【理论力学课件@北师大】7-3虚功原理.pdf

§7-3虚功原理（微分形式的变分原理）一、虚功原理受有理想约束[、定常约束]的力学系统,保持[静]平衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零.n∑Fi⋅δri=0i=1在直角坐标系中,上式写成n∑(Fixδxi+Fiyδyi+Fizδzi)=0i=1 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）必要条件的证明：当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时,F+F=0i=1,2,...,niRi(F+F)⋅δr=0i=1,2,...niRiinn∑Fi⋅δri+∑FRi⋅δri=0i=1i=1对理想约束00n∴∑Fi⋅δri=0i=1 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）充分条件的证明：n若系统的主动力虚功之和为零,∑Fi⋅δri=0ni=1n对于受有理想约束的系统∑Fi⋅δri+∑FRi⋅δri=0i=1i=1力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式nn∑Fi⋅dri+∑FRi⋅dri=0i=1i=1nn根据质点系的动能定理dT=∑Fi⋅dri+∑FRi⋅dri=0i=1i=1T=常量说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）几点说明：(1)普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件.例如单摆θδrθ≠0时,mg⋅δr≠0δrmgθ=0时,mg⋅δr=0mg∴θ=0的位置为单摆的平衡位置(3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力和约束力上. §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）如图所示提升重物的装置,以把手端点的弧坐标s为广义坐标,设重物距地面高度为h,根据虚功原理Fδs−Wδh=0F=Wδhδs如果知道h和s的函数关系,通过上式,就可求出F(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由虚功原理求出约束力,但是,通过释放约束或用不定乘子法,可以求出约束力 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）二、广义平衡方程n据虚功原理,有∑Fi⋅δri=0i=1n或,∑(Fixδxi+Fiyδyi+Fizδzi)=0i=1为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式.s∑Qαδqα=0α=1展开后写成Qδq+Qδq+⋅⋅⋅+Qδq=01122ss在完整系中,若δq≠0δq相互独立1α∴δq,...,δq=0∴Qδq=0∴Q=02s111 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）同理,若δq≠0δq相互独立1α∴δq,δq,...,δq=0∴Qδq=0∴Q=013s222推出,Qα=0α=1,2,⋅⋅⋅,s广义平衡方程虚功原理又可叙述为:对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统,保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零.∂V对于主动力均为有势力的有势系,有Qα=−∂qα∂V所以,广义平衡方程成为=0α=1,2,⋅⋅⋅,s∂qαs∂V代入虚功原理中,有∑δqα=0即,δV=0α=1∂qα §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）三、虚功原理的应用例题3如图所示,匀质杆OA,质量为m1,长为l1,能在竖直平面内绕固定的光滑铰链O转动,此杆的A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆AB相连.在B端有一水平作用力F.求处于静平衡时,两杆与铅垂线的夹角ϕ1和ϕ2.1、判断约束类型Ox是否完整约束?是否理想约束?ϕl12、判断自由度1A、B两点的位置，4个变量Al2OA=l,AB=lϕ212BFs=4−2=2q1=ϕ1,q2=ϕ2y §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）质量为m的小环P被限制在一个ω半径为R的光滑大圆环上,大圆θP环绕过大环中心的铅垂轴以ωR的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度.质点在球坐标系中用r,θ,ϕ描述r=ROxC(x,y)ϕ=ωt+ϕ非定常约束1110ϕ1∴s=1C(x,y)222mgA13、分析受力(主动力)ϕ2BFm1g,m2g,Fym2g §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）4、由虚功原理m1g⋅δr1+m2g⋅δr2+F⋅δr3=05、建立坐标系(必须是静止坐标系)mgδy+mgδy+Fδx=0x11223x6、转化成广义坐标l1y1=cosϕ12l2y=lcosϕ+cosϕ2112y2x=lsinϕ+lsinϕ31122l1δy=−sinϕδϕ1112l2δy=−lsinϕδϕ−sinϕδϕ2111222δx=lcosϕδϕ+lcosϕδϕ3111222 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）1Fcosϕ1−m1gsinϕ1−m2gsinϕ1l1δϕ12广义力1+Fcosϕ2−m2gsinϕ2l2δϕ2=02广义力由于δϕ和δϕ互相独立121Fcosϕ−mgsinϕ−mgsinϕ=0111221Fcosϕ−mgsinϕ=02222广义平衡方程 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程:2Ftanϕ=1()2m2+m1g2Ftanϕ=2mg2所以2Fϕ=arctan1()2m2+m1g2Fϕ=arctan2mg2 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）[法二]先求出广义力,再写出平衡方程s=2,所以有2个广义力3∂riQα=∑Fi⋅α=1,2i=1∂qα其中,F=mg,F=mg,F=Fq1=ϕ1,q2=ϕ211223∂r1∂r2∂r3l1Q1=m1g⋅+m2g⋅+F⋅y1=cosϕ1∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ12∂y∂y∂x123l2=m1g+m2g+Fy2=l1cosϕ1+cosϕ2∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ121x3=l1sinϕ1+l2sinϕ2=−m1gl1sinϕ1−m2gl1sinϕ1+Fl1cosϕ12=0 