华南理工材料力学课件第六章

第六章弯曲应力 $6.1梁的弯曲1．横力弯曲横截面上既有Q又有M的情况。如AC、DB段。2．纯弯曲某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。 3．梁的纯弯曲实验(1).现象：横向线a-b变形后仍为直线，但有转动；纵向线变a-a变为曲线，且上面压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。(2)概念：中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。横截面对称轴中性轴中性层纵向对称面 $6.2纯弯曲时的正应力1．变形几何关系从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的坐标系。图中，y轴为横截面的对称轴，z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为,中性层曲率半径为，距中性层为y处的任一纵线（纵向纤维）b、b、为圆弧曲线。而其线应变为因此，纵bb的伸长为 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为yz3．静力关系截面上内力系简化为三个内力分量，即平行x轴的轴力N，对Z轴的力偶矩MZ，和对轴的力偶矩My，2．物理关系 yz考虑左侧平衡，，，得横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩式中积分上式可写成为称为梁的抗弯刚度。将该式代入，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。则截面上的最大正应力为 $6.3横力弯曲时的正应力1．横力弯曲时的正应力，横力弯曲时的细长梁，横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式引入符号——截面图形的抗截面模量。强度条件为则 高为h，宽为b的矩形截面：直径为的圆截面：例受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；解：画M图求截面弯矩 求应力 $6.4弯曲切应力横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力。剪力Q是与截面相切的内力系的合力。研究方法：分离体平衡。1．矩形截面中的弯曲切应力在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程：（1）（2）（3） （3）带入（1）、（2）得由剪应力互等得于是并时有 工字形截面其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式ByhHb2．工字钢截面 将y=0和y=h/2分别带入上式，得3．圆形截面梁半个圆截面对中性轴的静矩此外将上式带入得2R $6.5梁的正应力和剪应力强度条件、提高弯曲强度的措施梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为，，1．弯曲正应力和剪应力强度条件 例求T形截面梁的最大切应力。解：（1）求支反力（2）作剪力图（3）求最大切应力 $6.5梁的截面形状优化，对于宽b，高为h的矩形，抗弯截面模量因此，高度越大，越大，在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半分布于距中性轴处。越小。为A/2A/2AAAh a.塑性材料上、下对称抗弯更好，抗扭差。b.脆性材料$6.6等强度梁截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。由得若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h，高度为x的函数，b=b(x)。则得出 按剪切强度确定截面宽度的最小值由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。