【理论力学课件@北师大】4-6.pdf

§4-6非线性受迫振动中一些重要现象一、出现驱动力频率的谐频和组合频率设非线性振动方程中包括一个与位移平方成正比的非线性项和两个外加的周期性强迫力,22x+wx+ex=Acoswt+Bcoswt012其中A,B,w1,w2都为常量,e是小的常量.这个方程能很好地描述人耳这个非线性系统对外界的响应,两个外界强迫力代表两种频率的声音.用微扰法进行求解,得出的解(求解过程和解的表达式从略)表明:在精确到一级的解中,振动频率不仅有w1和w2,而且有谐频2w1,2w2和组合频率w1+w2和w1-w2.如果进一步求二级解,还会有其他组合频率,但以这些附加频率振动的振幅则更小.所以人耳感受到声音比较丰富,尤其是w-w这一差频音是比较容易觉察的悦耳的低音.12自20世纪60年代出现激光器以来,非线性光学得到迅速发展.利用光的倍频(即谐频)和混频(即组合频率)技术,可以用现在技术上已比较成熟、输出功率又很高的激光器创造我们需要的各种频率的激光.二、在一定条件下会产生次谐频考虑如下方程23x+wx-ex=Bcoswt0 设试探解为wx=Ccoswt+Dcost3如果解中第二项存在,则说明解中出现了频率为驱动力频率的分数倍的振动,这种频率称为次谐频.出现次谐频是一个重要现象,如果过程的机制不同,能相继出现w2,w4,w8,等次谐频,相当于现周期的倍增长,这是通向混沌现象的重要道路之一.将试探解代入方程,展开并运用三角恒等式进行化简,由cos(w3)t的系数必须为零的条件可得2é2w322ùD(w-)-e(D+CD+2C)ú=0ê0ë94û因要求D¹0,所以上式中括号内必须为零,22w322w-=e(D+CD+2C)094其解为12C1é16222ùD=-±(9w-w)-7Cê0ú22ë27eû因D必须是实数,则要求16222(9w-w)³7C027e可见,驱动力的频率w只有满足如下条件才可能 出次谐频2221eCw£3w-当e>0时,0162221eCw³3w+或当e<0时,016说明次谐频现象是域值现象,而谐频和组合频率的产生无域值问题.三、振幅对频率的响应出现跳跃现象与线性强迫振动不同,振幅对频率的响应曲线发生了歪斜,如图所示,当驱动力频率自N点开始逐渐减少,则振幅a逐渐增加,当频率减少到D点时,振幅将从D点跳跃到A点.频率继续减少过程中振幅又逐渐减少,从A点沿曲线走向M点.再看频率渐增情况,自M点出发,随着频率的增大,振幅将沿曲线M-A-B连续增加.如频率再继续增加,则振幅将又有一个跳跃,从B点突然降到C点,然后再沿曲线从C点回到N点.这说明振幅在两处发生跳跃现象,其原因是振幅对频率的依赖关系不再是单值的,而研究表明:与AB和CD段对应的状态是稳定的,因而能在实际中实现,而BD段对应的状态是不稳定的,则在实际中不能实现. 四、锁模现象又称锁频、锁相、同步,是非线性振动中一个非常重要的现象.例如一个非线性振动系统由于自激振动达到稳定状态后,以频率w0振动,当外界的驱动频率为w的振动作用其上,且驱动频率w与w0相接近时,则会出现拍频w-w0,当驱动频率进一步接近到某一范围时,w0消失了,都变成了w,被同步化,拍频将随之消失,这种现象称为锁模现象或频率俘获现象.若差频收音机遇到这一现象,由于失去拍频,会无法接收.锁模现象还可能在以下情况发生:当一个频率为p的振动与另一个频率为q的振动合成时,若pq为无理数,则合振动为非周期振动,其轨线永不闭合(有时可称为准周期运动).但当pq接近某一有理数时,合成振动将一下变成周期运动,轨线成为一条闭合曲线.这一现象有助于我们理解在混沌现象中当参数改变时,混沌运动有可能转变为周期运动,再改变参数时,周期运动又转变为混沌运动.