北大材料力学课件Ch1轴向拉压1-3节

材料力学第二章轴向拉伸和压缩(Ch2.AxialTensionandCompression)2021/8/281课件 §2-1轴向拉伸和压缩的概念TheBasicConceptofAxialTensionandCompressionIntroduction:(AxialTensionBar...AxialCompressionBar)受力特点:是杆在两端各受一集中力Ｐ作用，两个Ｐ力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。如果两个Ｐ力是一对离开端截面的力，则将使杆发生纵向伸长，这样的力称为轴向拉力;如果是一对指向端截面的力，则将使杆发生纵向缩短，称为轴向压力。变形特点：主要变形是纵向伸长或缩短Elongation(伸长)；Contraction(缩短)2021/8/282课件 轴向拉伸和压缩杆件的受力特性是:在杆的每一个截面上,仅存在轴向内力一个分量。若为直杆,外力的合力必须沿杆轴线作用。相应的变形特点为:轴向伸长(拉)或缩短(压),并伴随横向收缩或膨胀。即纵伸横缩，纵缩横伸。§2-1轴向拉伸和压缩的概念TheBasicConceptofAxialTensionandCompression2021/8/283课件 2021/8/284课件 2021/8/285课件 §2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigureⅠ.内力internalforce:内力是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。Ⅱ.截面法·轴力:由于内力是物体内相邻部分之间的相互作用力,为了显示内力,可应用截面法。设一等直杆在两端轴向拉力Ｐ的作用下处于平衡,欲求杆件Ⅰ、Ⅱ两部分之间横截面ｍ－ｍ上的内力(图2－3ａ)。为此,假想一平面沿横截面ｍ－ｍ将杆件截分为Ｉ、Ⅱ两部分,任取一部分(如部分Ｉ),弃去另一部分(如部分Ⅱ)。并将弃去部分对留下部分的作用以截开面上的内力来代替(图2－3ｂ)。对于留下部分Ｉ来说,截开面ｍ－ｍ上内力Ｎ就成为外力。由于整个杆件处于平衡状态,故其留下部分Ｉ也应保持平衡。于是,考虑留下部分Ｉ的平衡,即可计算杆件核截面ｍ－ｍ上的内力Ｎ。由平衡方程:ΣＸ=０,即:Ｎ-Ｐ==０得Ｎ==Ｐ（ａ）式中,Ｎ为杆件任一横截面ｍ－ｍ上的内力。由共线力系的平衡条件可知,内力Ｎ也与杆的轴线重合,即垂直于横截面并通过其形心。这种内力称为轴力,并规定用记号Ｎ表示。2021/8/286课件 §2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure若取部分Ⅱ为留下部分,则由作用与反作用原理可知,部分Ⅱ在截开面上的轴力与前述部分Ｉ上的轴力数值相等而指向相反(图2－3b、c)。当然,同样也可以从部分Ⅱ上的外力,通过平衡方程来确定轴力Ｎ。2021/8/287课件 对于压杆,也可通过上述过程求得其任一横截面ｍ－ｍ上的轴力Ｎ,其指向如图２－４所示。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure2021/8/288课件 §2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure为了使由部分Ｉ和部分Ⅱ所得同一截面ｍ－ｍ上的轴力具有相同的正负号,联系到变形的情况,规定:拉杆的变形是纵向伸长，其轴力为正，称为拉力。由图2－3b、c可见拉力是背离截面的。压杆的变形是纵向缩短，其轴力为负，称为压力。由图2－4b、c可见，压力是指向截面的。上述分析轴力的方法称为截面法。它是求内力的一般方法,也是材料力学中的基本方法之一。2021/8/289课件 截面法包括以下三个步骤：（１）截开：在需要求内力的截面处,假想地将杆截分为两部分；（２）代替：将两部分中的任一部分留下,并把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的内力(力或力偶)；（３）平衡：对留下的部分建立平衡方程,根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。应该注意:截开面上的内力对留下部分而言已属外力了。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure2021/8/2810课件 必须指出，静力学中的力(或力偶)的可移性原理,在用截面法求内力的过程中是有限制的。一般地说,在采用截面法之前不要使用力的可移性原理，以免引起错误。而在采用截面法之后，研究留下部分的外力平衡，则纯粹属于静力学的范畴，可随意使用力的可移性原理。同理,将杆上的荷载用一个静力等效的相当力系来代替,在求内力的过程中也有所限制,这将在第四章的例题４－４中加以讨论。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure2021/8/2811课件 例如,图2-5a所示拉杆在自由端Ａ承受集中力Ｐ,由截面法可得:杆任一横截面ｍ－ｍ或n－n上的轴力Ｎ均等于Ｐ(图2-5b、c)。