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弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为应变能。一、能量方法三、应变能二、外力功固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做功。利用能量原理来求解构件的位移、变形和内力等的方法。第十三章能量方法1 外力由零开始缓慢地增加到最终值，变形中的每一瞬间固体都处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不计，则固体的应变能在数值上等于外力所作的功。四、功能原理外力功的统一表达式F：广义力，：广义变形2 1、轴向拉伸或压缩(线弹性范围内）当沿杆件轴线的轴力FN为变量时，长为dx微段内的应变能为§13-2杆件应变能的计算整个杆件的应变能为△lFF△l3 2、扭转(线弹性范围内）lMeMeMe当扭矩T沿杆件轴线为变量时，应变能为4 3、弯曲(线弹性范围内）MMM当弯矩M沿杆件轴线为变量时，应变能为5 4、组合变形的应变能截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功.或6 五、应变能的应用1、计算应变能2、利用功能原理计算变形7 例1试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：弯矩方程由Vε=W得8 例2计算图示杆件的变形能。9 §13-6虚功原理杆件在外力Fi（F1,F2,…,Fn）（广义力）作用下作用点会有（真实的）位移。如果再有另外的外力（如温度变化，人为假想施加等）施加在杆件上，则沿着原有力系各力作用线方向将会有新的位移，可称为虚位移。由于此时原有外力Fi大小不再变化，则Fi在虚位移上做的功（虚功）为10 从变形角度考虑。考虑一个微段，一般情况下，在原力系作用下存在内力相应的，把虚变形分解为则微段上内力的虚功为积分有总虚功两式应相等，即为虚功方程（虚功原理）。由于虚加作用力，杆件此时会有虚变形11 一、单位载荷法求任意点A的位移§13-7单位载荷法莫尔积分通过建立单位力系统，以真实的位移（欲求）作为单位力系统的虚位移。应用虚位移原理，可以得到杆件在弹性变形内任意点沿任意方向的位移。F1F2A12 ⒈取同样的梁，只在A点沿所求位移方向作用单位力⒉考虑(b)梁，将单位力看作真实载荷，将(a)中位移作为虚位移，则：建立单位力系统（a）F1F2AA（b）真实力虚位移真实内力虚变形单位力真实位移单位力内力真实变形这里Fs略去，FN和T不存在13 （a）F1F2AA（b）如果求的是A截面的转角单位力真实位移单位力内力真实变形则在A处应该施加单位力偶14 （a）F1F2AA（b）在线弹性范围内单位力真实位移单位力内力真实变形式中所以15 二、莫尔积分的普遍形式一般地，如果杆件内力有多个，则轴力和扭矩一般是常量，则单位载荷法莫尔积分原有载荷作用下杆件内力单位载荷作用下杆件内力16 如果有多个杆件，则或使用莫尔定理的注意事项1.所加广义单位力必须与所求广义位移对应2.莫尔积分必须遍及整个结构17 例3抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度∆c和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.解：在实际载荷作用下，任一x截面的弯矩为ql/2AqCll/2ql/218 求C截面挠度，在C点加一向下的单位力任一x截面的弯矩为AB11/21/2Cx单位载荷法ql/2AqCll/2ql/219 AB11/l1/lx求A截面的转角，在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为（顺时针）ql/2AqCll/2ql/2单位载荷法20 例4刚架的自由端A作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算A点的垂直位移及B截面的转角。aABCFlEI1EI221 解：计算A点的垂直位移，在A点加垂直向下的单位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa（自己假定正方向）22 计算B截面的转角，在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa1（顺）23 例5图示刚架，两杆的EI和EA分别相同，试求C点的水平位移.CFabAB24 Fab1abxx解：在C点加一水平单位力ABBACCCB:xxAB:25 Fab1abxxABBACCxx单位载荷法26 例6由三杆组成的刚架，B、C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是EI，试用单位载荷法求A1、A2两点的相对位移.A1A2BCllFF27 解：在A1，A2处加一对水平单位力.B，C两支座的反力均为零.A1B：BC：CA2：FFxxxA1A2BCll11A1A2BC28 A1B：BC：CA2：单位载荷法A1A2BCFF29 例7图示为一简单桁架，其各杆的EA相等.在图示荷载作用下，A，C两节点间的相对位移.FaaFABCDE132456789a30 FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位载荷法为1131 12345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000列表求解FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789a1132 在等直杆的情况下，莫尔积分中的EI、GIP、EA为常量，可提到积分号外面，只需计算§13-8计算莫尔积分的图乘法33 满足三个条件1、、中至少有一个是x的线性函数。2、要积分的杆段是直线。3、所要积分的杆段的EI是常数。可以用图乘法计算上述积分34 设直线方程是设在杆长为l的一段内M(x)图是曲线，是直线。其中M图的面积M图对M轴的静矩xdxωM(x)xxlxcC形心35 是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.直线方程M(x)xlxxcC形心ω36 对于等直杆有即:积分可用M(x)图的面积ω和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替Mc与M图同侧，取正号；反之取负号。MM(x)xlxxcCω37 b几种常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线38 lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/439 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M(x)图为连续光滑曲线，而为折线，则应以M(x)然后求和。注意40 例8均布荷载作用下的简支梁，其EI为常数.求跨中点的挠度.ABCql/2l/241 ABCql/2l/2ABC1l/2l/2解：C2C142 例9图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力F作用.用图乘法求集中力作用端挠度为零时的F值；FCABalq43 解：FCABalqMql2/8Fa1ABalCaMC2C1C244 ABPl，EI例10求悬臂梁中点挠度。AB1l/2PlABPl，EIPl练习45 例11图示刚架，两杆的EI相同，试求C点的水平位移和C截面转角（只考虑弯矩）。CFabAB练习46 解：在C点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。1abBACFabABCFaFaaa47 解：求C截面转角，则在C截面加一单位力偶，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。FabABCFaFa1abBAC1148