【理论力学课件@北师大】6-3.pdf

§6-3质点系的动量定理和动量守恒定律一、质点系的动量质点系的总动量p定义为质点系内每个质点动量之和,nnnp=åpi=åmivi=åmirii=1i=1i=1二、质点系的动量定理质点系的动量定理表述为:在惯性系中,质点系总动量的时间变化率等于质点系所受外力的矢量和,与内力无关,即np=F(e)=åF(e)ii=1(e)(i)证明pi=Fi+Fii=1,2,,nnnnåp=p=åF(e)+åF(i)iiii=1i=1i=1n(i)因åFi=0,故i=1(e)p=F三、质点系的动量守恒定律作为质点系动量定理的推论,质点系的动量守恒定律表述为: 若在某一过程中,质点系所受外力矢量和恒(e)(e)为零,即F=åFiº0,则在该过程中质点系的总动量守恒,p=åpi=常矢量.四、质点系沿固定方向的动量定理和动量守恒定律设el为表示固定方向的单位矢量,用el点乘(e)p=F,则得到n(e)(e)pl=Fl=åFili=1若在某一过程中,质点系所受的外力沿el方向(e)(e)的分量和恒为零,即Fl=åFilº0,则在该过程中质点系总动量沿el方向的分量守恒,npl=åpil=常量i=1五、质心运动定理质心运动定理是质点系动量定理的另一种等价表述.建立质心运动定律的基本思想是把质点系“假想质点化”.np=åmr=F(e)iii=1令质点系总质量mt=åmi,则 d2åmrii(e)m=Ft2dtmtåmirir=令cmt定义位于rc矢端的几何点为质心,称rc为质心的===为质心位置矢量、vcrc为质心速度、acvcrc加速度,则mr=mv=ma=F(e)tctctc为质心运动定理.1.rc是质点的位置矢量ri以其质量mi为权重的平均值,rc直角坐标分量为åmixiåmiyiåmizix=,y=,z=cccmmmttt对质量连续分布的物体,上式中的求和应改为积分.2.质心相对质点系的位置与各质点质量及分布情况有关,与参考系及参考点的选取无关.(1)两质点的质心在两质点的连线上,到两质点的距离与质点质量成反比.(2)两质点系的质心即为分别位于两个质点系质心、质量分别为两质点系总质量的两个假想质点的质心. (3)质量均匀分布的物体,其质心与几何中心重合.(4)若重力加速度g为常矢量,则质心与重心重合.3.质点系总动量的另一等价表述.åmiviv=cmtp=mvtc4.质点系动量守恒定律的另一种等价的表述形式:若在某一过程中,质点系所受外力的矢量(e)(e)和恒等于零,即F=åFiº0则在该过程中质点系质心速度等于常矢量,即vc=c.5.质心和质心运动定理在从整体上研究质点系的运动中起着重要作用.六、质心系我们定义原点位于质心,随质心平动的坐标系Cx¢y¢z¢为质心系,一般情况下质心系是非惯性系.显然在质心系中质心速度恒为零,vc¢º0,所以在质心系中,质点系的总动量恒为零,p¢=mtvc¢º0. 例题2质量为m的滑块1,放在质量为m0、倾角为a的直角尖劈2上,尖劈放在光滑水平面上,初始时滑块与尖劈均静止,在重力作用下,滑块相对尖劈以匀加速度a沿斜面下滑,求尖劈的加速度和桌面对尖劈的支撑力.解以由滑块和尖劈构成的质点系为研究对象,建立与水平面固连的坐标系Oxyz如图.系统受外力W1=mg,W2=m0g和支撑力FN如图.因沿Ox方向不受外力,故质点沿x轴方向动量守恒,即mx+mx=0(因初始静止)102对上式求时间数可得mx+mx=0102由于x1-x2=-acosa,则m(x-acosa)+mx=0202mx=acosa2m+m0由y轴方向的动量定理d(my+my)=F-(m+m)g102N0dt及y2=常量和y1-y2=-asina,即可求出F=(m+m)g-masinaN0用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中出现,因而使求解得以简化.七、变质量质点的运动 只研究平动,采用变质量质点模型.质点质量的变化不是由于相对论效应引起的,而是由于它与外界有质量交换所造成的.只讨论质点质量连续变化,且质量的时间变化率有限的情况.1.变质量质点的运动微分方程.设t时刻,中心质点(即我们要研究的质点)质量为m,速度为v,有质量为dm的小质点以速度u加入到中心质点上来.该过程在dt时间内完成,在t+dt时刻中心质点质量变为m+dm,速度为v+dv.以中心质点和小质点构成质量不变的质点系进行研究.根据质点系的动量定理,有(e)(m+dm)(v+dv)-mv-udm=Fdt略去高阶小量dmdv,则(e)mdv+vdm-udm=Fdt着眼于中心质点,视m为时间t的函数m=m(t),dmdt为中心质点的质量变率,则得到ddm(e)(mv)-u=Fdtdt即为变质量质点的运动微分方程.注意:(1)导出过程简单巧妙.(e)(2)F为中心质点与小质点所受外力矢量和. (3)小质点质量dm已被理解为中心质点质量的增量,则dm可正可负.令vr=u-v为小质点相对中心质点的速度,可以得到另一种表达形式dv(e)dmm=F+vrdtdt式中vrdmdt可视为由于质量改变而受到的“附加力”——“推力”.两个特例:d(e)若u=0，则(mv)=Fdtdv(e)若vr=0，则m=Fdt2.齐奥尔科夫斯基第一问题、第二问题，读书.例题3一球型雨滴在均匀重力场中下落时,由于不断吸收周围的水分而逐渐变大.设雨滴吸收水分的速率与该时刻的表面面积成正比,开始下落时雨滴半径近似为零.试求t时刻雨滴的加速度.忽略空气阻力.解因为周围水分是静止的,即u=0,故雨滴的运动微分方程为d(mv)=Fdt 所受外力为重力W=mg,以竖直向下为运动正方向,则运动微分方程可化为标量形式dvdmm+v=mgdtdt设雨滴半径为r,比例系数为a,由题意可知dm2=a4pr(1)dt3设r为雨滴密度,则m=4rpr/3,于是得到dv3av+=g(2)dtrr由于r是t的函数,先求出r的变化规律r=r(t),3为此把m=4rpr/3代入(1)式得到dra=dtr积分上式,并依初始条件t=0时r=0,则atr=r把此式代入(2)式,则得到dv3v+=gdtt此方程的解为-ò(3/t)dtò(3/t)dt-314v=e[ògedt+c]=t[gt+c]4即314vt=gt+c4由初始条件t=0时v=0,定出积分常数c=0,故gv=t4 所以dvg=dt4结果表明,雨滴将以g4的加速度匀加速地下落.若考虑空气阻力,又当如何?