材料力学课件 孙训方第五版.ppt

第一章绪论主讲教师：郑新亮17八月2021 第一节材料力学的任务在保证构件既安全又适用的前提下，最大限度的发挥材料的经济性能，为构件选择适当的材料，设计合理的截面形状和尺寸。材料力学：研究构件的承载能力 第一节材料力学的任务*承载能力：构件承受荷载的能力几个方面来考虑：·强度:构件具有足够的抵抗破坏的能力·刚度:构件具有足够的抵抗变形的能力·稳定性:对细长受压杆件，能保持原有的直线平衡状态 第一节材料力学的任务*失效:由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能（承载能力）的现象几个方面来考虑：·强度：不因发生断裂或塑性变形而失效·刚度：不因发生过大的弹性变形而失效·稳定性：不因发生因平衡形式的突然转变而失效 第一节材料力学的任务1.强度问题 第一节材料力学的任务 强度失效 第一节材料力学的任务2.刚度问题 第一节材料力学的任务刚度失效 第一节材料力学的任务3.稳定性问题 1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。横杆之间的距离太大2.2m>规定值1.7m;地面未夯实，局部杆受力大；与墙体连接点太少；安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。稳定失效 第一节材料力学的任务疲劳失效—由于交变应力的作用,初始裂纹不断扩展而引起的脆性断裂松弛失效—在一定的温度下,应变保持不变,应力随着时间增加而降低,从而导致构件失效 第二节变形固体的基本假设机械或结构中的各种构件，都是由各种材料制成的，由这些材料组成的固体，在外力作用下，都会发生形状及尺寸的改变，即变形。{变形弹性变形塑性变形材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力 第二节变形固体的基本假设材料力学对变形固体所做的几个基本假设：1均匀连续性假设变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的，并且组成变形固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积。2各向同性假设变形固体在各个方向上具有相同机械性质。具有相同机械性质的材料为各向同性材料。3小变形假设构件在外力作用下所产生的变形与其整个构件的几何尺寸相比是极其微小的。 第二节变形固体的基本假设思考根据可变形固体的均匀性假设，从物体内任一点处任意方向取出单元体，其力学性能均相同。因此，均匀性假设实际上包含了各向同性假设，试问这种说法是否正确？均匀性假设是指从物体内取出的任一体积单元的力学性能与物体的力学性能相同，而并不涉及沿各个方向的力学性能是否相同。各向同性假设是指物体沿各个方向的力学性能相同，两者是有区别的。？回答：不正确。 第三节外力、内力、应力的概念1外力：周围物体对所研究的构件施加的作用力 第三节外力、内力、应力的概念2内力：弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力。 第三节外力、内力、应力的概念弹性体内力的特征:(1)连续分布力系(2)与外力组成平衡力系 第三节外力、内力、应力的概念3.应力:内力在一点的分布集度。即单位面积上的内力yxzP1P2ΔADFRΔFQyΔFQzΔFN垂直于截面的应力称为“正应力”位于截面内的应力称为“剪应力”或“切应力” 第三节外力、内力、应力的概念一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：xyzPPσxτxyτxzdAMyMzFN 第四节杆的基本变形1杆：直杆曲杆等截面杆变截面杆2杆的基本变形及组合变形： 第四节杆的基本变形轴向拉伸或压缩FF剪切FF 第四节杆的基本变形扭转Tn纯弯曲MM 第二章轴向拉伸和压缩主讲教师：郑新亮17八月2021 第一节轴向拉伸与压缩的概念及实例轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本、最简单的一种变形形式。1、工程实例拉杆P压杆PP 第一节轴向拉伸与压缩的概念及实例2、轴向拉伸与压缩的概念受力特点：作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合变形特点：沿轴线方向产生伸长或缩短PPPPPP思考？P/2PP/2该杆件是轴向拉伸变形吗？ 