弯曲应力（上课） 武汉理工大学材料力学课件.ppt

第四章弯曲应力1 §4－1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4－2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4－3平面刚架和曲杆的内力图§4－4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§4－5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4－6梁的合理设计第四章弯曲应力2 弯曲内力一、弯曲的概念梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图3 弯曲内力对称轴对称弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线，也称为平面弯曲。Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴4 弯曲内力1.构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替。2.载荷简化计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。⑴集中力(N，kN)Pq载荷集度q：mm⑵集中力偶(Nm，kN·m)⑶分布载荷(N/m，kN/m)二、梁的计算简图5 弯曲内力①固定铰支座：2个约束②可动铰支座：1个约束3.支座简化③固定端：3个约束FRxFRyMRFRxFRyAAAAAAAFR6 弯曲内力4.静定梁的三种基本形式①简支梁(simplebeam)③悬臂梁(cantileverbeam)静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和内力。②外伸梁(overhangingbeam)超静定梁7 弯曲内力计算方法：截面法例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力FA和FB(2)取左段梁为研究对象：MFS§4－2弯曲的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图MFSFBmxF1aABF2m11xCF1FAFAFB一、弯曲的剪力和弯矩8 弯曲内力内力的正负规定①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。或者说：左上右下的FS为正，反之相反。②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)9 [例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。解：1-1截面:qqlab1122x1ql弯曲内力x2qlFS1M1FS2M22-2截面:10 弯曲内力另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反11 AB1122FM0=Faaaaa[例4-2]：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力和弯矩。弯曲内力RARB解：（1）求支反力RA、RB1-1截面:（2）求截面内力2-2截面:12 弯曲内力1.内力方程：2.剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。二、剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图xM13 [例4-3]列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABqFAFB(2)建立剪力、弯矩方程：xFAxqFS(x)M(x)(3)绘制剪力图、弯矩图ql/2ql/2-++ql2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。弯曲内力14 解:(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：FAxFS(x)M(x)CB段：FS(x)M(x)FAxFFb/lFa/l-++Fab/l在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现尖角。弯曲内力FSxABFalbCFBFAMx15 MFS(x)M(x)FS(x)M(x)在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。解：(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程AC段：CB段：RARBxlabABmCRAxRAxm(3)绘制剪力图、弯矩图：m/l+-+ma/lmb/l弯曲内力FSx16 弯曲内力[例4-4]求下列外伸梁的内力方程并画内力图。解：(1)计算支反力：a2aqCBA(2)列剪力、弯矩方程：以A为原点。xRARB+-FsM-在集中力作用处，Fs图发生突变，M图对应处有一尖角。（3）画内力图：17 弯曲内力lMMMFsFs＝0总结得以下规律：（1）形状规律：（2）突变规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突变，突变值等于集中力的大小，在M图的相应处有一尖角（b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs图的相应处无变化。（3）分段规律：[例4-5]画下列悬臂梁的内力图。18 弯曲内力对dx段进行平衡分析：dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dx剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。三、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系及其应用19 弯曲内力FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAM(x)+dM(x)M(x)弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。