材料力学课件第三章 扭转.ppt

材料力学Sunday,September26,2021第三章扭转1 第三章扭转本章内容:1扭转的概念和实例2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图3纯剪切4圆轴扭转时的应力5圆轴扭转时的变形6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形7非圆截面杆扭转的概念8薄壁杆件的自由扭转2 §3.1扭转的概念和实例工程问题中，有很多杆件是受扭转的。自行车的中轴受扭转。3 4 传动轴5 6 机械传动机构中，有很多受扭转的杆件。7 扭转的特点在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。受力特点变形特点以扭转变形为主的杆件称为轴。本章中，主要讨论圆轴的强度和刚度问题。8 §3.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图1外力偶矩由理论力学知，功率若功率的单位用千瓦，转速用n转/分:9 所以式中，功率的单位为千瓦，转速的单位为转/分若功率的单位为马力时，则公式为2扭矩和扭矩图求内力的方法截面法10 2扭矩和扭矩图求内力的方法截面法T扭矩若取右段，将得到同样的结果。扭矩的正负号规定11 扭矩的正负号规定扭矩图T12 例5(书例3.1)已知：主动轮A的输入功率NA＝50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB＝NC＝15马力，ND＝20马力，转速n＝300r/min。求：扭矩图。解：1)由功率计算力偶矩13 解：1)由功率计算力偶矩2)求各段的扭矩I-I截面，取左段14 2)求各段的扭矩I-I截面，取左段II-II截面，取左段15 II-II截面，取左段III-III截面，取右段画出扭矩图16 画出扭矩图T讨论若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？17 讨论若将轮A与轮D调换位置，扭矩图将怎样变化？最大扭矩增大67%！18 §3.3纯剪切1薄壁圆筒扭转扭转时的切应力试验观察19 轴线和周向线长度不变横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有切应力。试验观察20 横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有剪应力。切应力假设切应力沿厚度均匀分布取研究对象如图。内力系对x轴的矩应等于扭矩T。T21 切应力假设切应力沿厚度均匀分布取研究对象如图。内力系对x轴的矩应等于扭矩T。又22 2切应力互等定理纯剪切取单元体如图。两相对的面上，切应力大小相等，方向相反。23 3剪应变、剪切胡克定律剪应变纯剪切试验剪切胡克定律当切应力不超过剪切比例极限时:G剪变模量(剪切弹性模量)24 剪切胡克定律当切应力不超过剪切比例极限时:G剪变模量(剪切弹性模量)G具有应力的量纲。对各向同性材料，三个弹性常数E,,G之间满足关系:25 4剪切变形能剪切变形能的推导过程与拉压变形能的推导过程相同。也可写为:剪切变形比能当切应力小于剪切比例极限时:或:26 §3.3纯剪切1薄壁圆筒扭转扭转时的切应力试验观察27 轴线和周向线长度不变横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有切应力。试验观察28 横截面和纵向截面上无正应力。横截面上只有切应力。切应力假设切应力沿厚度均匀分布。取研究对象如图。内力系对x轴的矩应等于扭矩T。T29 切应力假设切应力沿厚度均匀分布取研究对象如图。内力系对x轴的矩应等于扭矩T。又30 又2切应力互等定理取单元体如图。两相对的面上，切应力大小相等，方向相反。31 2切应力互等定理纯剪切取单元体如图。两相对的面上，切应力大小相等，方向相反。32 3切应变、剪切胡克定律切应变纯剪切试验剪切胡克定律当切应力不超过剪切比例极限时:G切变模量(剪切弹性模量)33 剪切胡克定律当切应力不超过剪切比例极限时:G切变模量(剪切弹性模量)G具有应力的量纲。对各向同性材料，三个弹性常数E,,G之间满足关系:34 4剪切变形能剪切变形能的推导过程与拉压变形能的推导过程相同。也可写为:剪切变形能密度当切应力小于剪切比例极限时:或:35 §3.4圆轴扭转时的应力1变形几何关系试验观察(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；试验现象:(2)各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍是直线；36 平面假设圆轴扭转时，横截面保持为平面,并且只在原地绕轴线发生“刚性”转动。变形几何关系37 变形几何关系距圆心为处即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。38 2物理关系1变形几何关系即：各点的切应变与其到圆心的距离成正比。剪切胡克定律距圆心为处切应力分布3静力关系切应力沿半径呈线性分布。39 3静力关系横截面上内力系对圆心的矩应等于扭矩T。即:记横截面对圆心O的极惯性矩。40 记横截面对圆心O的极惯性矩。代入切应力关系最大切应力：记:41 最大切应力：记:Wt称为抗扭截面系数。注意：以上公式只对等直圆杆成立。对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似成立。此外，max应小于剪切比例极限。42 4圆轴扭转强度条件强度条件为:实心圆轴注意：计算max应综合考虑T和Wt。5极惯性矩和抗扭截面系数的计算空心圆轴其中:43 例1(书例3.2)已知：传动轴为无缝钢管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核轴的强度。