(ut，1，，)(江0，1，⋯，t；j=O，1，⋯，f)，t取实测点个数的两倍，D似∽∽只瓯爱．=XyZ，●●●●●●●，、●●●●●●●、 的复杂曲面轮廓度误差评定图5-4曲面分割示意图(2)求出测点B到这些网格点的距离，然后找出其中的最小距离所对应的曲面上的网格点S+，则测点到理论曲面的最小距离的大概位置落在参数“∈[“，一半，％+竿]V∈Iv,一半，V+半]区域内，即与网格点S。相邻的四片小曲面区域上，如图5—5所示；图5-5测点到分割曲面最近网格点的距离(3)继续将这四个相邻小曲面区域沿“、1，方向t等分，分别求出测点珐到这些网格点的距离，然后找出其中的最小距离所对应的网格点s‘，则测点到理论曲面的最小距离必落在与网格点相邻的四片小曲面区域内；(4)计算测点到与S。相邻四个网格点间的距离差；(5)判断距离差是否小于给定精度，是结束计算，此时测点魏到网格点的距离即认为是测点珐到理论曲面的最小距离；否则转步骤(3)，继续分割，直到条件满足。按上述步骤不断缩小搜索区域，最后求得参数“、’，的值，将“、1，的值47 中南人学硕上学位论文第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定代入式(5—4)即可求得测点A到理论曲面的最小距离。5．5测点与理论曲面轮廓位置的匹配由曲面轮廓度误差的定义可知：当测量点与理论曲面轮廓的位置趋于最佳匹配时，才能使包容全部测点的理论曲面轮廓等距面之间的距离最小，即满足最小条件的评定原则，因此必须对实测点进行平移、旋转变换。设P={(t，儿，乞)Iz=1，2，⋯，刀)为实测点坐标，P’={(t。，J，：，，z；)lf=l，2，⋯，刀)为经过坐标变换后的新坐标。依据坐标系的变换关系【82】有：l、平移变换矩阵乙=1010txty010tz1式中乞=再一缸，勺=M一缈，乞=乙一△z。2、测点绕x轴旋转变换矩阵互=1O0COS口0一sin口O测点绕y轴旋转变换矩阵弓=Cos∥0——sinfl0测点绕Z轴旋转变换矩阵Z=0SlnCrCOSarO0sinp1O0COSB0Ocosysing0——sinycosy0O0lO1其中口、∥、厂分别为测点绕x、Y、z轴旋转变换的角度总的变换矩阵为T=0Z弓互(5-5)(5-6)(5—7)(5-8)OlO01 【乏=一tsinp一咒oospsiny+乞cos声cosy+乞(5-10)经过坐标变换使测点与理论曲面轮廓位置匹配后，采用上节介绍的测点到理论蓝面轮廓最小距离的方法，寻找测点在理论曲面轮廓上的法向对应点，计算各测点{p，(‘，乃，z：)If=1，2，⋯，以)到理论曲面轮廓的最小距离，找出测点到理论曲面轮廓的最小距离的最大值max(4m)。复杂曲面轮廓度误差的评定是应用优化理论的方法，经过坐标系一步步变换使实测点与理论曲面轮廓的位置达到最佳匹配，此时max(4m)达到最小值。优化数学模型为minF(tx，f，，乞，口，∥，y)=min{max{a,Ini,,If=1，2，⋯，z))(5—11)从上面的分析可知，要使测点与理论曲面轮廓位置达到最佳匹配，就是要寻找一组曲面坐标变换参数(‘，f，，乞，12"，∥，7)值，即优化数学模型的最优解。5．6基于MATLAB复杂曲面轮廓度误差评定实现经过前面的分析，曲面轮廓度误差评定的优化模型为：minF(tx，f，，tz，口，∥，7)=!min{2·max{diIIli。If=l，2，⋯，z))(5—12)只有当测量点与理论曲面轮廓的位置处于最佳匹配时，才能使包容全部测点的理论轮廓等距面之间的距离最小，这是一个复杂的非线性最优化问题，本文采用MATLAB中的优化函数求解，MATLAB优化工具箱包含一系列的优化算法函数，用于求解非线性极小值的函数有fminunc和fminseareh，本文采用fminunc求解，基本算法是迭代法，用法介绍如下：[x，fval，exitflag，output]=fminunc(fun，xO，options)x：最优解；fun：目标函数；options：设置优化选项参数；fval：返回目标函数在最优解x点的函数值；exitflag．返回算法终止标志；output：返回优化算法信息的一个数据结构。49七tx七tP 中南大学硕士学位论文第五章基于MATLAB的复杂曲面轮廓度误差评定从式(5—12)可知，曲面轮廓度误差值是由(f，，f，，tz，口，∥，7)这六个个参数值决定的，优化变量为(f。，f，，f：，口，∥，y)，优化目标函数为式(5—12)，即函数fminunc中fun的值，建立优化数学模型后，通过fopen和fscanf函数导入数据，调用fminunc函数，即可求出参数(f。，f，，f：，口，∥，Y)的值。