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力一、内力1、内力的概念：2、内力的计算（截面法）PPmmNPPN物体内部相邻部分之间相互作用的力 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3、内力正负号的规定NN同一截面位置处左、右两侧截面上的内力必须具有相同的正负号符号规定：轴力以拉力为正，压力为负（离开截面为正，反之为负） 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题1求图示各截面内力6kN18kN8kN4kN112233解：6kNN11N336kN18kN8kNN226kN18kN 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3、轴力图反映轴力与截面位置关系的图线例题2画出图示杆件的轴力图2kN3kN4kN3kN112233解：xy轴力图2kN1kN3kN（-）（+）（-） 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力二、应力FFFF 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力实验现象：1、所有纵向线伸长均相等2、所有横向线均保持为直线，仍与变形后的纵向线垂直根据实验，假设：1、受拉杆件是由无数纵向纤维组成，各纤维伸长相等，得出：横截面上各点处正应力相等。2、变形后的横向线仍保持为直线，—变形后横截面仍保持为平面（平截面假设）。 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力横截面上的应力分布：Fσ1、正应力的概念：内力在横截面上的分布集度单位：帕斯卡Pa（=N/m2）常用单位：MPa=106PaGPa=109Pa 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2、正应力的符号规定：当轴向力为正时，正应力为正（拉应力），反之为负（压应力）例题3如图所示正方形截面的梯形柱，柱顶受轴向压力P作用，上段柱重为G1，下段柱重为G2。已知：P=15kN，G1=2.5kN，G2=10kN。求：上、下段柱的底截面1-1，2-2上的应力。PG1G21122400200解： 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力3、斜截面上的应力：PPNαPα PαpαPα第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力pατασα 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力讨论： 第三节强度计算对于某一种材料，应力的增加是有限度的，超过某一限值材料就会丧失承载能力。轴向拉压杆的最大正应力：强度条件：式中：称为最大工作应力称为材料的许用应力 第三节强度计算根据强度条件，可以解决的三类实际工程问题。1、校核杆件强度已知：Nmax，A，[σ]。验算构件是否满足强度条件2、设计截面已知：Nmax，[σ]。根据强度条件，求：A3、确定最大载荷已知：A，[σ]。根据强度条件，求：Nmax 第三节强度计算例题1一直径d=14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa,受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。解：例题2AC与BC为两根圆杆，杆件的许用应力[σ]=170MPa,C点作用一集中力P=20kN作用，试根据强度条件确定两杆的直径d。满足强度条件。30°30°CABP解：NACNBCPC根据强度条件： 第三节强度计算例题3图示为钢木结构，AB为木杆：AAB=10×103mm2，[σ]AB=7MPa；BC为钢杆：ABC=600mm2，[σ]BC=160MPa；求B点可吊起的最大荷载P。30°ACBP解：PNABNCBB由强度条件可知： 第四节拉、压杆件的变形工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。PPLPPL1 第四节拉、压杆件的变形（绝对）变形量：工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段。根据实验表明，弹性范围内轴向拉、压杆的伸长量和缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。E：弹性模量（GPa）EA：抗拉（或抗压）刚度令虎克定律 第四节拉、压杆件的变形PPLPPL1dd1纵向变形量：横向变形量：纵向线应变：横向线应变：令：λ：材料泊松比 第四节拉、压杆件的变形例题1图示拉压杆。已知：P=10kN，L1=L3=250mm，L2=500mm，A1=A3=A2/1.5，A2=200mm2，E=200GPa。求：（1）试画出轴力图；（2）计算杆内最大正应力；（3）计算全杆的轴向变形。P3P3PPL1L2L3解：（1）取分离体分别求出各段轴力xy10kN20kN10kN（-）（+）（-） 第四节拉、压杆件的变形P3P3PPL1L2L3（2） P3P3PPL1L2L3第四节拉、压杆件的变形（3） 例题2用一根长6m的圆截面钢杆来承受7kN的轴向拉力，材料的许用应力[σ]=120MPa，E=200GPa，并且材料的许可总伸长量为2.5mm，试计算所需要的最小直径d。第四节拉、压杆件的变形解：强度条件变形条件 例题3图示桁架AB和AC杆均为钢杆，弹性模量E=200GPa，AAC=200mm2，AAB=250mm2，P=10kN，LAC=2m。试求节点A的位移。