解：计算Wt切应力44 例2(书例3.3)已知：同上例。将空心轴改为实心轴。要求与空心轴有相同的强度。Tmax=1.5kN·m。求：实心轴的直径。解：比较空心轴与实心轴实心轴截面积45 比较空心轴与实心轴实心轴截面积空心轴截面积空心轴与实心轴截面积比46 例3(书习题3.11)已知：N=7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。解：计算扭矩求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。强度条件实心轴47 计算扭矩强度条件实心轴空心轴48 §3.5圆轴扭转时的变形扭转角扭转变形两个横截面绕轴线的相对转角。微段的扭转角整体的扭转角49 整体的扭转角等直圆轴且扭矩不变时GIp圆轴的抗扭刚度。台阶轴或扭矩分段变化单位长度扭转角50 等直圆轴且扭矩不变时单位长度扭转角刚度条件(rad/m)若的单位为“度”，则(º/m)51 例4(书例3.4)已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80GPa。取解：计算力偶矩[t]=40MPa,[]=1.5º/m。求：设计4轴的直径。52 计算力偶矩取4轴,受力如图53 画出扭矩图计算力偶矩T54 画出扭矩图可得到：T由强度条件由刚度条件55 由强度条件由刚度条件最后取：说明：本题实际上是弯扭组合变形的问题。由刚度条件控制56 例2(书例3.5)已知：把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和G2IP2。解：求：轴和筒的扭矩。先扭后焊，属装配应力问题。设外力偶矩m撤销后，轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为T2。57 静平衡方程T1T2设外力偶矩m撤销后，轴内的扭矩为T1，筒内的扭矩为T2。变形协调方程设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为1，筒的扭转角为2，转向如图。58 T1T2变形协调方程设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为1，筒的扭转角为2，转向如图。所以：物理关系代入变形协调方程59 物理关系代入变形协调方程与平衡方程联立解得T1T260 §3.7非圆截面杆扭转的概念发生翘曲,平面假设不成立。试验现象对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。自由扭转翘曲不受限制。61 自由扭转翘曲不受限制。纵向纤维无伸长横截面上无正应力约束扭转横截面上有正应力。对实体杆，正应力可忽略。横截面边缘处的切应力62 横截面边缘处的切应力横截面的边缘点切应力与边界相切横截面的凸角处切应力为零矩形截面杆自由扭转时的结论切应力的分布特点63 边缘各点的切应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。四个角点处切应力为零max发生在长边中点是与h/b有关的系数（表3.2）。矩形截面杆自由扭转时的结论切应力的分布特点64 max发生在长边中点与h/b有关的系数(表3.2)。短边中点的切应力两端的相对扭转角其中GIt抗扭刚度。65 max发生在长边中点短边中点的切应力两端的相对扭转角矩形截面杆扭转时的系数(表3.2)66 狭长矩形:狭长矩形截面杆扭转切应力扭转角h/b10的矩形切应力这种情况下所以厚度67 §3.8薄壁杆件的自由扭转两类薄壁杆件:开口薄壁杆件闭口薄壁杆件1开口薄壁杆件的自由扭转基本思路将开口薄壁杆件的横截面看成是若干个狭长矩形的组合。68 1开口薄壁杆件的自由扭转基本思路将开口薄壁杆件的横截面看成是若干个狭长矩形的组合。基本假设横截面在其自身平面内的投影的形状保持不变。各组成部分的扭转角相等。即:横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭矩之和:69 各组成部分的扭转角相等横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭矩之和。推导扭转角公式由狭长矩形公式：代入扭矩关系式，有:70 代入扭矩关系式，有:引入记号:GIt抗扭刚度推导切应力公式71 扭转角公式GIt抗扭刚度推导切应力公式由狭长矩形切应力公式为解出Ti，由扭转角的关系有：代入切应力公式，得:72 切应力公式最大切应力为:最大切应力发生在宽度最大的狭长矩形的长边。即:厚的地方切应力大。切应力分布情况73 切应力分布情况74 型钢It的修正修正系数的值：角钢=1.00;槽钢=1.12;T字形钢=1.15;工字钢=1.20.END75 2闭口薄壁杆件的自由扭转只考虑单孔的情况切应力沿厚度均匀分布基本假设推导切应力公式取abcd为研究对象ab面和cd面上的剪力76 推导切应力公式取abcd为研究对象ab面和cd面上的剪力由平衡条件剪力流记：=常量=常量又，横截面上的内力对O点的矩应等于扭矩T所以：77 剪力流记：=常量又，横截面上的内力对O点的矩应等于扭矩T所以：而为截面中线所包围的面积得到78 因为：=常量得到所以，在厚度最小处剪应力最大：79 推导扭转角公式用能量法推导。切应力为:比能为取单元体，则单元体内的变形能为：其体积为计算变形能80 则单元体内的变形能为：杆内的总变形能为：计算外力偶的功在线弹性范围内，有:81 杆内的总变形能为：计算外力偶的功在线弹性范围内，有:由功能原理:若厚度不变，则有:其中，S是截面中线的长度。82 例3(书例3.8)已知：圆环形开口和闭口截面杆的r和d。解：求：比较二者的强度和刚度。开口圆环看作是狭长矩形则有:83 开口圆环闭口圆环则有:84 开口圆环闭口圆环比较若则85 比较若则结论：在同样情况下，开口薄壁杆件的应力和变形都远大于闭口薄壁杆件。86 谢谢大家!87