本文应用分割逼近法和MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的曲面轮廓度误差最优解，具体评定步骤如下：(1)导入曲面测量坐标数据、设定优化变量初始值及循环结束条件；(2)利用分割逼近法搜索实测点{B(‘，Yi，zi)I江1，2，⋯，z)在理论曲面轮廓上的对应点{p；(t‘，Y；’，z；+)If=l，2，⋯，z)，计算各测点到理论曲面法向对应点的最小距离，找出最小距离的最大值max(4mi。)，并将最大值的两倍2max(4n)保存k在数组中；(3)把{只(薯，乃，乞)I扣1，2，⋯n)和{p；(薯。，咒‘，Zi‘)If=1，2，⋯，z)代入式(5—12)，利用MATLAB中的优化函数fmuninc求解此优化问题，求得F取最小值时的坐标变换参数(f。，f，，f：，口，∥，y)值；(4)利用式(5-10)进行坐标系变换，求出实测点的新坐标及其在理论曲面轮廓上的新对应点，按步骤(2)中的方法，计算2max(4。抽)并保存在数组中：(5)判断是否达到所提出的精度要求，是循环结束，否则，转步骤(3)，继续迭代，直到满足精度要求为止；(6)从数组中找日d2max(dtu)的最小值，此值即为曲面轮廓度误差值。5．7本章小结l、鉴于NURBS曲面在表示自由曲面时有许多优良性质，采用三次NURBS方法进行插值处理，建立了理论轮廓曲面的数学模型。2、介绍了面轮廓度误差的定义以及面轮廓度误差评定的方法。为了使实测点与理论曲面轮廓达到最佳匹配状态，必须对测点进行平移、旋转坐标变换，给出了坐标变换公式。3、针对曲面轮廓度误差评定的关键问题一测点到理论曲面轮廓的最小距离，采用分割逼近法求解，并给出了详细的计算步骤。4、根据曲面轮廓度误差的定义，建立了面轮廓度误差评定的数学模型，它是一个复杂的非线性最优化问题，利用MATLAB中的优化算法进行循环迭代，最终逼近满足最小区域法的复杂曲面轮廓度误差最优解，阐述了面轮廓度误差评定的详细步骤。 第六章形状误差评定实测实验6．2实验设备定实测实验相应的软件，通过实验验证算法的本次实验数据由三坐标测量机测量获得，地点在四川德阳东方汽轮机厂，三坐标测量机的型号是Brown&Sharpe公司生产的桥式三坐标测量机，产品型号为GLOBALSTATUS9．20．8，由HexagonMetrology(Qingdao)组装，结构为桥式，选用为LSP系列扫描测头、精度高。气动平衡设计，采用柔性悬挂系统，避免了轴向运动和传动系统之间的相互干涉问题，提高了三坐标测量机的精度和测量稳定性。全铝合金材料，表面硬质处理，具有超强刚性，即使在温度变化情况下，也保持较高的精度。采用高分辨率METALLUR光栅，热膨胀系数经过官方认证，与绝大多数被测工件材料相当，具有超强抗干扰能力和耐磨功能哺引。GLOBALSTATUS三坐标测量机外形如图6-1所示：图6-1GLOBALSTATUS外形图5l 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验6．3实验内容(1)对简单轮廓形状误差进行检测评定；(2)对复杂轮廓形状误差进行检测评定。6．4简单轮廓形状误差评定实验6．4．1直线度误差评定实验测量原始数据如表6-1所示。表6-1测点数据运行结果及可视化显示如图6-2所示，采用MATLAB优化算法计算得到平面直线度误差结果为0．1013mm。图6-2直线度误差评定结果●52 ●中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验6．4．2平面度误差评定实验测量原始数据如表6-2所示。表6-2测点数据序号XYz序号XYz10．0000．003960．0000．0000．05120．00020．0000．0021060．00020．0000．00930．00040．0000．0121l60．00040．0000．06140．00060．0000．0081260．0000．032530．0000．0000．0031390．0000．0000．013630．00020．0000．0131490．00020．0000．036730．00040．0000．0211590．00040．0000．008830．00060．0000．0061690．00060．0000．029运行结果及可视化显示如图6-3所示，采用MATLAB优化算法计算平面度误差结果为0．0543mm。nleEnt：／x,vn¨ftDoliⅡeskt口plmdo-跏lp1罩f棒壕●恤和+蕾强I占懿l提葚值囊4舷矗帚一抽jL曼帚，矿V～■、，互·n^‘’口T刖M目E-a=Ul【弭，Pj‘■，一：q习铂‘E，』，V料o直线度i是差睁酿旗■_溺@平面废误差O．∞O0543雅。圆度谩差0艘O口1。