若将集中力Ｐ由自由端Ａ沿其作用线移至杆的Ｂ点处(图2－5d),则其ＡＢ段内任一横截面ｍ－ｍ上的轴力都将等于零(图2－5e),而ＢＣ段内任一横截面n－n上的轴力仍等于Ｐ(图2－5f),保持不变。这是因为集中力Ｐ由自由端A移至Ｂ点后,改变了杆件ＡＢ段的变形,而并不改变ＢＣ段的变形。§2-2内力internalforce·截面法methodofsection·轴力axialforce及轴力图axialforcesfigure2021/8/2812课件 例２-１.求图2.3(a)所示直杆1－1,２－２，３－３截面上的内力。解本题各外力均沿杆轴线方向作用，称为轴向受力杆。解题时，可先求出左端的约束反力，然后再用截面法求各截面内力。亦可不求约束反力，而分别取各截面以右为研究对象。可得左端的约束反力Ｒ＝５０ｋＮ，沿杆轴线方向向左作用。以整杆为研究对象，由,1.计算1－1截面内力取1一1截面以左为研究对象，如图2.3(b)所示。由平衡条件得:Ｎ1—Ｒ=０,Ｎ1＝Ｒ＝50kN结果为正，说明Ｎ1的方向如图上所设方向，即为拉力。2021/8/2813课件 2．计算２－２截面的内力取２－２截面以左为研究对象，如图2.3（c）所示。由平衡条件，得:例２-１(续)这种在轴向荷载作用下的杆件，横截面上的另外五个内力分量都为零，即:Qy=Qz=My=Mz=T=0，可不必一一示出，也不列出另外五个内力方程。Ｎ2＋40—Ｒ＝0Ｎ2＝Ｒ—40＝10kN结果为正，表明Ｎ2为拉力。2021/8/2814课件 结果为负，说明Ｎ3的方向与所设方向相反，即Ｎ3为压力。在求内力时，当把截面上的内力均设为正内力时，则计算结果的符号与内力正负号规定一致。这种方法称为设正法。下面各例均用设正法。例２-１(续)３.计算3-3截面的内力取３－３截面以有为研究对象，如图２.３(d)所示。由平衡条件得：—Ｎ3—20＝0Ｎ3=—20kN2021/8/2815课件 §2-2内力·截面法·轴力及轴力图Ⅲ．轴力图(AxialForcesFigure)当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同部分中横截面上的轴力将各不相同。对等直拉杆或压杆作强度计算时，都要以杆的最大轴力为依据，为此就必须知道杆的各个横截面上的轴力，以确定其最大轴力。为了表明横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可按选定的比例尺，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图，从该图上即可确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置。习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧。2021/8/2816课件 §2-2内力·截面法·轴力及轴力图例题２－1一等直杆及其受力情况如图ａ所示。试作杆的轴力图。解：为了下面运算的方便，首先求出支反力Ｒ(图b)。由整个杆的平衡方程(ΣX=0):有:－Ｒ－Ｐ1＋Ｐ2－Ｐ3＋Ｐ4＝0得:R=10kN在求ＡＢ段内任一横截面上的轴力时，应用截面法研究截开后左段杆的平衡。假定轴力Ｎ1为拉力(图c)，由平衡方程求得ＡＢ段内任一横截面上的轴力为:N1=R=10kN结果为正值，故与原先假定的N1方向一致(即为拉力)。2021/8/2817课件 §2-2内力·截面法·轴力及轴力图例题２－1(续1)同理。可求得BC段内任一横截面上的轴力(图ｄ)为:NⅡ=R+P1=50kN在求ＣＤ段内的轴力时，将杆截开后宜研究其右段的平衡，因为右段杆比左段杆上包含的外力较少，并假定轴力NⅢ为拉力(图c)。由ΣX=0，即:-NⅢ-P3＋P4=0(设正法)得:NⅢ=-P3+P4=-5kN结果为负值，说明原先假定的NⅢ的指向不对，应为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力ＮⅣ为:ＮⅣ=Ｐ4=20ｋＮ(拉力）2021/8/2818课件 例题２－1(续2)按前述作轴力图的规则，作出杆的轴力图如图f所示。Ｎmax发生在BC段内的任一横截面上，其值为５0kN。§2-2内力·截面法·轴力及轴力图2021/8/2819课件 2021/8/2820课件 §２－３横截面(crosssection)及斜截面(obliquesection)上的应力(stress)Ⅰ．应力的概念:平均应力总应力正应力s为p的法向分量;剪应力t为p的切向分量。应力具有如下特征：（ｌ）应力是在受力物体的某一截面上某一点处定义的，因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。（２）在某一截面上一点处的应力是矢量。通常规定离开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负，即拉应力为正，压应力为负;而对截面内部(靠近截面)的一点产生顺钟向力矩的剪应力为正，反之为负。（３）应力的量纲为ＭＬ-1Ｔ-2。