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）∂r∂r∂rl123y1cosϕQ=mg⋅+mg⋅+F⋅=21211∂ϕ∂ϕ∂ϕ2222l2∂y∂y∂xy2=l1cosϕ1+cosϕ2=mg1+mg2+F3212∂ϕ∂ϕ∂ϕ222x=lsinϕ+lsinϕ311221=−m2gl2sinϕ2+Fl2cosϕ22=0虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置；(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系. §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；S(4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成∑Qαδqα=0α=1的形式,进而得出广义平衡方程Qα=0,α=1,2,,s.对有势系,求出系统的势能V后，可通过∂V/∂qα=0α=1,2,,s得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程. §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）四、利用虚功原理求约束力1、利用释放约束的方法求约束力例题4试求例题3中O处的约束力.s=4q=x,q=y,q=ϕ,q=ϕ123142主动力为mg,mg,F,F12N代入虚功原理,得Fδx+Fδy+mgδyNxNy11+mgδy+Fδx=0223FNx=−F可解出约束力:()F=−m+mgNy12 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法)先设系统由1个质点组成,受1个完整约束f(x,y,z)=0用3个直角坐标作为描述系统位置的变量.于是当系统平衡时,应满足虚功原理Fδx+Fδy+Fδz=0xyz但式中δx,δy,δz不是相互独立的,它们满足由约束方程得出的∂f∂f∂fδx+δy+δz=0∂x∂y∂z乘待定常数(不定乘子)λ，与前式相加,得∂f∂f∂f(F+λ)δx+(F+λ)δy+(F+λ)δz=0xyz∂x∂y∂z §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）∂f∂f∂f(F+λ)δx+(F+λ)δy+(F+λ)δz=0xyz∂x∂y∂zδx,δy,δz依然不独立.假定δx不独立,则δy,δz独立.∂f适当选取λ值使δx的系数为0,即Fz+λ=0∂z∂f主动力F已知,与约束方程f(x,y,z)=0F+λ=0x∂x联立求解,可求出平衡位置(x,y,z)和待∂fFy+λ=0定常数λ,λ称为不定乘子,又称拉格朗则,∂y日乘子.这种方法称为不定乘子法.∂fF+λ=0z∂z不定乘子λ是一个与约束力有关的量.f(x,y,z)=0 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）将约束都释放,并将约束力视为主动力,虚功原理成为(F+F)δx+(F+F)δy+(F+F)δz=0xRxyRyzRzF+F=0xRxδx,δy,δz相互独立.即Fy+FRy=0F+F=0zRz∂f∂fF=λ∂f可知F=λF=λRzRxRy∂z∂x∂y设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约束力为∂f∂f∂fF=Fi+Fj+Fk=λi+λj+λkRRxRyRz∂x∂y∂z即FR=λ∇f说明约束力沿曲面的法线方向，λ是约束力F与∇f的比例系数.R §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）一般性讨论设一力学系统由n个质点组成,受到k个完整约束的限制f(x,y,z)=0µ=1,2,,kµiii则3n个坐标中有k个是不独立的.系统平衡时,应满足虚功原理n∑(Fixδxi+Fiyδyi+Fizδzi)=0i=1式中的3n个δx,δy,δz不是相互独立的,iii它们满足k个由完整约束给出的方程:n∂f∂f∂fµµµ∑δxi+δyi+δzi=0µ=1,2,,ki=1∂xi∂yi∂zi §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）nk∂fk∂fk∂fµµµ∑Fix+∑λµδxi+Fiy+∑λµδyi+Fiz+∑λµδzi=0i=1µ=1∂xiµ=1∂yiµ=1∂zi000i=1,2,,n.与k个约束方程联立求解,k个λµ与平衡位置坐标便可同时求出.λµ称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.将k个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力,虚功原理成为n∑(Fix+FRix)δxi+(Fiy+FRiy)δyi+(Fiz+FRiz)δzi=0i=1 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）3n个坐标变分变成完全独立的了,所以F+F=0ixRixF+F=0i=1,2,,niyRiyF+F=0izRizkk∂f∂fµµF=∑λF+∑λ=0Rixµixµ∂xµ=1∂xiµ=1ik∂fk∂fµµ与Fiy+∑λµ=0比较FRiy=∑λµi=1,2,,nµ=1∂yiµ=1∂yik∂fk∂fµµFiz+∑λµ=0FRiz=∑λµµ=1∂ziµ=1∂zi不定乘子λµ与约束力有密切关系. §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）例题5一质量为m的质点P被限制在光滑球面上运动.已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力.[解]系统:质点建立原点在球心上的直角坐标系Oxyz,质点的约束方程为2222f(x,y,z)=x+y+z−a=0s=2,但解题时仍以质点的3个坐标x,y,z作为确定质点位置的变量.它们的变分不独立,满足以下关系:2xδx+2yδy+2zδz=0质点所受的主动力是重力mg根据虚功原理,mg⋅δr=0即−mgδz=0 §7-3虚功原理（微分形式的变分原理）−mgδz=02xδx+2yδy+2zδz=0(−mg+2λz)δz+2λxδx+2λyδy=0不定乘子的待定性可使δx,δy,δz相互独立(系数均为0),于是,−mg+2λz=02λx=0λ≠02λy=0可得到质点平衡位置的两组坐标:(0,0,a)(0,0,−a)mg还可得出,λ=2zmgmg∴F=2λxi+2λyj+2λzk=xi+yj+mgkRzz以x=0,y=0,z=±a代入,得FR=mgk 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