圊拄度浞差I糍。殍度误差Il—0。圆锥度误差rI|II竺燮}J嗍．o量l0续轮廓度误差。面轮黻误差^M’一O5’O15∞导入数据误差评定|返回jl退出153 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验表6-3测点数据运行结果及可视化显示如臣6—4所示，采用MATLAB优化算法计算圆度误差结果为0．0568rm。图6-4圆度误差运行结果6．4．4圆柱度误差评定实验测量原始数据如表6-4所示。 中南人学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验表6-4测点数据舟号xYZ芹号xYZl50．0010．0020．0001750．0120．00460．000235．35935．3570．0001835．37535．33660．00030．00050．0030．000190．00850．01260．0004-35．36535．3450．00020-35．36535．33760．0005-50．0300．0200．00021-50．0300．00060．0006-35．367-35．3250．00022-35．328-35．36860．00070．002-50．0300．000230．005-50．01660．000835．325-35．3650．0002435．372-35．36560．000950．0080．00330．0002549．9800．00190．0001035．32335．37530．0002635．35535．35790．000110．00050．01030．000270．00250．02290．00012-35．32935．36830．00028-35．35835．35990．00013-50．0120．00330．00029-50．0330．00690．00014-35．321-35．36630．00030-35．367—35．35690．000150．007-50．03830．000310．003—50．02790．0001635．319-35．36230．0003235．348-35．34690．000为0．0558mm。图6-5圆柱度误差运行结果55 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验6．4。5球度误差评定实验测量原始数据如表6-5所示。表6-5测点数据运行结果及可视化显示如图6—6所示，采用MATLAB优化算法计算球度误差结果为0．0708mm。图6-6球度误差运行结果 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验6．4．6圆锥度误差评定实验测量原始数据如表6-6所示。表6-6测点数据弃号xYZ育号Xyz15．0030．0305．00621-14．9910．00715．00323．5293．5285．00322-10．618-10．61315．01730．0135．0335．041230．005-14．99615．0214—3．5253．5275．0232410．638-10．62515．0325—4．9850．0205．0122520．0320．01320．0316—3．546-3．5485．0132614．13514．12720．0087一O．002-4．9965．015270．00219．98120．01783．545-3．5485．02428-14．13614．13920．01399．9880．00310．03129-19．9830．00620．005107．0637．06510．00430-"14．157-14．15620．009110．01410．02210．002310．003-19．98720．01612—7．0757．07810．0053214．168-14．15620．01113—9．9920．00310．0183325．0280．00725．02514—7．062—7．06510．0073417．65817．64925．008150．007-9．98810．012350．00225．01125．043167．089—7．08610．04436一17．68317．67925．0201714．9720．00415．00237-24．9830．00625．0301810．58510．59615．01138—17．657-17．66825．003190．00815．07215．063390．003-25．00725．01320-10．60210．59715．0124017．678-17．69625．007运行结果如图6-7所示，采用MATLAB优化算法计算圆锥度误差为0．