应力的单位为帕，其符号为Pa①。（４）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，即为该截面上的内力。2021/8/2821课件 §２－３横截面及斜截面上的应力Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，且通过横截面的形心，而截面上各点处应力与微面积dA之乘积的合成即为该截面上的内力。显然，截面上各点处的剪应力不可能合成为一个垂直于截面的轴力。因而，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力。但是，由于还不知道正应力在截面上的变化规律，所以无法求出它。为此，可考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA之乘积的合成即为内力这一静力学关系，得到以内力表示的应力计算公式。2021/8/2822课件 §２－３横截面及斜截面上的应力Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力平面假设:假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。对拉杆来说，平面假设的特点是杆变形后两横截面沿杆轴线作相对平移，所以，其间的所有纵向线段的伸长都相同，也就是说，拉杆在其任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆的分布内力集度又与杆的变形程度有关，因而，从上述均匀变形的推理可知，拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分布的。于是，横截面上各点处的正应力s都相等。然后，按静力学求合力的概念，得:即得拉杆横截面上正应力s的计算公式:式中，Ｎ为轴力，Ａ为杆的横截面面积。2021/8/2823课件 §２－３横截面及斜截面上的应力的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力１．端部施加荷载方式的影响图3.5示出了三种静力等效的不同加载方式。图3.5(a)表示整个端面均匀加载，它满足横截面上应力均布的条件,上式对全杆各横截面均适用。而后两种(图3.5(b)和(c))加载方式则不然,它们在离加载点较远处正应力才在横截面上均匀分布，在加载点附近应力分布很复杂。这就是圣维南原理．该原理指出：静力等效的力作用杆端方式不同，只会使杆端距离不大于杆横向尺寸的范围的应力分布受到影响。因此，对图3.5(b),(c)的加载情形，在杆端阴影线范围内公式不适用，其余部分仍适用。2021/8/2824课件 §２－３横截面及斜截面上的应力的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力２．应力集中的影响实际构件，由于工作需要，常常具有孔洞、台肩、沟槽和螺纹等构造，导致杆件在接近孔槽边缘的局部区域内截面尺寸发生急剧变化并产生应力集中。例如，有孔板条(图3.6(a))受到轴向拉伸时，1－1截面的应力分布是不均匀的，在孔壁附近各点的应力大于该截面的平均应力(图3.6(b))。具有应力集中的截面的最大应力smax与该处横截面上平均应力sm的比值，称为理论应力集中系数a，即式中sm表示削弱了的横截面上的平均应力。a＞1，其值通过理论计算或实验确定，可由有关手册中查出。研究表明，截面尺寸改变越急剧，即变化梯度越大，a值越大。因此，工程构件应尽可能避免带尖角的槽或切口，尽量做到平缓变化，以减小应力集中的影响。应力集中具有局部性，在离开孔稍远处，例如２－２截面(图3.6(c))，应力便均匀分布了。2021/8/2825课件 §２－３横截面及斜截面上的应力的适用条件Ⅱ．拉（压）杆横截面上的应力３．带锥度杆的拉伸或压缩图3.7(a)带锥度拉杆，设截面为等厚变宽的矩形，锥角为2a。取出图示阴影线所示单元体，如图3.7(b)。斜边为自由边，设其面积为dA。根据单元体的平衡条件：t’dAcosa＝sxdAsinasydAcosa＝tdAsina引入剪应力互等定理t＝t’，求得(3.6)由式(3.6)可见,横截面上存在剪应力,平面假设不再成立，式不再适用。对小锥度杆,可略去横截面上剪应力的影响，仍可用式(3.1)计算横截面上的正应力。但横截面面积随x而改变:(当2a＝10o时，求得t＝0.87sｘ，sy=0.0076sｘ）2021/8/2826课件 §２－３横截面及斜截面上的应力Ⅱ．拉（压）杆斜截面上的应力2021/8/2827课件 §２－３横截面及斜截面上的应力Ⅱ．拉（压）杆斜截面上的应力结论:（１）在a=0O的截面(横截面)上，正应力最大，剪应力为零。（２）在a=90O的截面(纵截面)上，正应力和剪应力均为零。（３）在a=±45O的斜截面上,剪应力取极值。（４）拉(压)杆互为垂直的两个面上剪应力大小相等，转向相反。2021/8/2828课件 §２－３横截面及斜截面上的应力2021/8/2829课件 §２－３横截面及斜截面上的应力作业:2-2(d),2-4,2-5,2-72021/8/2830课件