【理论力学课件@北师大】5-2.pdf

§5-2非惯性系内质点的动力学方程在动力学问题中要严格区分惯性系与非惯性系.现在我们令S系为惯性系,S¢系为非惯性系.在惯性系S系中,牛顿第二定律成立ma=FF为一切相互作用力（包括主动力和约束力）的合力.利用S系与S¢系间的加速度变换公式,则ma=ma¢+ma+ma=Ftc把mat与mac移到等式右方,得到ma¢=F-ma-matcd2R=F-m-mw´r¢-mw´()w´r¢-2mw´v¢2dt此即为非惯性系S¢中的质点的动力学方程.为了把牛顿第二定律在形式上推广到非惯性系中去,我们把-mat和-mac视为力而引入惯性力的概念.令Ft=-mat,并称之为牵连惯性力;令F=-ma,并称之为科里奥利惯性力,简称科氏力.cc再令惯性力的合力FI=Ft+Fc,则ma¢=F+FI牛顿第二定律在S¢系中形式上得以成立.下面我们对惯性力作几点说明.1.惯性力是力的概念在非惯性系中的推广. 相互作用力:力是物体间的相互作用,力的动力学效果是使受力质点产生加速度.在非惯性系中,惯性力与相互作用力有相同的动力学效果(这是力的概念推广的基础);但惯性力不是物体间的相互作用,不遵从牛顿第三定律,不存在反作用力(这是惯性力与相互作用力的区别).2.惯性力仅存在于非惯性系之中.3.在非惯性系中惯性力真实地存在.在非惯性系中惯性力与相互作用力是平权的.在非惯性系中可以依据惯性力的动力学效果,通过实验而真实地测量到它的存在.所以惯性力不“虚构的”“假想的”力.4.惯性离心力.通常称牵连惯性力中-mw´(w´r¢)项为惯性离心力.应注意惯性离心力-mw´(w´r¢)仅在非惯性系中存在,与日常生活中说的“离心力”决不是一回事.例题3内壁光滑的水平细管以匀角速度w绕过其一端的竖直轴转动,管内有一质量为m的小球,如图所示.初始时小球与竖直轴的距离为a,且相对管静止.求小球沿管的运动规律及所受约束力.解视小球为质点,以小球为研究对象.以与地固连的Oxyz为S系,z轴沿竖直轴;以与管固连 的O¢x¢y¢z¢为S¢系,y¢轴沿管,z¢轴沿竖直轴,如图所示.以S¢系为参考系.小球受相互作用力:重力W=mg,管对小球的约束力FR=FRx¢+FRz¢,如图所示.2dR受惯性力:-m2=0,-mw´r¢=0,dt2-2w´¢=2w¢¢.-mw´(w´r¢)=mwy¢j¢,mvmyi故小球在非惯性系S¢中的动力学方程为ìmx¢=0=FRx¢+2mwy¢ï2ímy¢=mwy¢ïîmz¢=0=FRz¢-mg由第二式得2y¢-wy¢=0其通解为wt-wty¢=Ae+Be故wt-wty¢=Awe-Bwe由初条件t=0时y¢=a,y¢=0,可知A=B=a/2.则a(wt-wt)y¢=e+e=achwt2即为小球沿管运动规律.由第一、三两式得2FRx¢=-2mwy¢=-2mwashwtF=mgRz¢ 所以小球所受约束力为2FR=-2mwashwti¢+mgk¢例题4质量为m的小环,套在半径为a的光滑水平圆圈上,并可沿圆圈滑动.圆圈在水平面内以匀角速度w绕圈上O点转动.试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程.小环相对圆圈的位置可用图中q角表示.解法一以小环为研究对象,与地固连的Oxyz系为S系,与圆圈固连的O¢x¢y¢z¢为S¢系.以S¢系为参考系,小环在水平面内受力有圆圈施与的约束力FN=FNnen惯性力:22-mdR/dt=0(R=0)-mw´r¢=0(w=0)q2-mw´()w´r¢=2mawcose¢=Frt2-2mw´v¢=-2mwaqe=F(v¢=aqe)nct在S¢系中小环沿圆圈切向(et)的运动微分方程为2qqma¢=maq=-2mawcossint22即2q+wsinq=0 解法二以小环为研究对象,以与地固连的Oxyz系为S系,以圆圈中心O¢为原点建立平动O¢x¢y¢z¢系作为S¢系.以S¢系为参考系,小环在水平面内受力有:约束力FN=FNnen,2222惯性力-mdR/dt=-mawcosqe¢n-mawsinqet=Ft由于S¢系为平动非惯性系,所以惯性力中其他各项均为零.注意在S¢系中小环做圆周运动的速度为v¢=a(q+w)et,所以小环沿圆圈切向(e)的运动t微分方程为2ma¢=maq=-mawsinqt即2q+wsinq=0.读者应注意以下两点.(1)选用不同的S¢系,加速度变换公式的具体分解结果是不同的.相应在动力学问题中,选用不同的非惯性系,惯性力中各项的具体内容是不同的.(2)本例题中w是圆圈的角速度.