刘鸿文版材料力学课件6-7章

弯曲变形第六章目录 第六章弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6提高弯曲刚度的一些措施§6-5简单超静定梁目录目录 §6-1工程中的弯曲变形问题7-1目录 目录§6-1工程中的弯曲变形问题 目录§6-1工程中的弯曲变形问题 §6-2挠曲线的微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正7-2目录 2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响§6-2挠曲线的微分方程目录 由数学知识可知：略去高阶小量，得所以§6-2挠曲线的微分方程目录 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§6-2挠曲线的微分方程目录 §6-3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录 积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§6-3用积分法求弯曲变形目录 例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§6-3用积分法求弯曲变形目录 4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF§6-3用积分法求弯曲变形目录 例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录 3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录 4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件§6-3用积分法求弯曲变形目录 5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：§6-3用积分法求弯曲变形目录 6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§6-3用积分法求弯曲变形目录 讨论积分法求变形有什么优缺点？§6-3用积分法求弯曲变形目录 §6-4用叠加法求弯曲变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录 故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§6-4用叠加法求弯曲变形目录 例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解§6-4用叠加法求弯曲变形目录 3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和§6-4用叠加法求弯曲变形目录yC1yC2yC3 例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解§6-4用叠加法求弯曲变形目录 3）将结果叠加2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。§6-4用叠加法求弯曲变形目录 讨论叠加法求变形有什么优缺点？§6-4用叠加法求弯曲变形目录 §6-5简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录 解例6求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统目录3）进行变形比较，列出变形协调条件§6-5简单超静定梁 4）由物理关系，列出补充方程所以5）由整体平衡条件求其他约束反力目录§6-5简单超静定梁 例7梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理关系解目录§6-5简单超静定梁 FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得补充方程：确定A端约束力目录§6-5简单超静定梁 FBF´BMAFAMCFCyB1yB2确定C端约束力目录§6-5简单超静定梁 MAFAMCFCA、C端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图目录§6-5简单超静定梁 1）选择合理的截面形状目录§6-6提高弯曲刚度的一些措施 2）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式目录§6-6提高弯曲刚度的一些措施 2）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型目录§6-6提高弯曲刚度的一些措施 3）采用超静定结构目录§6-6提高弯曲刚度的一些措施 目录§6-6提高弯曲刚度的一些措施 小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题目录 第七章应力和应变分析强度理论 7-1应力状态的概念7-3二向应力状态分析-解析法7-4二向应力状态分析-n图解法7-5三向应力状态7-8广义胡克定律7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析强度理论 低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁问题的提出7—1应力状态的概念目录 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录 横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。7—1应力状态的概念横力弯曲 直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。7—1应力状态的概念直杆拉伸{ FlaS7—1应力状态的概念目录S平面zMzT4321yx13 yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元体。7—1应力状态的概念目录 7—1应力状态的概念目录（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态 Fl/2l/2S平面7—1应力状态的概念S平面543211232t 1.斜截面上的应力dAαnt7-3二向应力状态分析-解析法目录xy 列平衡方程dAαnt目录7-3二向应力状态分析-解析法 利用三角函数公式并注意到化简得目录7-3二向应力状态分析-解析法 2.正负号规则正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx目录7-3二向应力状态分析-解析法xy 确定正应力极值设α＝α0时，上式值为零，即3.正应力极值和方向即α＝α0时，切应力为零目录7-3二向应力状态分析-解析法 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2σ3目录7-3二向应力状态分析-解析法 试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知目录7-3二向应力状态分析-解析法 解：（1）斜面上的应力目录7-3二向应力状态分析-解析法 （2）主应力、主平面目录7-3二向应力状态分析-解析法 主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：目录7-3二向应力状态分析-解析法 （3）主应力单元体：目录7-3二向应力状态分析-解析法 7-3二向应力状态分析-解析法此现象称为纯剪切纯剪切应力状态或 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆7-4二向应力状态分析-图解法目录 RC1.应力圆：目录7-4二向应力状态分析-图解法 2.应力圆的画法D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRADxy目录7-4二向应力状态分析-图解法 点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3、几种对应关系D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHnH目录7-4二向应力状态分析-图解法 定义三个主应力都不为零的应力状态7-5三向应力状态目录 由三向应力圆可以看出：结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。21307-5三向应力状态目录 1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律7-8广义胡克定律目录 2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法7-8广义胡克定律目录=++ 7-8广义胡克定律目录 3、广义胡克定律的一般形式7-8广义胡克定律目录 （拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件7-11四种常用强度理论目录 满足是否强度就没有问题了？目录7-11四种常用强度理论 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-11四种常用强度理论 构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录7-11四种常用强度理论 1.最大拉应力理论（第一强度理论）－构件危险点的最大拉应力－极限拉应力，由单拉实验测得目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。 断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转目录7-11四种常用强度理论 2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得目录7-11四种常用强度理论 实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件即目录7-11四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力－极限切应力，由单向拉伸实验测得目录7-11四种常用强度理论 屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转目录7-11四种常用强度理论 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4.形状改变比能理论（第四强度理论）－构件危险点的形状改变比能－形状改变比能的极限值，由单拉实验测得目录7-11四种常用强度理论 屈服条件强度条件形状改变比能理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。目录7-11四种常用强度理论 强度理论的统一表达式：相当应力目录7-11四种常用强度理论 7-11四种常用强度理论例题已知：和。试写出最大切应力准则和形状改变比能准则的表达式。解：首先确定主应力{