复合材料力学课件第02章_各向异性弹性力学基础

第二章各向异性弹性力学基础§2.2各向异性弹性体的本构关系§2.1各向异性弹性力学基本方程§2.3正交各向异性材料的工程弹性常数回总目录 §2.1各向异性弹性力学基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：§2.1(1)1∘工程应力方程2∘工程应变方程3∘平衡方程4∘几何关系方程5∘变形协调方程6∘物理方程 工程应力 工程应变 几何关系方程 变形协调方程（1） 变形协调方程（2） 平衡方程注：以上关系与各向同性体相同 物理方程(本构关系)Hooke定理：记作{}=[C]{}，[C]—刚度矩阵，可以证明，[C]是对称矩阵，因此它只有21个独立变量。 物理方程同样，[S]也是对称矩阵，它也有21个独立变量。同样，可用应力分量表示应变分量：[S]＝[C]-1—柔度矩阵。 §2.2完全各向异性具有一个弹性对称面的材料正交各向异性材料横观各向同性材料各向同性材料§2.2各向异性弹性体的本构方程 §2.2 §2.2应变势能密度为： 一、完全各向异性（21个弹性常数）各向异性体具有耦合现象：剪应力可以引起正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。注意：各向同性体无此耦合现象。 二、有一个弹性对称面（13个弹性常数）取xOy坐标面为弹性对称面，取A与A’为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到z’轴时，应力应变关系不变。xy面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴. 有一个弹性对称面的材料此时：z=-z’，w=-w’， 有一个弹性对称面的材料为保证W值不变,将含有xz和yz(4与5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立变量。 有一个弹性对称面的材料同理： 三、正交各向异性（9个弹性常数）如果具有三个正交弹性对称面，则： 2.2.2正交各向异性材料只有九个独立系数（后面再详细讨论） 四、横向同性（5个弹性常数）各向同性面—在该平面内，各点的弹性性能在各方向上相同。假定：1，2，3都是弹性主轴，1－2面是各向同性面。则：S11=S22，S13=S23，S44=S55，C11=C22，C13=C23，C44=C55 横观各向同性材料又设某点应力状态：1=，2=－，4=5＝6，有将1、2坐标轴在面内转450到1’、2’，则1’=2’＝3’＝0，6’＝1’2’＝－，2’3’＝3’1’＝0：则：S66＝2(S11–S12) 横观各向同性材料 横观各向同性材料只有五个独立系数 五、各向同性材料（3个弹性常数）如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同。有：C11=C22=C33，C12=C13=C23，S11=S22=S33，S12=S13=S23， 2.2.4各向同性材料 2.2.4各向同性材料只有三个独立参数，可以用E、、G表示。实际上只有两个，因为E、、G之间有关系。 六、正交各向异性材料的工程弹性常数取值范围单独在j方向有正应力时i方向上应变与j方向应变之比的负值工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比 对正交各向异性材料： 因为[S]是对称的，所以对于各向同性材料：E>0，G>0,-1<<1/2对于各向异性材料，考虑到应变能W>0，所以[C]和[S]必须正定。一般EiEj，所以，ijji。因此共有九个参数。 矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵。充分必要条件：所有主子式都大于零Ai>0(i=1,26)主子式：在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3,ik行和i1,i2,i3,ik列交点处的元素构成的行列式称为矩阵[S]（或[C]）的主子式。 1∘2∘同理可得： 3∘这些关系式可用于检验材料实验数据。