0834mm。57 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验6．5复杂轮廓形状误差评定实验为了验证复杂轮廓形状误差评定数学模型的准确性和算法的科学性，本文选用燃气轮机叶片外型轮廓进行误差评定实验，本次测量采用的坐标测量机型号为GLOBALSTATUS9．20．8，测量行程范围为X：900mm，Y：2000nva，Z：800mm。测量叶片为中压缸第五级动叶片，叶片外形如图6-8所示。图6-8叶片外形图本次实验一共采集到12组数据，具体测量截面如表6-7所示。表6-7测量截面表格中L是指被测截面到叶根的垂直距离，如图6-9所示。 差评定实测实验图6-9叶片测量截面示意图在用三坐标测量机测量叶片截面时，首先要实现叶片的定位与装夹，由于叶片的外形复杂，传统的夹具不能满足要求，在考虑叶片定位的合理性、稳定性以及安装的重复定位精度之后，采用磁铁吸附卡紧方法，叶片测量定位如图6-10所示。图6-10叶片定位经过多次实验，这种装夹与定位的方法的重复精度完全能满足对燃气轮机叶片的测量要求。59 中南大学硕士学位论文第六章形状误差评定实测实验叶片位置定位后，需要确定测量坐标系，测量坐标系的确定是三坐标测量机测量过程中关键步骤之一。在有零件CAD模型的情况下，可以采用CAD辅助的测量方法，使用的PC-DMIS测量软件具有这项功能>测量软件型号为PC-DMISCAD++3．7，该软件通过CAD数据来驱动坐标测量机，实现测点精确定位，如图6-11所示。·图6-11测量软件界面图本次测量按照叶片CAD图纸建立叶片测量坐标系。首先在叶片端面上触测三点，建立零件测量坐标系，如图6一12所示。图6-12建立测量坐标系确定好测量坐标系后，沿着叶片表面依次扫描，共扫描十二组数据，叶盆及 误差评定实测实验图6-13叶盆扫描图图6一14叶背扫描图6．5．1复杂曲线轮廓度误差评定实验以燃气轮机叶片的某个截面轮廓为例，进行实例分析，运行结果如图6一15所示，采用优化算法计算得到曲线轮廓度误差评定结果为0．0386mm。同时，也给出了不经过坐标变换调整的轮廓度误差，为0．0397mm。可见，在没有经过位置匹配的情况下，轮廓度误差明显大于经过坐标变换后的误差。61 中南大学硕十学位论文第六章形状误差评定实测实验图6一15线轮廓度误差运行结果6．5．2复杂曲面轮廓度误差评定实验以燃气轮机叶片曲面为例，进行实例验证。叶片设计数据由六组截面轮廓数据组成，沿截面设计曲线测量，叶片截面插值后得到的图形如图6-16所示，曲面轮廓度误差运行结果如图6—17所示，采用优化算法计算得到曲面轮廓度误差评定结果为0．0392mm。图6-16叶片各截面曲线图珊瑚蛳椭御懈∞o伽EE、N 验图6-17面轮廓度误差运行结果6．6实验结论●由以上实验结果可得以下结论：(1)验证了数学模型的正确性、科学性和有效性；(2)验证了算法的准确性、可靠性和软件的实用性；(3)在实验现场进行了形状误差的检测评定，达到了预定的研究目标。6．7本章小结按最小区域法评定复杂轮廓形状误差，这是一个复杂的非线性最优化问题，通过三坐标测量机在实验现场测得数据，进行实例计算，验证了该算法的科学性与准确性。 中南大学硕士学位论文第七章总结与展望7．1全文总结第七章总结与展望本文在查阅大量国内外相关文献的基础上，对国内外形状误差评定理论的发展现状进行了综述。在此基础上，对复杂形状轮廓的几何形状误差评定方法进行了研究。通过实验验证，该方法计算简单，收敛速度快，可获得较好的误差评定结果。论文主要从以下几个方面进行了研究。(1)研究了直线度误差、平面度误差、圆度误差、圆柱度误差、球度误差、圆锥度误差评定的数学模型，提出了相应的算法，通过实例验证，该方法稳定可靠，具有较高的精度。(2)鉴于NURBS在表示自由曲线曲面有许多优良性质，具有几何变换与投影变换不变性，本文采用三次NURBS方法建立了燃气轮机叶片截面曲线，叶片曲面的数学模型，构造了叶片外形。(3)对点到复杂曲线、复杂曲面的最小距离，采用分割逼近法快速求取测点到理论曲线、曲面的最小距离。(4)建立了复杂曲线、复杂曲面轮廓度误差评定的数学模型，采用收敛速度较快的拟牛顿法中的BFGS方法求解此优化问题。(5)编制了误差评定的程序，进行实例验证，结果表明，采用MATLAB优化算法进行形状误差评定，计算简单，收敛速度快，可获得较好的误差评定结果。本文的主要创新点如下：(1)采用三次NURBS方法建立了复杂曲线、曲面的数学模型，运用MATLAB平台编写程序，构造了叶片截面曲线、曲面外形。(2)采用MATLAB优化算法用于评定复杂曲线、曲面轮廓度误差，该方法编程简单，便于计算机实现。7．