q(x)20 FSF1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEM1.无荷载段：2.有荷载段q：FS图水平直线或为0q>0：上升斜直线q<0：下降斜直线上凸曲线M图斜直线或水平线下凸曲线q(x)向上为正弯曲内力21 弯曲内力q(x)向上为正3.力F作用点处4.力偶Me作用点处FS图突变不受影响M图折点突变5.弯矩最大绝对值处：FS＝0或集中力作用截面处或集中力偶作用处F1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEMFS22 作图步骤1.求支座反力，2.分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3.求每一段控制截面的FS、M值，4.按规律连线。弯曲内力23 弯曲内力[例4-6]作下列各图示梁的内力图。FSxaaqaqBCqa2xMqa--A相切24 解：1.求支座反力FS/kNox[例4-7]作图示外伸梁的Fs、M图。2.从左起，计算控制截面的FS值,并由微分关系判断线形，画Fs图3.同理画M图。20530CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB530++-M/kNmxO60201545+-弯曲内力25 弯曲内力[例4-8]已知M图,求外载及剪力图。20kN20kN20kNFS2m2m2mMABCD26 弯曲内力[例4-9]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。q=2kN/m111m1m2m231+–+ABCDEFS(kN)1.255kN1kN–+(kN·m)M27 弯曲内力0.5m1m1.5mM[例4-10]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。1kN+–+3kN2kNFSABCD5kN2kN1kN+–28 弯曲内力叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。四、用叠加法作弯矩图29 弯曲内力[例4-11]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。=+=+MqFAB2a+++FABqAB30 FllFlABFl弯曲内力对称性与反对称性的应用：FFF+F–MFS反对称对称+结构对称，载荷对称，则FS图反对称，M图对称31 弯曲内力lllABFFF/3F/32F/3F/3–++F/3反对称对称Fl/3Fl/3+–结构对称，载荷反对称，则FS图对称，M图反对称32 一、刚架：由不同取向的杆件，通过杆端相互连接而组成框架结构。具有刚节点的框架称为刚架。刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。弯曲内力铰结点：能相对转动，不能相对移动。注意：平面刚架各杆的内力有Fs、M、FN。§4－3平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：不同取向的各杆件分布在同一平面内的刚架。约定：⑴M画在受拉一侧，不注明正、负号，⑵Fs和FN可画在轴线任一侧，通常正值画在刚架外侧，须注明正负号33 弯曲内力[例4-15]试作图示刚架的内力图。F1F2alABCBA杆：BC杆：解：（1）列各杆内力方程(外侧受拉)(外侧受拉)（2）画内力图34 -弯曲内力P1aM图P1aP1a+P2lFN图FS图++弯矩图画在受拉侧BA杆：BC杆：(外侧受拉)(外侧受拉)ACB35 2aABqC3a[例4-16]作图示刚架的内力图。解：(1)求支座反力弯曲内力(2)列各杆内力方程36 2aABqC3aBA杆：BC杆：弯曲内力37 BA杆：以A为原点BC杆：以C为原点+ABCFN弯曲内力弯矩图画在受拉侧+-ABCFS(3)作内力图ABCM38 q弯曲内力二、平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。[例4-17]如图所示平面曲杆，已知F及R。试画Fs、M及FN图。qmm解：建立极坐标，O为极点，OB极轴，q表示截面m–m的位置。OFRABFFsFN取研究对象，画其受力图如下图示：M符号规定：使轴线曲率增加的M为正；引起拉伸变形的FN为正；将Fs对研究对象上任一点取矩，若力矩的转向为顺时针的，则剪力为正，反之均为负。39 弯曲内力ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF–+qFFsFNMF40 CD段：Fs=0，M=常量≠0对称弯曲的分类：FFal-2aaCDAB+FaM弯曲应力+FFFs-§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力的强度条件AC、DB段：Fs、M同时存在。横力弯曲(bendingbytransverseforce)纯弯曲(purebending)41 弯曲应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力MM纵线（aa、bb）：互相平行的直线变为互相平行的曲线，凹侧缩短，凸侧伸长。横线（mm、nn）：仍为直线，发生了相对转动，仍与变形之后的梁轴线垂直。42 纵向对称面弯曲应力MMMM纵向对称面中性轴中性层中性层：中间既不伸长亦不缩短的一层纤维。中性轴：中性层与梁横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面，与同一横截面的对称轴正交。平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的梁轴线垂直，只是绕截面的中性轴转过了一个角度。43 式(1)表明线应变ε与它到中性层的距离y成正比。OOdxbbybbyMMOO(1)曲率半径中性层（一）变形几何关系MyOzx对称轴中性轴(位置待定）弯曲应力44 弯曲应力zyxM(1)（二）物理关系：(2)在中性轴上：y＝0，σ＝0。说明：式(1)由平面假设和几何条件推得，与梁的材料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此式均适用。