【理论力学课件@北师大】2-4.pdf

§2-4刚体的定点运动一、刚体的定点运动若在运动过程中,刚体上有一点始终固定不动,则刚体的运动称为定点运动.一般以定点为基点,可知自由度s=3.二、定理做定点运动的刚体位置的变化总可由刚体绕刚体上过定点的某轴线的一次转动而完成.证明用一等腰三角形DOAB代表刚体.设O为定点,初位置为DOAB,末位置为DOA¢B¢.以O为球心,以OA=OB为半径作球面,则A,A¢,B,B¢均在球面上.球面上在过球心平面内的圆弧为大圆弧.大圆弧AA¢和BB¢的垂直平分大圆弧相交于C点,则OC即为所求转动轴.球面三角形DCAB@DCA¢B¢,ÐACB=ÐA¢CB¢,ÐACA¢=ÐBCB¢.如果刚体绕OC转过ÐACA¢,则当A与A¢重合时B必与B¢重合.证毕.两点说明:(1)若圆弧AA¢和BB¢的垂直平分大圆弧不共面, 则它们必有两个交点C1和C2,而且C1，C2与O在同一直线上.(2)若圆弧AA¢和BB¢的垂直平分大圆弧共面,则它们重合.这种情况下大圆弧AB和A¢B¢的交点即为C点.三、瞬时转动轴(简称瞬时轴)角速度w我们将刚体的定点运动分解为一系列无限小的位置变化.每一瞬时刚体位置的无限小变化可由刚体绕某转动轴的无限小转动而完成.我们把对应每瞬时的无限小转动的转动轴称为瞬时转动轴,简称瞬时轴.所以定点运动刚体每一瞬时的运动都可以看成是绕瞬时轴的纯转动.瞬时轴永远过定点,但其方位可以随时间而变化.只要除定点外,找到刚体上另一个速度为零的点,该点与定点的连线即为瞬时轴.由于每一瞬时刚体都绕瞬时轴做纯转动,所以我们可以用和定轴转动中相似的方法定义角速度w,用来描述刚体的瞬时运动状态.定义无限小角位移矢量dj×e:其大小dj为刚体在时间dt内绕瞬时轴转过的角度,其方向沿瞬时轴且与无限小转动dj成右手螺旋关系.定义角速度矢量w=j×e =角速度w的大小wj,其方向沿瞬时轴与该瞬时刚体转动方向成右手螺旋关系.刚体做定点运动时,刚体的运动状态用w描述,运动状态的变化由w描述.角速度w沿瞬时轴,w的方向随瞬时轴方位变化而改变,w一般不沿瞬时轴.平面平行运动中的瞬心与定点运动中的瞬时轴,方法上可类出,概念上无关.四、定点运动刚体上任一点的速度和加速度r为刚体上任一点P对定点O点的位置矢量.当我们不涉及运动状态的变化时,定点运动每一瞬时均为绕瞬时轴的纯转动,定点运动有与定轴转动相同的结果,即v=r=w´r求其时间导数,[不再与定轴转动相同了!]并根据加速度的定义,a=v=w´r+w´r=w´r+w´(w´r)与定轴转动一节公式形式完全相同,但它们的意义及反映的物理图象不尽相同.在定轴转动中w及w均沿固定轴而共线,然而 在定点运动中,w方向沿瞬时轴而不断变化,w与w一般不共线.瞬时轴上除定点外各点速度为零而加速度不为零.刚体上任一点P在任一瞬时均绕该瞬时的瞬时轴做圆周运动,但在下一瞬时将绕下一时刻的瞬时轴做圆周运动,所以其轨道并非圆周.对于v=w´r,由于瞬时轴上各点速度均为零,所以其图象与定轴转动相同.加速度公式涉及运动的变化(v和w),所以它反映的物理图象就与定轴转动不尽相同了.2w´(w´r)=-(wR)e一项只R含w而与w无关,依然与定轴转动类似,垂直地指向瞬时轴,称为向轴加速度.w´r一项已完全失去切向加速度的含义,称为转动加速度.例题3半径为R的碾盘在水平面上做无滑滚动，长为l的水平轴OA绕竖直轴OB以匀角速度w转动.求碾盘最高点P的速度和加速度.[参考系与坐标系的相互关系!]解碾盘绕定点O做定点运动,建立与刚体半固连的坐标系Oxyz.x轴沿AO方向，y轴沿BO方向.[解题的全局观!] 设碾盘绕AO轴转动的角速度为w¢，则刚体的角速度w=w+w¢=w¢i+wjt因碾盘做无滑滚动，碾盘上Q点速度为零¾¾®v=w´OQ=(w¢i+wj)´(-li-Rj)Qt=(wl-w¢R)k=0所以lw¢=wRlw=wi+wjtR因此碾盘最高点P的速度¾¾®læövP=wt´OP=çwi+wj÷´()-li+Rj=2lwkèRø为求P点加速度先求wt,由于矢量wt的长度不变,且以w转动,所以ælöl2wt=w´wt=wj´çwi+wj÷=-wkèRøR于是，P点加速度¾¾®¾¾®aP=wt´OP+wt´(wt´OP)l2ælö=-wk´(-li+Rj)+çwi+wj÷´2lwkRèRø 22l2=3lwi-wjR本例题也可以利用瞬时轴求解.OQ为瞬时轴.因wt沿瞬时轴QO方向,w:w¢=R:l22w:w=R:l+Rt22w¢=lwR,w=l+RwRt刚体在该瞬时绕瞬时轴QO做纯转动,v=vkPPv=w×PD=w×2Rcosq=w¢×2R=2lwPtt因此vP=2lwk.¾¾®¾¾®向轴加速度wt´(wt´OP)沿PD方向垂直地指向瞬时轴OQ,¾¾®22w´(w´OP)=w×PD=w×2lw=2lwsinqtttt¾¾®222所以wt´(wt´OP)=2lwi-(2lwR)j. ¾¾®转动加速度wt´OP无法利用瞬时轴计算.