2展望复杂曲线、曲面轮廓度误差评定是一个难点，国内外很多学者进行了大量研究，本文对此也进行了深入的研究，提出了一种基于MATLAB的用于评定复杂曲线、曲面轮廓度误差的方法。虽然该方法能获得较好的误差评定结果，但还有待进一步改进。结合自己的体会，对下一步工作做以下展望：(1)本文仅实现了对直线度、平面度、圆度、圆柱度、球度、圆锥度、线轮廓度和面轮廓度的评定，而未对位置误差评定进行研究。 总结与展望(2)进一步完善软件的在线评定功能。 中南大学硕士学位论文参考文献[1][2][3][5][7][83[9]参考文献甘永立．形状和位置误差检测[M]．北京：国防工业出版社，1995．李孝堂．现代燃气轮机技术[M]．北京：航空工业出版史，2006．罗剑斌，谭士森，袁立平．大型汽轮机事故原因分析[J]．电力安全技术，2002，8：11～12．MuthyT．S．R，AbdinZ．Minimumzoneevaluatingofsurface[J]．IntJMachToolDesRes，1980，20(20)：123～136．WangY．ApplecationofOptimizatinTechniquestoMinimumZoneEvaluationofFormTolerances．QualityAssuranceThroughIntegrationofManufacturingProcessandSystems，ASME，1992，PRD—VOL．56．ShumugamMS．UnifiedApproachforEvaluationofGeometricErrorsFromCoordinateMeasurements．1stISMTIIProceedings，Wuhan，1989：98～105．JiangGH。OptimizationApproachfortheEvaluationofGeometricErrorsinComputer—aidedInspection：[D]，WichitaStateUniversity，2000．A．J．Scarr．Useoftheleastsquares1ineandplaneinthemeasurementofstraightnessandflatness[J]．Proc．Instn．Mech．Engrs，1976，(182)：531～536．Cha’o—Kuangchen，Chien—HongLiu．Astudyonanalyzingtheproblemofthesphericalformerror[J]．PrecisionEngineering，2000，24：119～126．[10]熊有伦．精密测量的数学方法[M]．北京：中国计量出版社，1989．[11]王旭蕴，张玉坤．轮廓度误差的精密测量和评定[J]．计量学报，1995，16(1)：12～16．[12]蔡轶衍．逐次逼近线性规划法一种评定形状误差的新方法[J]．北京工业大学学报，1999，25(3)：102"-"107．Ⅱ3]胡新生，周济，马西庚等．形位误差非线性模型的统一判别准则与算法[J]．计量学报，1997，18(1)：11～17．[14]夏新涛．最小向量范数评定形状误差[J]．计量技术，1993，(2)：i--一3．[15]刘健，线性鞍点规划与形位误差的包容评定[J]．计量技术，1990，(9)：I"-"9．[16]廖平．基于遗传算法的形状误差计算研究[D]：[博士学位论文]．长沙：中南大学，2002．[17]郭慧，马永有，潘家祯．基于微粒群算法的叶片曲面形状误差评定[J]．华东理工大学学报(自然科学版)，2008，34(5)：769一-,772．[18]ChetwyndDG．Applicationsoflinearprogrammingtoengineering●66 中南大学硕上学位论文参考文献metrology．ProceedingsoftheInstitutionofMechanicalEngineers，1985，199：93～100．[19]FukudaM，ShimokohbeA．Algorithmsforformevaluationmethodsforminimumzoneandleastsquares．ProceedingsoftheInternationalSymposiumonMetrologyandQualityControlinProduction，Tokyo，1984：197～202．[20]ShunmugamMS．Comparisonof1inearandnormaldeviationsofformsofengineeringsurfaces．PrecisionEngineering，1987，9：96～102．[213TrabandMT，JoshiS，WyskRAeta1．