第四节拉、压杆件的变形30°BCAPPNABNCAA解：受力分析，可得：变形计算ΔLACΔLABA’用垂线代替圆弧线由变形条件可知，节点A的位移为AA’ 第四节拉、压杆件的变形A’’30°BCAPΔLACΔLABA’ 第四节拉、压杆件的变形例题3挂架由AC杆和BC杆组成，两杆的EA相同，C处作用有荷载P。求：C点的水平位移和竖直位移。解：受力分析PCNBCNAC变形计算ΔLACΔLBCPaABCaaC’ 第五节轴向拉伸或压缩的应变能F外力所做的功W：ll1Δl0ΔlFΔlF应变能Vε：：称为应变能密度 第六节材料在拉、压时的力学性质材料的力学性质：材料受力作用后在强度、变形方面所表现出来的性质一、拉伸试验试件:主要仪器设备：万能试验机，卡尺，直尺等试验条件：常温，静载 第六节材料在拉、压时的力学性质1、低碳钢拉伸试验 第六节材料在拉、压时的力学性质PΔL0韧性金属材料拉伸曲线的四个阶段：弹性阶段；屈服阶段；强化阶段；局部变形（劲缩）阶段。 第六节材料在拉、压时的力学性质（1）弹性阶段σε0AA’★应变值始终很小★变形为弹性变形★去掉荷载后变形全部消失斜直线OA：应力应变成正比变化——虎克定律微弯段AA’：当应力小于A’应力时，试件只产生弹性变形直线最高点A所对应的应力值——比例极限σpA’点所对应的应力值是材料只产生弹性变形的最大应力值——弹性极限σeσpσe 第六节材料在拉、压时的力学性质（2）屈服阶段σε0AA’σpσeBσs超过A’点后，σ-ε曲线上出现一条波浪线。变形大部分为不可恢复的塑性变形流动阶段对应的应力值——屈服极限σsC（3）强化阶段σb该阶段的变形绝大部分为塑性变形，整个试件的横向尺寸明显缩小C点为曲线的最高点（材料的最大抵抗能力），对应的应力值——强度极限σb 第六节材料在拉、压时的力学性质σε0AA’σpσeBCσbD（4）局部变形（劲缩）阶段试件局部显著变细，出现劲缩现象由于劲缩，截面显著变细，荷载随之降低，到达D点试件断裂 第六节材料在拉、压时的力学性质2、小结☆比例极限σp：应力与应变服从虎克定律的最大应力☆弹性极限σe：只产生弹性变形，是材料处于弹性变形的最大应力☆屈服极限σs：表示材料进入塑性变形☆强度极限σb：表示材料最大的抵抗能力衡量材料强度的两个指标：屈服极限σs强度极限σb 第六节材料在拉、压时的力学性质3、变形性质（1）伸长率（2）断面收缩率l1：实验后标距长度l：实验前标距长度A1：拉断后断口处的横截面面积A：实验前试件横截面面积衡量材料塑性的两个指标：伸长率δ断面收缩率φ 第六节材料在拉、压时的力学性质二、卸载与冷作硬化σε0AA’σpσeBCσbDE将试件拉伸变形超过弹性范围后任意点E，逐渐卸载，在卸载过程中，应力、应变沿与OA线平行的直线回到O1点O1当重新再对这有残余应变的试件加载，应力—应变沿着卸载直线O1E上升，到点F后沿曲线ECD直到断裂。不再出现屈服阶段冷作硬化：在常温下，经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象 第六节材料在拉、压时的力学性质三、铸铁拉伸试验σε00.2%σp0.2铸铁的拉伸实验没有屈服现象、没有劲缩现象，只有断裂时的强度极限σb，断口平齐取残余应变为0.2%时所对应的应力作为该材料的名义屈服极限σ0.2σb脆性材料拉伸时的强度指标：屈服极限σb 第六节材料在拉、压时的力学性质四、低碳钢的压缩实验 第六节材料在拉、压时的力学性质在屈服之前拉伸与压缩的σ-ε曲线是重合的即：压缩时的弹性模量E、比例极限σp、弹性极限σe、屈服极限σs与拉伸时的完全相同。但流幅稍短低碳钢压缩时没有强度极限 第六节材料在拉、压时的力学性质五、铸铁的压缩实验σε0σb铸铁拉伸应力图σb铸铁压缩应力图铸铁压缩的σ-ε曲线与拉伸的相似，但压缩时的伸长率要比拉伸时大，破坏时断口与轴线成45°角铸铁压缩时的强度极限σb是拉伸时的4～5倍，所以铸铁常用作受压构件使用。 第六节材料在拉、压时的力学性质六、安全系数、需用应力的确定σu称为极限应力n称为安全系数（>1）塑性材料：σu=σs脆性材料：σu=σb 第七节应力集中的概念应力集中：杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增的现象FF应力增大的现象只发生在孔边附近，离孔稍远处应力趋于平缓（应力能增大3～5倍） 第八节拉伸与压缩的超静定问题FN1N2N3N1N2P一、超静定问题 第八节拉伸与压缩的超静定问题二、超静定问题的求解方法平衡方程+补充方程（变形协调方程）例题1已知：杆1、2的抗拉（压）刚度相等，均为EA，杆3横截面面积为A3，弹性模量为E3，杆3长为L。求三个杆的内力。P（1）（2）（3）30°A解：N3N2N1（1）平衡方程：（2）补充方程（变形协调方程）：ΔL2ΔL3ΔL1A’ 第八节拉伸与压缩的超静定问题P（1）（2）（3）30°AN3N2N1ΔL2ΔL3ΔL1A’补充方程 第八节拉伸与压缩的超静定问题例题2已知：图示结构，A1=A2=A3=200mm2，[σ]=160MPa，P=40kN，L1=L2=L。试在下列两种情况下，校核各杆的强度。