材料力学课件-第七章-弯曲变形.ppt

Page1§7-1引言第七章弯曲变形§7-2挠曲轴近似微分方程§7-3计算梁位移的积分法§7-5计算梁位移的叠加法§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计§7-6简单静不定梁 Page2目的:1、解决梁的刚度问题2、求解静不定梁3、为研究稳定问题打基础§7-1引言拉压杆的变形：伸长或缩短(Dl)圆轴扭转的变形：相对转动(扭转角j)弯曲变形：怎样描述？回顾： Page3挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，弯曲变形的特点 Page4梁变形的描述：ABF描述截面上任一点的位移:1、形心在垂直于梁轴方向的位移——挠度w2、截面绕形心轴的角位移——转角qF挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程w=w(x)F忽略剪切变形+梁的转角一般很小——q=q’»dw/dx3、轴向位移可忽略 Page5§7-2挠曲轴近似微分方程Q用中性层曲率表示的弯曲变形公式Q由高等数学知识Q挠曲轴微分方程——二阶非线性常微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）方程推导 Page6方程简化小变形正负号确定——确定坐标系:(从数学)(本书规定)w向上为正挠曲轴近似微分方程方程取正号正弯矩负弯矩xx Page7Œ小变形Q应用条件：Q挠曲轴的近似微分方程正弯矩xo坐标轴w向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用坐标轴w向下坐标系小结 Page8AB梁变形的描述：1、形心在垂直于梁轴方向的位移——挠度w2、截面绕形心轴的角位移——转角q3、轴向位移可忽略梁的挠曲轴近似微分方程上一讲回顾 Page9FC、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。一、梁的挠曲轴近似微分方程§7-3计算梁位移的积分法 Page10位移边界条件w=0w=0w=0q=0二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件ACDMFB挠曲轴在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左=qB右 Page11自由端：无位移边界条件固定端：连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件边界条件：例：中间支撑C：E点：中间铰B：ABCDFE Page12例1：已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:2、挠曲轴近似微分方程1、弯矩方程: Page13AB3、积分常数的确定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0 Page14例2:已知EI,建立该梁的挠曲轴方程AB解:计算约束反力，建立坐标系。xCAB段BC段 Page15边界和连续条件:(连续条件)(光滑条件)AC(边界条件)四个方程定4个常数B Page16绘制挠曲轴的大致形状：F弯矩图过零点处为挠曲轴拐点支座性质限定该处线位移和角位移1.绘制弯矩图。2.绘制挠曲轴的大致形状F弯矩图符号定挠曲轴凹凸性凹凸凹直线挠曲轴大致形状+_Fs+MADBC Page17§7-5计算梁位移的叠加法叠加原理成立的前提:M(x)为载荷(F,q,Me)的线性齐次函数2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果)1、应力不超过比例极限；(线弹性)梁的变形与载荷成线性关系积分后，w和w’仍然是载荷(P,q,Me)的线性齐次函数+ Page18两类情况：叠加法1—分解载荷：利用(p-374)附录E的表。一、叠加法的应用分解载荷，将各个载荷引起的位移叠加；分解变形，将各段变形叠加。例1：EI=常数，求，PqA Page19载荷叠加法的应用（三个载荷叠加）例：EI=常数，求，载荷由集中力F，均布力q和力偶M0构成，分别查表（请熟记P374附录E中各梁的挠度和转角），然后将各个载荷在A端引起的位移叠加。AFqQ分析方法： Page20查表,p374AAFAqAFq()Fq叠加： Page21ABC例1：求图示外伸梁C截面的挠度和转角叠加法2—分解变形(逐段分析求和法)：ABCABCqaqa2/2仅考虑BC段变形：仅考虑AB段变形： Page22例2：E常数,AB=BC=a,,求,PABC刚化AB段：仅考虑BC段变形：仅考虑AB段变形：BC段刚化：ABCABCP Page23AB段的变形：仅考虑BC段变形：ABC Page24作业：习题7-2（b），7-9（b） Page25§7-6简单静不定梁静不定度与多余约束多余约束多于维持平衡所必须的约束多余支反力与多余约束相应的支反力或支力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3=2度静不定6-3=3度静不定 Page26相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一的相当系统1相当系统2相当系统qABABRBqABq Page27静不定问题分析例：ABCFFAFBFCF平面问题有三个平衡方程；F水平方向不受力，两个有效平衡方程；F有三个未知力，一度静不定。ABCFFBwB=0问题分析：可以以支座A、B、C任意一个的铅垂约束作为多余约束。求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束B，变形协调条件为 Page28例：求支反力1.静不定度：6-3=32.选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。小变形，轴向变形可忽略HA=HB=0。两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立变形协调条件 Page294.联立求解qABRBMB Page303.建立变形协调条件4.联立求解第二种相当系统：ABMAMBq Page31§7-7梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件[d]——许用挠度，[q]——许用转角一般用途轴：[d]=(5/10000~3/10000)l重要轴：[d]=(2/10000~1/10000)l起重机大梁：[d]=(1/700~1/1000)l土建工程中的梁：[d]=(2/10000~1/10000)l安装齿轮或滑动轴承处：[q]=0.001rad Page32二、梁的合理刚度设计1.与梁的合理强度设计相似点合理的截面形状合理安排约束与加载方式（分散载荷等）依据对比强度问题与的相似点同样依赖于M Page33合理安排约束与加载方式增加约束，制作成静不定梁 Page34（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2.与梁的合理强度设计的不同点小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微 Page35(2)强度与材料和相关,刚度与E相关钢与合金钢:E=200~220GPa铝合金:E=70~72GPa(3)刚度对梁的跨度更敏感 Page36跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如l缩短20％，dmax将减少48.8%梁跨度的合理选取 Page37作业：习题7-33