Evaluationofstraightnessandflatnesstolerancesusingminimumzone．ManufacturingReview，1989，2(3)：189～195．[22]CarrK，FerreiraP．Verificationofformtolerances，PartIICylindricityandstraightnessofamedianline．PrecisionEngineering．1995，17：144～156．[23]SuenDS，ChangCN．Applicationofneuralnetworkintervalregressionmethodforminimumzonestraightnessandflatness．PrecisionEngineering．1997，20：196"--"207．[24]HuangJ．Anexactminimumzonesolutionforthree—dimensionalstraightnessevaluationproblems．Precisionngineering，1999，23(3)：204～208．[25]茅健，曹衍龙．基于粒子群算法的空间直线度误差评定[J]．工程设计学报，2006，13(5)：291--一294．[26]粟时平，李圣怡，王贵林，基于鞍点规划及遗传算法的空间直线度误差优化评定[J]．长沙电力学院学报(自然科学版)，2001，16(3)：40～42．[27]刘文文，费业泰，空间直线度包容评定的线性逼近算法[J]．中国科学技术大学学报，1999，19(2)：242～247．[28]胡仲勋，王伏林，周海萍，空间直线度误差评定的新算法[J]．机械科学与技术，2008，27(7)：879"--882．[29]HuangST，FanKC，WuJH．Anewminimumzonemethodforevaluatingflatnesserrors[J]．Precisionngineering，1993，15(1)：25--一32．[30]甄恒洲，李玉光，王平江．一种计算空间平面的平面度误差新方法[J]．组合机床与自动化加工技术，2001，10：19～21．[31]崔长彩，车仁生，罗小川等．基于实数编码遗传算法的平面度评定[J]．光学精密工程，2002，10(1)：36"--40．67 中南大学硕十学位论文参考文献[32]岳武陵，吴勇，苏俊．平面度误差的快速评定法一测点分类法[J]．计量学报，2007，28(1)：29～33．[33]温秀兰，赵茜．基于进化策略的平面度误差评定[J]．仪器仪表学报，2007，28(5)：832～838[34]VenturaJA，YeralanS．TheMinimaxCenterestimationproblemforantomatedroundnessinspetion．EuropeanJournalofOperationResearch，1989，41(1)：64～72．[35]SuenDS，ChangCN．Applicationofneutralnetworkintervalregressionmethodforminimumzonecircleroundness．MeasurementScience＆Techno—logy，1997，8(3)：245"-252．．[36]LaiK，WangJA．ComputationalgeometryapproachtogeometricTolera—ncing．16thNorthAmericanManufacturingResearchConference，Universityof111inois，1988：76，---379．[37]彭晓南，刘飞，陈敏等．最大内接圆法内孔截面圆度误差评价与实现[J]．机械科学与技术，2008，27(10)：1212～1215．[38]雷贤卿，畅为航，薛玉君等．圆度误差的网格搜索算法[J]．仪器仪表学报，2008，29(11)：2324～2329．[39]岳武陵，吴勇．基于仿增量算法的圆度误差快速准确评定[J]．机械工程学报，2008，44(1)：87～91．[40]范裕健，赵卓贤．圆柱面形状误差评定的理论与方法[J]．机械工程学报，1994，30(2)：19～25．[41]CarrK，FerreiraP．Verificationofformtolerancespart2：cylindricityandstraightnessofamedianline[J]．PrecisionEngineering，1995，17(2)：144"--"156．[42]LaiJY，ChenIH．Minimumzoneevaluationofcirclesandcylinders[J]．