高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

高等数学知识在生物化学工程中的应用举例高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。例1在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为（1）该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容或者密度为常数，故，代入（1）式有：或（2）（2）式称为柏努利方程式。需要注明的是，为动能，为位能，为静态能，为有效能，为能量损耗，为高度差。例2混合气体粘度的计算12 常温下混合气体的计算式为（3）其中为常温下混合气体的粘合度（Pa.s）；为纯组分i的摩尔分率；为混合气体的温度下，纯组分i的粘度（Pa.s）；为组分i的分子量（Kg/kmol）。例如：空气组分约为（均为体积积分率），试利用的粘度数量，计算常温下时空气的粘度？解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率，的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下时各组分的粘度为代入（3）式计算空气的粘度，即例3.在细胞生长计算中的应用随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。12 如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A，其浓度为a，且A的消耗速度与细胞浓度成正比：（4）（4）式中为常数，假定接种后培养液中细胞浓度为，且立即进入指数生长阶段，且一直保持到静止期，则（5）其中为分批培养达到的最大细胞浓度，即A完全耗尽时细胞浓度，由（3）式和（4）式可得整理得也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累，可以认为[1-f(有害物质浓度)]为方便起见，假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系（5）其中k,b为常数，为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生，可以认为t=0时，=0（6）式中q为常数，由（6）式可得，代入（5）式有：因此有效生长速度为12 随着时间急剧下降，当时，细胞的生长停止。例4细胞团内的氧传递细胞集成团时，氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗，为方便起见，把细胞团看作一个均匀的耗氧球体，设它的半径为R，密度为，取其半径为r，厚度为dr的一层球壳进行稳态时的物料衡量其中D为氧在细胞内的扩散系数，C为半径r处的氧浓度，将上式整理，可得到当时，因此（7）细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程式中为最大耗氧速率，为米氏常数，代入（7）式中，有（8）边界条件为r=R时，R=0时，12 取代入（8）式，有（9）其中。边界条件则改为x=1时，y=1x=0时，。设细胞团的表现比耗氧速率为，，整理得，（9）式可写作，因此有若取细胞团表面的比耗氧速率作为比较，则细胞元的耗氧有效因子为，a则反映了细胞团中最大反应速率与最大传输速率之比，反应速率越大，传递速率越小，细胞团内部缺氧就越重，有效因子也就越低。例5在中心导体模型中的应用12 长柱状细胞，如神经轴突和肌纤维细胞，其长度尺寸远大于细胞直径，电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方向流经一段细胞内介质所代表的中心电阻高出很多，从而细胞流内流动的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离，这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础。若设为单位长膜电阻，为单位长膜电容，分别为胞内、外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为，于是膜两侧电位差。经推导可得：令则得到标准的电缆方程形式：若细胞膜处于电绝缘状态，单位长度膜面积上的电流，即=0，上式成为一阶常微分方程：解得：，其中为t=0时的值。显然时间常数表征均匀膜电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言，的被动衰减较为复杂，仅是一个主要衰减因子。当输入为直流稳态电压时，上式简化为。如果在x=0处维持，其余地方均不加任何电压，即处为有限值，则方程的解为。描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于到的双无限长电缆，x=0处维持稳定值要求外加电流加倍。无限与半无限长电缆上的稳态分布，为实验确定细胞参数提供了依据。12 例6在动力学猝灭与静态猝死中的应用激发态分子或荧光团由于加入像I与等猝死剂，彼此发生碰撞而造成荧光的猝死，又叫做动力学猝死或动态猝灭。这种猝死服从Stern-Volmer方程。