极坐标法测量精度评定方法研究

'f第18卷第期铁道学报V01．18No．31996年6月JOURNA1OFTHECHINARAILWAYSOCIETYJunel996丁；极坐标法测量精度评定方法的研究刘成龙(面再五菁旷卜f＼提要本文是在同时考虑投坐标法测量误差和控制点点位误差综合影响下+推导单测，’／＼站和双测站扳坐标精密定位点点位精度的计算公式。从而解决极坐标法测量垒面合理的精度评定问题。关键词极坐标原始数据误差点位精度控制点三棍趁1引言机肇本、、违精霞评随着测距仪、全站仪的迅速普及测距精度的不断提高，在控制网加密和精密王理塑与测设中，经常使用极坐标方法测定未知点的坐标或测设精密工程放样点。在众多的定位与测设方法(前方、恻方、后方以及距离交会)中，极坐标法最为简便，它具有测量方法灵活、通视要求低、测量精度不受交会图形影响、工效高等特点+因此在测量中被普遍采用。在此之前，由于受测距仪器精度的限制，在控制网加密及精密工程测量中，较少采用极坐标法。因此测量书及有关文献中未见到讨论极坐标精密定位精度评定的方法，而同时考虑控制点点位误差(即原始数据误差“)的极坐标精密定位严密精度评定方法，更未提到。本文将系统讨论极坐标精密定位精度评定的方法，推导考虑原始数据误差时精度评定的严密公式，并讨论原始数据误差的影响情况。2单测站极坐标精密定位点点位精度评定公式的推导如图1所示，利用某一控制网中的两控制点A和B，用极坐标方法测定某一待定点P的平面坐标P(xye)。已知该控制同间接平差后待定点坐标的协方差阵为D(其阶数为2f×，．)Zt，t为该控制网中待定点的个数)，A及B的坐标平差值为A圈1单测站极坐标击定位或测设示．(z，yA)、B(x，)，设由测站A测量的角度和平距s的中意图r误差分别为和则由坐标增量公式可得未知点P的坐标f1一^十I·COS(口^B一口】)(1)【】=Y+sL·sin(a^一)‰：arctgys-ya式中(2)由(1)式微分并整理得本文于1995年11月22日收到修改稿。刘成龙讲师西南交通大学测量工程幕邮码}510031，J 1O0遭学＼dxr1=dxa+eosaAP·dS1+△^P·dQ7一△廿·da8f(3)【dyP】=dy^+sin口^P·dSl一△r·如1／+△r^P·口^／式中，=206265()，daAB(2)式微分并整理得(in。^’zA-C。s口^‘。^S．4-SinaA‘dx+c。s口^·dy)(4)aB把(4)式代入(3)式，合并同类项后并令(出)一(dx，，dxB，)(5)F．一fcoS，／1(6)2XZ＼sinaP，一△x?＼cosaaB·△Il：l卜sinaAB一~osa~B，⋯(7)cosaaB“lP"1一~osa~B一slnaAB·血J(8)考虑到测距和测角误差的独立性，由(8)式按方差传播律得[乏：：乏：]=Ff≯]F+F·。z·Fc。上式即为考虑控制点点位误差和极坐标法测量误差时，所推导的极坐标法精密定位待定点P点位坐标严密精度评定公式，该公式在理论上是合理的，其推导过程是严密的，因此可作为极坐标法加密控制点和测设精密放样点的精度评定公式，利用该式不仅可以计算待定点的坐标误差(纵、攒向误差)，还可以计算待定点的点位误差椭园，以研究待定点点位在某些特定方向上误差大小。点位误差椭园的参数可按下式计算Jltg20o一=L1E=言[D』呻+D。即+√—(D々．一D坤—。，+4D~v。即](10)leF2，——=言[D印。九+D一√(DrP一D)+4坤。]利用(9)式实际计算时，F的阶数应为(2×2t)，的阶数增加后所增加的元素均为零，即与I中A、B点的误差相对应的F中的元素不为零，其余的元素均为零。当控制点点位误差对待定点点位精度的影响不显著时或对待定点的精度要求不高时，可以不考虑原始数据误差的影响，这时由(9)式第一部分相乘并整理得常用的极坐标法点位精度评定公式 第3期板坐标法测量精度评定方法的研究10l因此只考虑极坐标法测量误差时，待定点P的点位精度评定公式M"el=-4-(12)同理，亦可由(10)(11)两式计算待定点P不考虑原始数据误差影响时的点位误差椭园。