（1）三杆的材料相同，即：E1=E2=E3=E（2）杆1、2为弹性杆，且E1=E2=E，杆3为刚性杆C（1）（2）（3）P45°变形条件：N1N3N2CP解：（1）ΔL1ΔL2ΔL3变形协调方程C’ 第八节拉伸与压缩的超静定问题满足强度条件 （2）3为刚性杆第八节拉伸与压缩的超静定问题C（1）（2）（3）P45°ΔL1C’ΔL2N1N3N2CP平衡方程变形条件满足强度条件 第八节拉伸与压缩的超静定问题例题3已知：杆长为L，横截面面积为A，弹性模量为E。求：在力P作用下杆内力。N1N2L1L2P解：变形协调方程： 第八节拉伸与压缩的超静定问题总结（1）列静定平衡方程（2）从变形几何方面列变形协调方程（3）利用力与变形之间的关系，列补充方程（4）联立平衡方程，补充方程，即可求未知力（5）强度、刚度的计算与静定问题相同 第八节拉伸与压缩的超静定问题例题4已知：钢杆1、2、3的面积均为A=2cm2，长度L=1m，弹性模量为E=200GPa，若制造时杆3短了δ=0.08cm。试计算安装后1、2、3杆的内力（1）（3）（2）δN1N2N3解：平衡方程（1）（3）（2）δ变形条件ΔL1ΔL2ΔL3 第八节拉伸与压缩的超静定问题（1）（3）（2）δΔL1ΔL2ΔL3变形协调方程 第八节拉伸与压缩的超静定问题例题5已知：不计自重的刚杆挂在三根平行的金属杆上，杆间距为a，横截面面积为A，弹性模量为E，杆长为L，杆2短了δ，当B点受荷载P时求：各杆内力。δ（1）（2）（3）PPN1N2N3解：平衡方程ΔL1ΔL3ΔL2变形条件 第三章剪切与挤压主讲教师：郑新亮17八月2021 剪切与挤压工程中承受剪切变形的构件常常是连接件 剪切与挤压一、剪切受力特点：杆件受到相距非常近的横向力（平行力系）的作用变形特点：构件沿平行力系的交界面发生相对错动单剪面双剪面 剪切与挤压1剪切面：发生相对错动的面（平行于作用力的方向）2剪力：剪切面的内力3剪应力：剪力在剪切面上的分布极度二、剪切计算假设：剪力在剪切面上是均匀分布的剪应力（平均剪应力）（名义剪应力） 剪切与挤压求剪切面上的剪力：截面法剪应力：——剪切强度条件 剪切与挤压三、挤压计算1挤压力：接触面上的相互作用力（为非均匀分布）2挤压面：挤压力的作用面3挤压计算面积Abs：挤压面的直径投影面假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布 剪切与挤压挤压应力：挤压强度条件：例题1键连接。已知：Me、d；键的尺寸：l、b、h。求：τ，σbs 剪切与挤压解：键受力 剪切与挤压例题2销钉连接。已知：FP=18kN，t1=8mm，t2=5mm，[τ]=60MPa，[σbs]=200MPa，d=16mm。试校核销钉的强度。解：双剪面1剪切强度校核2挤压强度校核安全 剪切与挤压例题3木接头。求：τ，σbs解：剪切面挤压面 剪切与挤压例题4边长为a的正方形截面立柱，放在尺寸为L×L×h的基础上。求：τ解：地基对基础的约束反力集度剪力剪切面面积 第四章扭转主讲教师：郑新亮17八月2021 第一节扭转的概念扭转：直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 第一节扭转的概念ABOmmOBA——扭转角（两端面相对转过的角度）——剪切角，也称为剪应变或切应变 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图一、扭矩MMⅠⅠMT圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则来确定。即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。x 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图MTx扭矩的大小由平衡方程求得：二、扭矩图表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图扭矩图的画法步骤：1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上标出数值和正负号 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图例题1画出图示杆的扭矩图3kN·m5kN·m2kN·m解：ⅠⅠⅡⅡACBAC段3kN·mT1BC段2kN·mT22kN·m3kN·m扭矩图 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图三、外力偶矩换算扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传动功和转数来换算若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm） 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图例题2已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试绘制扭矩图。