【理论力学课件@北师大】1-5.pdf

§1-5质点运动的自然坐标描述利用质点运动轨道本身的几何特性(如切线、法线方向等)来描述质点的运动.这种方法称为自然坐标法.一、弧长方程在轨道上取一点作原点O,规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向,质点位置可由原点O到质点间的一段弧长s来确定,s称为弧坐标.s=s(t)上式称为弧长方程.弧长方程和轨道方程一起与质点的运动学方程等价.弧坐标s为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.二、相关的微分几何知识轨道上无限接近的两个点所决定的直线称为切线.定义切向单位矢量et沿切线,其指向与弧长正方向一致.沿et的方向称为切向.轨道上无限接近的3个点确定的平面,即无限接近的两条切线所确定的平面,称为密切面.密切面取向的改变反映了曲线的挠曲情况. 轨道曲线上无限接近的3个点所决定的圆称为曲率圆,曲率圆在密切面内.曲率圆的圆心称为曲率中心,曲率圆的半径r称为曲率半径,曲率半径的倒数k=1r称为曲率.设弧长PP¢=ds,显然k=1r=djds,曲率k越大则曲线弯曲程度越大.当轨道为平面曲线y=y(x)时,可利用数学分析中的公式221dydxk==r[]2321+(dydx)求曲率k及曲率半径r.过轨道上一点,与切线垂直的线称为法线.法线有无限多条,它们组成的平面称为法平面.密切面内的法线称为主法线,定义主法向单位矢量en沿主法线指向曲率中心.沿en的方向称主法向,en指向轨道凹侧.垂直于密切面的法线称为副法线.定义副法向单位矢量eb沿副法线,指向et´en的方向.e=e´ebtn沿eb的方向为副法向.单位矢量et,en,eb两两互相垂直,并成右手螺旋关系. 三、速度和加速度表达式把质点的速度和加速度沿质点所在处的单位矢量et,en,eb“就地”正交分解,进而导出质点的速度和加速度表达式.速度沿切线指向运动的前方,所以vn=vb=0.考虑到s>0时v与et同向,故v=ve=settt===速度的大小vvvts.由加速度的定义dvddeta==(se)=se+sttdtdtdt当j的正向与弧长s正向一致时,ds=rdj,故j=sr=vr.所以tde1×djst=e=je=ennndtdtr2sa=se+e因此tnra=v=stt称为切向加速度,是由于速度v=ve的大小改变而产生的.2r2rttan=v=s称为法向加速度,是由于速度的方向改变而产生的.由于an恒正,故a一定指向轨道凹侧,与§1-1中结论一致.abº0说明对任何空间曲线运动,加速 度a必在密切面内,这是加速度和密切面定义导致的必然结果.注意原点O的选定和弧长正方向的规定!在自然坐标描述中,需要已知质点运动的轨道,而对轨道的数学描述又需要一个坐标系,所以必须掌握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间的联系.建立这个联系的基本依据是:速度v和加速度a在不同的描述方法中有不同的表达形式,但它们的大小和方向是惟一确定的.例题1半径为R的铁圈上套一小环P,直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度w转动.求小环P的运动方程、轨道方程、速度和加速度.解曾用如图所示建立极坐标系求解.此例题也可用自然坐标法求解:以O1为原点，规定弧长正方向如图所示.轨道已知，弧长方程为s=2R(wt+q)0速度和加速度为v=se=2Rwett22a=se+(sr)e=4Rwetnn比其它方法简单!自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述.请读者验证:(1)不同方法中v,a表达式不同,但它们对描述P 点运动是等价的;(2)不同方法中v,a的大小和方向是惟一确定的.例题3已知质点的运动学方程为x=Rcoswty=Rsinwthz=wt2p（R,w,h为常量）试分析质点的运动，求切向加速度、法向加速度及轨道的曲率半径。解质点轨道为半径是R的圆柱上面的螺旋线，螺距为h，如图所示v=xi+yj+zkhw=-Rwsinwti+Rwcoswtj+k(1)2pa=xi+yj+zk22=-Rwcoswti-Rwsinwtj(2)由(1)式可知质点运动速率 222222v=x+y+z=wR+(h4p)=常量所以切向加速度at=vt=0，因此法向加速度an=a，2222由(2)式可求出an=a=x+y+z=Rw.则22[222]2vwR+(h4p)hr===R+aRw24p2Rn读者通过本例题应领悟自然坐标描述与直角坐标描述之间的关系,并掌握求轨道曲率半径的运动学方法.下面我们继续分析该质点的运动,以期望使读者对空间曲线的几何特征有一个具体的了解.以O1为自然坐标法原点,并规定弧长正方向如图所示.速度v沿et方向,由(1)式可知v与z轴交角为arccos(vzv)=常量.由(2)式可知2a=-w(xi+yj),故a平行于Oxy平面且指向z轴.由于at=0,所以a沿en方向,如图所示.v=xi+yj+zkhw=-Rwsinwti+Rwcoswtj+k(1)2pa=xi+yj+zk22=-Rwcoswti-Rwsinwtj(2)由et与en决定的平面(即v与a决定的平面)为密 切面.在主法线PA上取PB=r.则B为曲率中心.若以B为圆心,r为半径在密切面内作圆,即为曲率圆,曲率圆与P点附近的轨道曲线密合.由et和en可确定副法向单位矢量eb=et´en.et或en方向的变化反映曲线的弯曲情况,eb方向的变化反映曲线的挠曲情况.