【理论力学课件@北师大】8-3.pdf

§8-3一般形式的拉格朗日方程通过一般完整系的哈密顿原理,st1æöçδT+Qδq÷dt=0òtåaa0èa=1ø推导出一般形式的拉格朗日方程.由于动能T是qa和qa和t的函数,所以ss¶T¶TδT=ååδqa+δqaaa==11¶qa¶qadδq=δq又由于adta,上式可写成ss¶T¶TdδT=ååδqa+δqaaa==11¶qa¶qadt则ssst1æ¶T¶Tdöçδq+δq+Qδq÷dt=0òtçååaaåaa÷0aa==11¶q¶qdta=1èaaø并对等式左边的第二部分进行分部积分,ssst1¶Tdt1dæ¶Töt1dæ¶Töδqdt=çδq÷dt-ç÷δqdtòtåaòtåça÷òtåç÷a0=1¶qdt0=1dt¶q0=1dt¶qaaaèaøaèaø注意到哈密顿原理要求δqat0=δqat1=0a=1,2,×××,s等式右边第一项为t1sst1dæ¶Tö¶Tòåççδqa÷÷dt=åδqa=0t0=1dt¶qa=1¶qaèaøat0 于是t1sé¶Tdæ¶Töùòåê-çç÷÷+Qaúδqadt=0t0a=1¶qdt¶qëaèaøû完整系δqa是相互独立的,所以d¶T¶T-=Qdt¶q¶qaa=1,2,×××,saa这就是完整系的一般形式的拉格朗日方程.可以认为有势系的拉格朗日方程是一般形式拉格朗日方程的特殊情况.如果主动力都是有势力,则¶VQ=-aa=1,2,×××,s¶qa又知势能V不含广义速度qa,所以¶T¶(T-V)¶L==¶q¶q¶qaaa可得到有势系的拉格朗日方程：d¶L¶L-=0a=1,2,,sdt¶q¶qaa例题5试用拉格朗日方程建立用球坐标表示的质点的运动微分方程.解广义坐标为球坐标（r,q,j）的自由质点的动能为1222222T=m(r+rq+rsinqj)2 设质点受主动力F作用,其虚功为δW=F×δr=(Fe+Fe+Fe)×(δre+rδqe+rsinqδje)rrqqjjrqj=Fδr+Frδq+Frsinqδjrqj故Q=FrrQ=FrqqQ=Frsinqjj将动能广义力代入拉格朗日方程:ìd¶T¶T-=Qïrdt¶r¶rïïd¶T¶Tí-=Qqïdt¶q¶qïd¶T¶T-=Qïjîdt¶j¶j经运算,得到质点的运动微分方程:ì222m(r-rq-rjsinq)=Frï2ím(rq+2rq-rjsinqcosq)=Fqïm(rjsinq+2rjsinq+2rqjcosq)=Fîj等式左边的括号分别是加速度在球坐标系中的3个分量ar、aq和aj.例题6在一光滑桌面上放一直角尖劈,质量为m1,倾角为a,有一水平常力F作用其上,如图所示.斜面上有一匀质圆柱体从尖劈的高处向 下做无滑滚动,圆柱的质量为m2,半径为R,受到不变的阻力矩M的作用.求由尖劈和圆柱体组成的系统的运动微分方程.解建立固定直角坐标系Oxyz,圆柱体转角j的正方向如图所示.系统的自由度为2,选x和s为系统的广义坐标.系统动能表述为121212T=mx+mv+Ij12cc222222v=(x+scosa)+(ssina)c无滑滚动条件j=s/R,于是1232T=(m+m)x+mxscosa+ms122224主动力有重力m1g、m2g,水平力F和阻力矩M.当仅因x发生变更而保持s不变时,(δW)=FδxxQ=Fx当只有s发生变更而x不变时,(δW)=mgsinaδs-Mδj=(mgsina-M/R)δss22Q=mgsina-M/Rs2代入拉格朗日方程.经运算,得到系统的运动微分方程： ì(m1+m2)x+m2scosa=Fïí3Mmxcosa+ms=mgsina-ï222î2R由牛顿定律mr=F+FiiiRi移项得-mr+F+F=0iiiRi-称miri为“惯性力”或达朗贝尔（达朗伯）惯性力,形式上的平衡方程.——达朗贝尔原理静动法点乘δri，求和nå(-miri+Fi+FRi)×δri=0i=1理想约束下nå(-miri+Fi)×δri=0i=1称为达朗贝尔——拉格朗日方程.又称为动力学普遍方程.两个恒等式:¶r¶rii=1.¶q¶qaad¶r¶drii=2.dt¶q¶qdtaa 由动力学普遍方程nå(-miri+Fi)×δri=0i=1代入s¶riδri=åδqaa=1¶qansæ¶r¶röååçF×i-mr×i÷δq=0çiii÷ai==11aè¶qa¶qaø广义力n¶riQa=åFi×i=1¶qasnæ¶röååçQ-mr×i÷δq=0çaii÷aa==11èi¶qaø因δqa独立n¶råmr×i=Qii¶qai=1an¶rdr¶råmr×i=åm×iiiii=1¶qadt¶qadæ¶röd¶r=åmçr×i÷-åmr×iidtç¶q÷iidt¶qèaøaæöd¶r¶r=åmçr×i÷-åmr×iidtç¶q÷ii¶qèaøa æ2ö2d1¶r1¶r=åmçi÷-åmiidtç2¶q÷i2¶qèaøad¶T¶T=-=Qadt¶q¶qaa一般形式的拉格朗日方程