弯曲内力 武汉理工大学 材料力学课件.ppt

第五章弯曲内力1 §5.1平面弯曲的概念§5.2梁的计算简图§5.3弯曲内力―剪力和弯矩§5.4剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图§5.5载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用§5.6用叠加法作弯矩图第五章弯曲内力2 弯曲内力一、弯曲变形梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。§5.1平面弯曲的概念3 弯曲内力对称轴平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴4 弯曲内力一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。二、载荷简化计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。1.集中力(N，kN)Pq载荷集度q：mm2.集中力偶(Nm，kNm)3.分布载荷(N/m，kN/m)§5.2梁的计算简图5 弯曲内力①固定铰支座：2个约束②可动铰支座：1个约束三、支座简化③固定端：3个约束XAYAMAFAxFAyAAAAAAFAA6 弯曲内力四、静定梁的三种基本形式①简支梁(simplebeam)③悬臂梁(cantileverbeam)静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和内力。②外伸梁(overhangingbeam)7 弯曲内力计算方法：截面法例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力RA和RB(2)取左段梁为研究对象：MFS§5.3弯曲内力——剪力和弯矩MFSRBmxF1aABF2m11xCF1RARARB8 弯曲内力内力的正负规定:①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。或者说：左上右下的FS为正，反之相反。②弯矩M：使梁下凸变形的弯矩为正；使梁上凸变形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)9 [例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。解：1-1截面:qqlab1122x1ql弯曲内力x2qlFS1M1FS2M22-2截面:10 弯曲内力另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。11 AB1122FM0=Faaaaa[例5-2]：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力和弯矩。弯曲内力RARB解：（1）求支反力RA、RB1-1截面:（2）求截面内力2-2截面:12 弯曲内力1.内力方程：2.剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。§5.4剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图xM13 [例5-3]列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABqRARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)(3)绘制剪力图、弯矩图ql/2ql/2-++ql2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。弯曲内力14 解:(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：RAxFS(x)M(x)CB段：FS(x)M(x)RAxFFb/lFa/l-++Fab/l在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现尖角。弯曲内力FSxABFalbCRBRAMx15 MFS(x)M(x)FS(x)M(x)在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。解：(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。AC段：CB段：RARBxlabABmCRAxRAxm(3)绘制剪力图、弯矩图：m/l+-+ma/lmb/l弯曲内力FSx16 弯曲内力[例5-4]求下列外伸梁的内力方程并画内力图。解：(1)计算支反力：a2aqCBA(2)列剪力、弯矩方程：以A为原点。xRARB+-FsM-在集中力作用处，Fs图发生突变，M图对应处有一尖角。（3）画内力图：17 弯曲内力[例5-5]求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。从右往左取研究对象从左往右取研究对象FFSqlFSlFlqFlMM18 弯曲内力lMMMFsFs＝0总结得以下规律：（1）形状规律：（2）突变规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突变，突变值等于集中力的大小，在M图的相应处有一尖角（b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs图的相应处无变化。（3）分段规律：19 3.刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。具有刚节点的框架称为刚架(rigidframe)。2aABqC3a[例5-6]作图示刚架的弯矩图。解：(1)求支座反力刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。弯曲内力铰结点：能相对转动，不能相对移动。(2)对各杆分段求内力注意：刚架的内力有Fs、M、FN,这里只讲弯矩图画法。20 2aABqC3aBA杆：以A为原点BC杆：以C为原点AC弯曲内力21 BA杆：以A为原点BC杆：以C为原点+ABCFN弯曲内力弯矩图画在受拉侧+-ABCFS(3)作内力图ABCM22 弯曲内力[例5-7]试作图示刚架的弯矩图。P1aM图P1aP1a+P2lF1F2alABCBA杆：以B为原点BC杆：以C为原点解：（1）列各杆弯矩方程(外侧受拉)(外侧受拉)（2）画弯矩图23 q弯曲内力4.平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。[例5-8]如图所示平面曲杆，已知F及R。试画Fs、M及FN图。qmm解：建立极坐标，O为极点，OB极轴，q表示截面m–m的位置。OFRABFFsFN取研究对象，画其受力图如下图示：M符号规定：使轴线曲率增加的M为正；引起拉伸变形的FN为正；将Fs对研究对象上任一点取矩，若力矩的转向为顺时针的，则剪力为正，反之均为负。24 弯曲内力ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF–+qFFsFNMF25 弯曲内力对dx段进行平衡分析：dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dx剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。