解：（1）计算外力偶矩ABCDP1P2P3P4n 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图ABCDM1M2M3M4nⅠⅠⅡⅡⅢⅢ（2）求扭矩（扭矩按正方向假设）Ⅰ—Ⅰ截面Ⅱ—Ⅱ截面Ⅲ—Ⅲ截面（3）绘制扭矩图4.78kN·m9.56kN·m6.37kN·m 第二节扭转的内力——扭矩与扭矩图例题3画出图示杆的扭矩图2m2m1m3m4kN·m6kN·m8kN·m6kN·m解：ⅠⅠⅢⅢⅡⅡⅠ—Ⅰ截面Ⅱ—Ⅱ截面Ⅲ—Ⅲ截面4kN·m2kN·m6kN·m 第三节薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验1实验前：①绘制纵向线，圆周线②两端施加一对外力偶Me 第三节薄壁圆筒的扭转2实验后：①圆周线不变②纵向线变成螺旋线3结果：①圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度γ③所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形 第三节薄壁圆筒的扭转二、薄壁筒切应力薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转向一致TA0为平均半径所作圆的面积 第三节薄壁圆筒的扭转三、切应力互等定理acddxbdy´´tzyx切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线 第三节薄壁圆筒的扭转纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力作用四、剪切虎克定律acddxbdy´´tzyx单元体ab边的倾角γ称为切应变，切应变是单元体直角的该变量，实验表明，在弹性范围内，切应力与且应变成正比，即：G：剪切弹性模量 第三节薄壁圆筒的扭转剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比μ一样，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系： 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件一、等直圆杆扭转实验观察1横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设2轴向无伸缩，横截面上没有正应力3纵向线变形后仍为平行线 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件二、等直圆杆扭转横截面上的切应力dxADCBO1O2C’B’dxRρO1O2abcdDBACb’c’B’C’1变形的几何条件横截面上b点的切应变单位长度扭转角 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件2物理条件（剪切虎克定律）横截面上b点的切应变：3静力条件dAO2bρτdAT称为截面对圆心的极惯性矩 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件4极惯性矩ODρdρDd环形截面：极惯性矩单位：m4 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致TT实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件5最大切应力令：称为抗扭截面系数单位：实心圆截面：空心圆截面： 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件例题1已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。解：TDd 第四节等直圆杆扭转时的应力·强度条件三、圆轴扭转时的强度条件 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件一、圆轴扭转时的变形MeMe单位长度扭转角当T、GIP为常数时，长为l的干段两端相对扭转角为：GIP为抗扭刚度 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件二、刚度条件单位长度扭转角 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题1图示圆轴，已知：mA=1kN·m，mB=3kN·m，mC=2kN·m；l1=0.7m，l2=0.3m，[τ]=60MPa,[θ]=0.3o/m,G=80GPa。试选择该轴的直径。mAmBmCABCl1l2解：1kN·m2kN·m扭矩图（1）按强度条件 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件mAmBmCABCl1l2（2）按刚度条件该圆轴直径应选择： 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题2图示圆轴，已知：mA=1.4kN·m，mB=0.6kN·m，mC=0.8kN·m；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m，[τ]=60MPa,[θ]=1o/m,G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。