InternationalJournalofMachineTools&Manufacture，1996，36(4)：435～451．[43]ChenCK，WuSC．Amethodformeasuringandseparatingcylindricalandspindleerrorsinmachinetoolrotationalparts[J]．MeasurementScienceandTechnology，1999，10(1)：76一--83．[44]RoyU，XuY．FormandOrientationToleranceAnalysisforCylindricalSurfacesinComputer—aidedInapection．ComputerinIndustry，1995，26：127～134．[45]ChouSY，SunCW．Assessingcylindricityforobliquecylindrical 中南大学硕士学位论文参考文献features[J]．InternationalJournalofMachineT001s＆Manufacture，2000，40(3)，327"--341．[46]LaiHY，JyweWY，ChenCK，etal．Precisionmodelingofformerrorsforcylindricityevaluationusinggeneticalgorithms[J]．PrecisionEngineering，2000，24(4)，310"-319．[47]CuiCC，CheRS，YeD．Researchontheminimumzonecylindricityevaluat—ionbasedongeneticalgorithms[J]．ChineseJournalofMechanicalEngineering，2003，16(2)：167～170．[48]刘永超，陈明．形位公差的进化算法[J]．计量学报，2001，22(1)：18～22．[49]李郝林．DNA计算模型在圆柱度误差评定中的应用[J]．计量学报，2004，25(2)：107～“0．[50]温秀兰，宋爱国．基于改进遗传算法评定圆柱度误差[J]．计量学报，2004，25(2)：115～118．[51]DanishPB，ShunmugamMS．Analgorithmforformerrorevaluationusingthetheoryofdiscreteand1inearChebyshevapproximations．ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering，1991，92(3)：309～324．[52]FanKC，LeeJC．Analysisofminimumzonesphericityerrorusingminimumpotentialenergytheory．PrecisionEngineering，1999，23：65～72．[53]SamuelGL，ShunmugamMS．Evaluationofcircularityfromcoordinateandformdatausingcomputationalgeometrictechniques，PrecisionEngineering，2000，24(3)：251，--263．[54]KanadaT，SuzukiS．Evaluationofminimumzoneflatnessbymeansofnonlinearoptimizationtechniquesanditsverification．PrecisionEngineering，1993，15(2)：93,--，99．[55]KanadaT．Evaluationofsphericalformerrorscomputationofsphericitybymeansofminimumzonemethodandsomeexaminationswithusingsimulateddata．PrecisionEngineering，1995，17(4)：281"--289．[56]KanadaT．Estimationofsphericitybymeansofstatisticalprocessingforroundnessofsphericalparts．PrecisionEngineering，1997：20(2)：l17，、一122[57]温秀兰，宋爱国．基于免疫进化计算的球度误差评定[J]．计量学报，2005，26(1)：12～15．[58]刘文文，邓善熙，聂恒敬．球度误差包容评定的高精度实现方法[J]．计量学报，2000，21(2)：100，--105．'