此方程从荧光量子效率或从激发衰变率都可导出。若r为衰变率，则其与有猝灭剂时的总衰变率的比值即或者写成(10)式中分别为没有和有猝死时的荧光，[Q]为猝灭剂的浓度，为双分子猝死常数，是荧光团在无猝灭剂时的荧光寿命，就是Stern-Volmer猝灭常数，这说明荧光团的寿命愈长，它与猝灭剂碰撞的几率。此几率则决定于它们的扩散速率、分子大小与浓度等：D为荧光团与猝灭剂扩散系数之和，a为分子半径之和，A为亚氏常数，测定可以给出扩散系数的情况。测定最好用荧光寿命而不用荧光强度，因为后者可能被其他因素干扰，其中一种就是下面要叙述的静态猝灭。碰撞猝灭可使激发态去布局(depopulation)，若激发态在有和无猝灭剂时的寿命分别为，则因此，(11)此式与(10)式相似。它说明动态猝死的一个重要特性，即荧光强度的降低与荧光寿命的减少是等价的。因为的测定较方便，通常还是常用此参量。又因为的猝灭剂浓度呈线性关系，所以对[Q]左图可得到一条直线，其斜率12 就等于或，从而可得到猝灭常数的数值。Stern-Volmer的线性关系只适用于溶液中只有一类荧光团的情况，并且它们对猝灭剂易感性是相同的。若细筒中含有两类荧光团，并且其中只有一类对猝灭剂易感，则用Stern-Volmer方程得到的是像X轴弯曲的曲线。静态猝死是荧光团与猝灭剂在基态时就形成的不发荧光的络合物，当此络合物种荧光团吸收光能激发时，即刻回到基态而不发光，所以此时荧光强度与猝灭剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数（）推导出来。静态猝灭的方程式与动态猝灭相似，只是在此以代替，则有若在一溶液中同时存在静态和动态猝死，这时S-V曲线就是向Y轴弯曲的曲线。因为发光的分数是未络合的部分(f)以及未被碰撞猝灭的部分两者的乘积，因此而，则：这个修改过的Stern-Volmer方程是[Q]的二次方程令则用对[Q]作图亦可得到一条直线，此直线的截距为，斜率为12 。至于动态部分则可用来测定，即。例7在三维重建中的应用目前用于研究三维重建的生物原料有单科蛋白、噬菌体、单纯疱疹病毒核衣壳和膜蛋白结晶体，从二维投影到三维重构的方法很多，但最适于TEM的方法是傅里叶变换，下面分别介绍：(1)傅里叶变换若函数f(x)满足傅氏积分定理的要求，则在其连续处有若令频域则空域（时域）则和f(x)可通过积分相互表达，称为傅里叶变换对。若扩展到三维，和f(x,y,z)也一样是傅里叶变换对。三维重构的目的是要得到f(x,y,z)，如能得到，则可通过傅氏变换的到f(x,y,z)。电镜的二维图像相当于s(x,y)通过傅氏变换得到，如果能在和之间建立联系，则问题得到解决。(2)中央界面定理(centralslicetheorem)一个无力二维投影的傅里叶变换严格等于该物体的三维傅里叶变换中与投影方向垂直的通过原点的截面（中央界面）。这个定理告诉我们，二维投影的傅里叶变换是三维傅里叶变换的一个特例。可具体为，假设物体二维投影以下面的函数表示：令其二傅里叶变换为，则有12 令样品二维像f(x,y,z)的三维傅里叶变换为，则有当时，得到轴的傅里叶空间中间界面。根据上等式可得到所以=。这就证明了物体在z方向的投影的二维傅里叶变换与其三维像f(x,y,z)的三维傅里叶变换在时的截面相等。如果我们能得到各个方向投影的一系列，就可以整合出F。再利用傅里叶变换的反变换，就可以从频率域回到空间域重建出样品的三维图像以上是重建的基本理论。(1)三维重建的步骤首先要确定三维重建需要收集的中央截面数，从一系列倾角观察面进行收集。如Henderson等对6R分子进行0.7nm分辨率的三维重购时就从倾角范围内记录了18张样品照片，15张电子衍射图。通常获得一个分辨率为的结构所需要的最少观察面数N由下式给出：式中D为样品的线度。如前所述，在电子衍射图中，由于透过样品的电子束直接落在照相底片上，不受电镜分辨率的约束，因此根据规则的电子衍射花样，可精确计算出结构因子的振幅，而从高分辨电子显微镜的密度分布可容易计算出相位。为了从照片中抽取出结构信息，需要进行傅里叶变换。实验中是将电镜照片通过光学衍射仪完成如下公式：12 的傅里叶变换，产生明显的晶体衍射图，即从像平面返回到衍射平面，由此得到相应的像素（点阵），再利用光密度扫描仪扫描，即得到密度的傅里叶变换。最终把电镜图像转化成数字信号。综合从电子衍生图得到的傅里叶项振幅和从电镜显微像得到的相位，再经傅里叶合成得到晶体的一个晶电子密度图。由电子光学线性成像原理可知，电子波经过薄晶样品以后，携带了样品沿电子束方向投影信息，衍射到达物镜的后焦面，这个过程在数学上等于进行了一次傅里叶变换，也就是说在TEM物镜后焦面上得到的电子衍射像就是前述的，只要改变样品的倾角就可以得到一系列的。根据中央界面定理就可以得到，再通过傅里叶的反变换则得到f(x,y,z)。例8在振动光谱中的应用一般说来，蛋白质含有多种不同的二级结构，而特征振动频率则反映了多肽或蛋白质的特定二级结构，下面介绍从谐振子模型来说明双原子分子的振动光谱：若设分别为相连的两个原子1和2的质量，x为在时间t离开中心的位移，则有：恢复力：化简上两式，可得到（12）K为键力常数，它是键强度的度量。解（12），得到：，对x两次微分得到代入(12)是得：振动频率其中m用代入，为折合质量。12 则有以波数表示为：即分子的伸展振动频率取决于两个因素：键力常数k和折合质量。12