mCmAmBCABl2l1d1d2解：扭矩图0.8kN·m0.6kN·m（1）按强度校核 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件满足强度条件（2）按刚度校核不满足刚度条件 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件（3）两端相对扭转角 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题2长为l=2m的圆杆受均布力偶，m=20N·m/m的作用，如图，若杆的内外径之比为α=0.8，G=80GPa，许用切应力[τ]=30MPa,试设计杆的外径；[θ]=2o/m。试校核此杆的刚度，并求右端面的扭转角。20N·m/m解：（1）设计圆杆的外径2m 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件20N·m/m2m 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件（2）刚度校核（3）右端面扭转角 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件例题3图示圆轴，BC段为空心，已知：D=50mm，d=25mm，a=250mm；G=80GPa。试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCababDd11223344解：本题应分4段考虑 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件abab0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCDd11223344扭矩图1kN·m0.5kN·m0.8kN·m 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件abab0.5kN·m0.3kN·m0.8kN·mABCDd11223344 第五章截面的几何性质主讲教师：郑新亮17八月2021 截面的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质？研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度和稳定问题，都要涉及到与截面的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为几何量。包括：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积主轴等等 第一节截面的静矩和形心位置xzy质心：质量的中心mirCri有限质点系 第一节截面的静矩和形心位置有限质点系：无限质点系：矢量式分量式有限质点系：无限质点系：质心坐标是质点坐标的质量加权平均 第一节截面的静矩和形心位置重心：重力合力的作用点有限质点系：无限质点系： 第一节截面的静矩和形心位置1形心：图形几何形状的中心y0xdAxyCyCxC 第一节截面的静矩和形心位置2静矩：令：定义：为图形对x、y轴的静矩 第一节截面的静矩和形心位置3形心与静矩的关系：截面对通过形心的轴的静矩恒等于零若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心4组合图形的静矩和形心：静矩形心 第一节截面的静矩和形心位置例题1求图示图形的形心解：2010010020yx0A1yC1A2yC2C4080 第一节截面的静矩和形心位置例题2求图示图形的形心101020020200A1yC1解：yx0A2yC2A3yC3C65155 第二节极惯性矩·惯性矩·惯性积y0xdAxy1惯性矩：2惯性积：3极惯性矩：4惯性半径： 第二节极惯性矩·惯性矩·惯性积5简单几何形状的惯性矩：（1）矩形bhyx0dyy坐标系中含有对称轴时，图形对该坐标系的惯性积为零。 第二节极惯性矩·惯性矩·惯性积（2）圆形yx0dyyd2x 第二节极惯性矩·惯性矩·惯性积yx0d第二节极惯性矩·惯性矩·惯性积rdrR 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式y0xy101x1badAyxy1x1坐标变换：同理： 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式若x、y轴过图形形心C，则：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的乘积；图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距的乘积；图形对于形心的惯性矩最小，而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减少。 