3双测站极坐标精密定位点用取坐标平均值的方法时点位精度评定公式的推导如图2所示，在控制点^和B上分别设站，用极坐标法分别渊得n、S和、S，由A测站求得的P点的坐标见(1)式，由B测站求得的P点的坐标{【Y目=+S2·sin(妇aBa+)⋯、⋯·△⋯COSaAB·△m1+．△一COSaAB．uABu^BoABoABFa2(19)slnaaB’，一·血，一·血⋯l+·u^uABoABo^日则有·+Fa2~如(2O) 铁道学报第18卷把(8)式和(20)式代入(15)式并整理得=竺]+剖+(21)令一专(F+F)(22)则有：圳竺j+圳竺卜出考虑到直接观测量S、S和的误差独立性和观测值测量误差与控制点点位误差的误差独立性，由上式按方差传播律得【三：：：：：】一{F【]F+÷F。【)F。+·。·Fcz，上式即为同时考虑极坐标法测量误差和控制点点位误差同时影响时，双测站用取坐标平均值方法所求的极坐标精密定位点点位精度评定公式。当不考虑控制点点位误差影响或与测量误差相比控制点点位误差影响小到可忽略不计时，双测站极坐标定位点点位精度评定公式为(24)式中前二部分，即f三：：：】一÷F[jF+{F／Om]Fczs09把(6)式和(18)式代入上式，整理后即得双测站只考虑极坐标法测量误差时，待定点P的点位精度评定公式一土告√(针+堕(26)同理亦可由(24)式或(25)式、(10)式计算双测站同时考虑观测误差和原始数据误差综合影响时待定点P的点位误差椭园以及双测站只考虑观测误差影响时待定点P的点位误差椭园。4算例与计算结果分析41单测站极坐标精度定位点点位精度评定算例如图1所示，单测站极坐标测量直接观测量n和s的测量值及其精度分别为口：605831、3,1土1．8”，S-一1269．703m土0、33cm，已知控制点A和B的坐标平差值分别为；A(15955．875，6660．136)、B(16]24．215，75]6．311)，控制点A和B平差后的方差——协方差矩阵02046—0．09900．01381—0．09900．3810。、。】89J(cm)0．1269—0．08790．0762l0．0l380．0l890．2247J由(6)式算得系数矩阵F095160．189212×＼0．3074—0．5858由(7)式算得系数矩阵F。 极坐标法测量精赛评定方法的研兜0．36110．08620．4389—00863。囊一l．35870．7329—1．35870．2671J又由(9)式算出单测站待定点P同时考虑测量误差和控制点点位误差综合影响时的点位方差矩阵r’上lDrrl：：f。·2——。·。1+f。·5——0·。。。。(27)，D』l一0．32811．1219』一0．09920·6902／即0．4273q㈣，㈨(27)式中第一部分是极坐标测量误差对待定点P点位方差的影响部分，第二部分是控制点点位误差对P点位方差的影响部分。在P点x方向总方差0．3846cm中，测量误差的影响为0．2121cm．占总量的j5．15，控制点点位误差的影响为0．1725cm。，占总量的44．85；在P点y方向总方差1．81,21cmi中，测量误差的影响为11219cm。，占总量的61．91，控制点点位误差的影响为0．6902Qm，占总量的38．O9。由上述的计算结果可知，控制点点位误差对单测站极坐标定位点点位精度的影响是显著的，因此在单测站极坐标定位点点位精度全面评定中不考虑原始数据误差的影响是不完整的。4．2双测站极坐标精密定位点点位精度评定算例如图2所示，双测站极坐标测量直接观测量为S和S，。和的观测值及精度见上例，和s：的观测值及其精度分别为口：一76。5924士1．8，S=1139．494m士0．32cm，其它的起算数据见上倒。由(18)式和(19)式可算得系数矩阵F和Ff0．91280．2259l0．