假设各纵向纤维之间相互不挤压。距中性轴最远处，应力最大。45 （三）静力学关系：弯曲应力MyOzx(2)y轴为对称轴，上式自然满足0EIz－梁的弯曲刚度yzz轴过截面形心46 弯曲应力(2)★适用条件：①平面假设；②层与层之间无挤压；③服从虎克定律；④拉伸与压缩时的弹性模量相等。σ符号：拉为正，压为负。★只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内，公式(4-4)、(4-5)就可适用。zyxM47 弯曲应力（四）最大正应力：弯曲截面系数48 弯曲应力当梁的横截面不关于中性轴对称时，如图，此时y1y2yzM易知，当梁的横截面关于中性轴对称时，横截面上的应力也关于中性轴对称分布，此时显然：49 二、横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力对于跨高比l/h>5的梁，剪力Fs的影响很小，可推广使用纯弯曲梁的正应力公式。横力弯曲时，平面假设和层与层之间无挤压的假设不再成立。50 +M67.5kN·m[例4-4-1]受均布载荷作用的简支梁如图，试求：（1）1-1截面上A、B两点的正应力；（2）1-1截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力。A12018030Byz20q=60kN/m1m2m11弯曲应力60kN·m解：(1)画M图如左：51 弯曲应力A12018030Byz20（a）1-1截面上A、B两点的正应力（压）（拉）(2)求应力+M67.5kN·m60kN·m52 弯曲应力（c）全梁的最大正应力（b）1-1截面上最大的正应力A12018030Byz20+M67.5kN·m60kN·m53 弯曲应力解：[例4-4-2]钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成圆弧时，钢板尺内的最大正应力。54 0.90kNm1.17kNmM-+[例4-4-3]如图所示圆轴，直径60mm，在A、B两处的轴承可简化为铰支座，轴的外伸部分是空心圆轴，内径43mm。试求轴内的最大正应力。解：(1)求支反力，并画弯矩图RA=2.93kN;RB=5.07kN(2)计算弯曲截面系数实心圆轴Wz：危险截面可能在C、B截面空心圆轴Wz’：RARB弯曲应力55 (3)计算最大正应力C截面的最大正应力：B截面的最大正应力：轴的最大正应力发生在B截面处，其值为57.7MPa。最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上，即弯矩最大的截面不一定是危险截面。弯曲应力0.90kNm1.17kNmM-+56 若则则且一般情况，整个梁上的σmax发生在弯矩最大截面上，距中性轴最远处，即可解决三类问题：强度校核、截面设计、求许可荷载若弯曲应力三、梁的正应力强度条件57 [例4-4-4]T形截面铸铁梁，许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力为[c]=60MPa。已知中性轴位置y1=52mm，截面对z轴的惯性矩Iz＝764cm4。试校核梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？RA＝2.5kNRB＝10.5kN危险截面可能在B、C截面。zy1y8012020y220解：(1)绘制弯矩图ABC9kN4kN1m1m1mRARBⅠⅠ4kNm2.5kNmM-+弯曲应力58 27.2MPa46.1MPa28.8MPa(2)强度校核校核B：校核C：故满足强度条件。y1y2弯曲应力BC4kNm2.5kNmM-+59 27.2MPa46.1MPa28.8MPa(3)本T形梁形心偏上放置合理(×)y1y2讨论：若T形梁倒置，安全否？y1y227.2MPa46.1MPa28.8MPa弯曲应力BC4kNm2.5kNmM-+60 讨论：其它条件不变，若改变下面任一条件，则危险截面有几个？请指出位置？（1）铸铁梁改为钢梁。（2）T形截面改为关于中性轴对称的截面。（3）整根梁上M不变号。若（1）材料的[σt]≠[σc]；（2）截面不关于中性轴对称；（3）同时有最大正弯矩和最大负弯矩，三条件同时满足，则两个极值弯矩所在截面均为危险截面，均需校核。弯曲应力BC4kNm2.5kNmM-+61 14052zACBF2m1m[例4-4-5]T形截面铸铁梁，许用拉应力[t]=35MPa，许用压应力为[c]=80MPa。截面对形心轴z轴的惯性矩Iz＝763cm4。试确定梁的许可载荷[F]。RARB可见危险截面为B截面。(1)求支反力，并画弯矩图F(2)求许可载荷解：弯曲应力62 [例4-4-6]矩形截面悬臂梁如图所示，已知。试确定此梁横截面的尺寸。AB-80kN·m(1)画弯矩图解：(2)确定梁横截面尺寸可见最大弯矩为取h=416mmb=277mm弯曲应力63 AB[例4-4-7]简支梁的荷载、尺寸如图示。求梁下边缘的总伸长。（2）求x截面下边缘的正应力dx解：(1)求约束反力（3）求梁下边缘的总伸长弯曲应力64 zxbhy1.矩形截面梁（1）弯曲切应力分布假设①方向均与剪力Fs的方向平行②沿矩形截面的宽度均匀分布Fsτdd1y弯曲应力xdxmmnn（2）弯曲切应力公式的推导mmnnzyMM+dMFsFs§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力的强度条件一、梁横截面上的切应力65 mmnndx为距中性轴为y的dd1横线以下(或以上)的面积对中性轴z的静矩。zymmnm1n1n1MM+dMhbndd1ycdcdxd1mndcd1mnn1TFN2FN1dcdx弯曲应力66 dcd1mnn1TFN2FN1切应力互等定理：b─所求剪应力处横截面的宽度；Sz*为距中性轴为y的横线以下(或以上)的面积对中性轴z的静矩。dxb弯曲应力67 y1dy1h/2bh/2zyy（3）剪应力沿截面高度的变化规律y=0，中性轴上：弯曲应力68 2.工字形截面梁弯曲切应力分布的假设：①切应力与截面的周边相切，②切应力沿壁厚为常量。Fs弯曲应力69 ①腹板部分的切应力腹板：承担大部分剪力，且剪应力接近于均匀分布。②翼缘上的切应力：很小，不计。承担大部分弯矩。切应力流：切应力顺着一个转向流动。zyOhybb0h0弯曲应力∵b0<