§5.5荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系26 弯曲内力FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAM(x)+dM(x)M(x)弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。q(x)27 FSF1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEM1.无荷载段：2.有荷载段q：FS图水平直线或为0q>0：上升斜直线q<0：下降斜直线上凸曲线M图斜直线或水平线下凸曲线q(x)向上为正弯曲内力28 弯曲内力q(x)向上为正3.力F作用点处4.力偶Me作用点处FS图突变不受影响M图折点突变5.q起点及终点处不受影响相切6.弯矩最大绝对值处：FS＝0或集中力作用截面处或集中力偶作用处F1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEMFS29 作图步骤1.求支座反力，2.分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3.求每一段控制截面的FS、M值，4.按规律连线。弯曲内力30 弯曲内力[例5-7]作下列各图示梁的内力图。FSxaaqaqBCqa2xMqa--A相切31 弯曲内力[例5-8]作图示梁的内力图。qqa2qaABCDaaaqa/2MFSqa2/2qa2/2qa2/2+qa/2--+qa/2-32 解：1.求支座反力FS/kNoxM/kNmxo[例5-9]作图示外伸梁的Fs、M图。(取参考正向）2.从左起，计算控制截面的FS值,并由微分关系判断线形，画Fs图3.同理画M图。20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB53045+++--参考正向弯曲内力33 弯曲内力[例5-10]已知M图,求外载及剪力图。20kN20kN20kN2m2m2mMFSABCD34 弯曲内力[例5-11]已知M图,求荷载图及剪力图。40kN20kN20kN20kN20kN1m1m1mMFSABCD35 弯曲内力[例5-12]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。1m1m2m231q=2kN/m+–+11ABCDEFS(kN)1.255kN1kN–+(kN·m)M36 弯曲内力1kN+–+3kN2kN0.5m1m1.5mMFS[例5-13]已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。ABCD5kN2kN1kN+–37 弯曲内力叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。§5.6用叠加法作弯矩图38 弯曲内力[例5-14]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。=+FABqAB=+MqFAB2a+++39 弯曲内力[例5-15]作下列图示梁的内力图。0.5F0.5F0.5F0.5FFABFS=+=+FLABF-0.5F0.5F+-0.5F-FFlllF0ABC40 弯曲内力0.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F+++–41 FlFllFl弯曲内力对称性与反对称性的应用：FFABF+F–lllABFFF/3F/32F/3F/3–++F/3MFS反对称正对称反对称正对称+Fl/3Fl/3+–42 一、选择题1、平面弯曲变形的特征是。（A）弯曲时横截面仍保持为平面。（B）弯曲载荷均作用在同一平面内。（C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。（D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与有关。（A）横截面形状。（B）横截面面积。（C）梁的材料。（D）载荷作用位置。DD本章习题弯曲内力43 3、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力F，当F在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别满足。（A）Fsmax≤F，Mmax≤FL/2（B）Fsmax≤F/2，Mmax≤FL/4（C）Fsmax≤F，Mmax≤FL/4（D）Fsmax≤F/2，Mmax≤FL/24、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力偶M0，当M0在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别为。（A）Fsmax=0，Mmax=M0（B）Fsmax=0，Mmax=M0/2（C）Fsmax=M0/l，Mmax=M0（D）Fsmax=M0/l，Mmax=M0/2CC弯曲内力44 5、在下列说法中，是正确的。（A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。（C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。6、用叠加法求弯曲内力的必要条件是。（A）线弹性材料。（B）小变形。（C）线弹性材料且小变形。（D）小变形且受弯杆件为直杆。BC弯曲内力45 7、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零，弯矩为零。（C）剪力和弯矩均为零。（D）剪力和弯矩均不为零。8、若梁的受力情况对称于中央截面，则该梁的内力图的特点是。（A）M图对称，FS图反对称。（B）M图反对称，FS图对称。（C）M，FS图均对称。（D）M，FS图均是反对称。AA弯曲内力46 9、若梁的受力情况关于中央截面反对称，则中央截面上。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零，弯矩为零。（C）剪力和弯矩均为零。（D）剪力和弯矩均不为零。10、若梁的受力情况关于中央截面反对称，则该梁的内力图的特点是。（A）M图反对称，FS图对称。（B）M图对称，FS图反对称。（C）M，FS图均对称。（D）M，FS图均是反对称。BA弯曲内力47 1、二、作图题aaaFaFFFSM－FFa弯曲内力48 2、qFSMaa2a2qa2qa2qa5qa2qa3qaqa2qa22qa2－+弯曲内力－+49 3、FSMqa/2－+qqa2/2qaaqa/2qa/2qa/2qaqa2/2qa2/8弯曲内力50 弯曲内力4、qaqqa2/2aaaqaqaFSqaqaMqa2/2qa2/2－+－+51 弯曲内力5、2qaqaa5qa/47qa/4FS－+7qa/43qa/45qa/4M5qa2/4+52 弯曲内力6、作刚架弯矩图（教材P895－10（d,h))6、改内力图之错。a2aaqqa2ABFsxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/453 第五章弯曲内力结束54