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式例题1求图示图形对其形心轴Xc轴的惯性矩100yx0A1yC1A2yC2C408010020xC解： 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律y0xyxy1x1αx1y1坐标变换： 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式写成倍角形式 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式当α=α0时，使若或 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式当=0时，图形对这一坐标轴的惯性积等于零，该坐标轴为图形的主惯性轴对主惯性轴(主轴)的惯性矩称为主惯性矩当主惯性轴通过图形形心时,该主惯性轴为形心主惯性轴对称轴及与其垂直的轴即为过二者交点的主轴若交点为形心即为形心主轴截面形心主惯性轴与杆件轴线确定的平面为形心主惯性平面 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式例题1试求形心主轴的位置及形心主矩200180400204040解：（1）确定形心位置CxCyCxyα0（2）在形心位置处建立Cxy坐标,先分别求出三个矩形对于x、y轴的惯性矩和惯性积,得整个图形对于x、y轴的惯性矩和惯性积 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式（3）根据上述结果确定主轴位置及形心主矩图形的形心主矩为： 第六章弯曲应力主讲教师：郑新亮17八月2021 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲变形当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面称为纵向对称面 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图二、平面弯曲当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。三、梁的计算简图1杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁2荷载的分类集中荷载分布荷载集中力偶 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图3支座的分类固定铰支座FxFyFxFy可变铰支座（滑动铰支座）Fy固定支座（固定端）FyFxM 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图4静定梁的基本形式简直梁外伸梁悬臂梁 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图一、梁的剪力和弯矩lPlbammx 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图lPbammx平衡方程：RARBRAQMx平衡方程：RBQ’M’ 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图符号规定：剪力Q的符号规定：使界面发生顺时针旋转为正，反之为负QQx弯矩M的符号规定：使梁下侧受拉为正，反之为负MM 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图例题1求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。解：P=qaqaaaaABRARB11223344截面法，取分离体RAQ1M1 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图P=qaqaaaaABRARB11223344RAQ2M2P=qaRAP=qaQ3M3 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图P=qaqaaaaABRARB11223344RBQ4M4q 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图qABlRARBxRAqQMQ（x）与M（x）表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律称为剪力方程和弯矩方程 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图xyxy剪力图弯矩图 第二节梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图ABlabRARBPCxAC段（0Fcr时，弯曲平衡构型 第一节压杆稳定的概念直线平衡构型弯曲平衡构型FcrFcr称为分叉荷载，又称临界荷载 第一节压杆稳定的概念失稳（屈曲）：在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形的过程，称为失稳或屈曲临界荷载Fcr：受压杆件由直线平衡状态过渡到微弯的曲线平衡状态的最小荷载值（压杆失稳时的最小值；保持稳定的最大值） 第二节临界荷载1两端铰支压杆的临界载荷：x 第二节临界荷载x求解该微分方程：边界条件： 第二节临界荷载——欧拉公式临界荷载：最小临界荷载：压杆总是绕抗弯刚度最小的轴发生失稳破坏 第二节临界荷载2支承对压杆临界载荷的影响： 第二节临界荷载各种支承压杆临界载荷的通用公式：一端自由，一端固定＝2.0一端铰支，一端固定＝0.7两端固定＝0.5两端铰支＝1.0 第三节欧拉公式的适用范围经验公式能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？