5239—0．10300．47610．10301￡；一～0．4089o．5046’l_1694一o．2299一1．1694l|21299J由(22)式可算得系数矩阵F。0．5425—0．00840．45750．0084＼2×}l】．26410．2515—126410．7485f把以上系数矩阵代入(24)式，即可算出双测站待定点P同时考虑测量误差和控制点点位误差综合影响时的点位方差矩阵【D’D}一fnl164[)．o。1。+f吼1958一()．059(29)．DI＼0．00100．4910J一005950．4903』E。f：’i：：：o·3l22——o·0581(30)，Jl一0058509813J把(29)式中的第一部分(即双测站极坐标测量误差对P点点位方差的影响部分)中的各元素代入(1。)式．可以计算出职测站极坐标定位只考虑测量误差时P点的点位误差椭园参数f椭园长轴方向民=89。50494椭园长轴E一士0．70cm(31)【椭园短轴F一±0．34cm把(3o)式中的各元素代入(10)式，计算出双测站极坐标定位既考虑测量误差又考虑控制点点位误差时P点点位误差椭园参数 铁道学报第18卷f椭团长轴方向吼一4~5733．4椭园长轴E一土0．99cm(32)l椭园短轴F一士5,5cm分析上述计算结果可以知道，双测站综合考虑极坐标测量误差和控制点点位误差时，待定点P的点位方差中，控制点点位误差的影响分别占总量的62．72方向)和49．96(方向)显然在本算例中原始数据误差对待定点点位精度的影响是很显著的。比较(31)式和(32)式可以发现在考虑控制点点位误差后，待定点点位误差椭园长轴、短轴及长轴的方向也发生了变化，在本算例中，误差椭园长轴的方向在考虑原始数据误差影响后逆时针旋转了84。5316。比较(27)式和(29)式的第一部分还可以发现，在不考虑控制点点位误差影响时，双测站极坐标定位的精度显著地比单测站高。5结束语通过上面的推导和算例分析，可得如下几点：(1)单测站和双测站用取坐标平均值方法所求的极坐标精密定位点点位精度评定公式(9)式和(25)式，是极坐标法测量或测设完整合理的精度评定公式，其推导过程严密，结果正确，可供极坐标法测量方案制订和精度评定时使用。(2)极坐标法测量或测设精度评定中，不考虑控制点点位误差的影响，在理论上是不合理的，在实用上将导致过高地评定待定点的点位精度。(3)控制点点位误差，不仅影响极坐标定位点点位精度的大小，而且还影响待定点点位误差分布的方向。6参考文献1卓健成等．原始数据误差对工测多级平面控制网精度的影响．西南交通大学学报，1985}Z0(1)2于宗俦等．测量平差基础北京：测绘出版社，1983STUDY0NPRECIS10NESTIMAT10NMETH0D0FP0LARC00RDINATESURVEYLiuChenglongDeptofSurveyEns．．SouthwestJiaotonsUniversity．Chengdu610031AbstractConsideringthecomprehensiveinfluenceofthepolarcoordinatesurveyerrorandtheerrorofpointpositionofcontrolpoint，thispaperreckonsarigorousmathematicalformu—laoftheprecisionofpointpositionaboutoneandtwofixedstationspolarcoordinatesurvey，andresolvestheproblemoffullandreasonableprecisionestimationofthepolarcoordinatesurvey-Keywordspolarcoordinate；initialdataerrors；precisionofpointposition；controlpoint(责任编辑张武美)'