材料和直径均相同 第三节欧拉公式的适用范围经验公式1临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力2柔度：影响压杆承载能力的综合指标定义：——柔度（长细比）——截面惯性半径——欧拉公式 第三节欧拉公式的适用范围经验公式3欧拉公式的适用范围：P—比例极限P—与比例极限对应的柔度欧拉公式适用范围：细长杆（大柔度杆）——欧拉公式只适用于细长杆 第三节欧拉公式的适用范围经验公式杆件分类：细长杆——发生弹性屈曲中长杆——发生弹塑性屈曲短粗杆——不发生屈曲，发生屈服临界应力计算细长杆：中长杆：短粗杆： 第三节欧拉公式的适用范围经验公式临界应力图：细长杆中长杆短粗杆 第三节欧拉公式的适用范围经验公式提高压杆承载能力的措施:由临界应力图可以看出:入愈大,则压杆的临界应力愈低,λ=μl/i，所以提高压杆承载能力的措施主要有以下几个方面：1）减小压杆的长度(在压杆中间增加支撑)2）增强杆端约束。3）若压杆各个方向的约束条件相同,则应使截面形心主轴惯性矩尽可能的大,并且使Iy=Iz；若各个方向的约束条件不同,则应使λy=λz。4）压杆为中长杆和短粗杆时,高强钢和合金钢因流动限高,可以提高压杆的承载能力;若压杆为细长杆,因各类钢材的E基本相同,选用高强钢和合金钢对提高压杆的承载能力意义不大,故应选用低碳钢 第三节欧拉公式的适用范围经验公式例题1一钢质杆，两端铰支，长L=1.5m，横截面直径d=50mm,λp=100，E=200GPa，试确定其临界力解：（1）计算λ：（2）欧拉公式： 第三节欧拉公式的适用范围经验公式能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？材料和直径均相同 第二节拉（压）与弯曲的组合变形1拉（压）与弯曲组合变形：x 第二节拉（压）与弯曲的组合变形横截面上任意点处正应力:强度条件: 第二节拉（压）与弯曲的组合变形2双弯曲：中性轴 第二节拉（压）与弯曲的组合变形3双弯曲与轴拉： 第二节拉（压）与弯曲的组合变形例题1分别求出该牛腿柱上下两端的最大正应力200解：上柱为轴压下柱为弯、压组合偏心距： 第二节拉（压）与弯曲的组合变形例题2图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的轴向正应变分别为a=1×10-3,b=0.4×10-3,材料的弹性模量E=210GPa。(1)试绘制横截面上的正应力分布图，(2)求:拉力P及偏心距25解： 第二节拉（压）与弯曲的组合变形例题3求(1)截面的max；(2)缺口移至中央保持max不变,宽为多少10解：确定形心偏心距： 第三节偏心受压与截面核心中性轴 第三节偏心受压与截面核心中性轴位置：横截面上正应力为零的点连成的直线注：令：——中性轴方程最大压应力最大拉应力 第三节偏心受压与截面核心中性轴位置：横截面上正应力为零的点连成的直线最大压应力最大拉应力中性轴与偏心压力作用点分别在坐标原点（截面形心）两侧。作用点越靠近截面形心，中性轴离截面形心越远，中性轴将横截面划分成两部分 第三节偏心受压与截面核心取A点坐标（r，s）若使中性轴通过A点只要压力P作用于pq直线的任意点上，A点的应力总等于零，即中性轴总通过A点或者说，压力P沿直线pq移动时，中性轴绕A点旋转中性轴 第三节偏心受压与截面核心截面核心：对每一个横截面，都有一个封闭区域当压力作用于这一封闭区域内时，截面上只有压应力 第三节偏心受压与截面核心例题1短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截面核心b解：若中性轴与AB边重合中性轴在坐标轴的截距 第三节偏心受压与截面核心例题2短直径为d的圆形截面的截面核心解：中性轴在坐标轴的截距 第四节弯曲与扭转的组合变形S平面xzy4321FlaFlaS 第四节弯曲与扭转的组合变形xzy4321 第四节弯曲与扭转的组合变形先确定主应力 第四节弯曲与扭转的组合变形圆截面：对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时： 第四节弯曲与扭转的组合变形例题1结构承载如图,钢制圆杆的横截面面积A=80×10-4m2,抗弯截面模量W=100×10-6m3,抗扭截面模量WP=200×10-6m3,许用应力[]=134MPa,试校核此杆强度解： 第四节弯曲与扭转的组合变形例题1结构承载如图,钢制圆杆的横截面面积A=80×10-4m2,抗弯截面模量W=100×10-6m3,抗扭截面模量WP=200×10-6m3,许用应力[]=134MPa,试校核此杆强度解： 第四节弯曲与扭转的组合变形不安全