《结构力学课件》word版.doc

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          ［注释］上图1为一栋高层建筑，如果我们除去它的装饰、围护墙、门窗、防水隔热设施、水电设施等部分，就剩下一个如图1b所示的钢筋混泥土的骨架。就是这个骨架，承受着包括自重、雨雪、风、地震以及建筑物内所有人员、设备造成的荷载，而对整个建筑物起到支撑作用。这个骨架就是我们所说的结构。由于它是用于房屋建筑的，所以它属于建筑结构，或称房屋结构。图1c即为结构简化的受荷图。其传递荷载的模式一般为板→梁→柱（或剪力墙）→基础→地基          桥梁结构图1-2武汉长江二桥          ［注释］武汉长江二桥位厂武汉长江大桥下游6.8公里处，全桥长4678米，其中正桥1877米，设六车道；双塔双索面预应力混凝土斜拉桥，主跨400米，桥梁宽29.4米。          隧道结构图1-3武汉长江隧道          ［注释］长江隧道工程自汉口黄石路越江至武昌三层楼附近。全长3609米，其中，越江沉管段1380米，江北岸坡隧道880米，江北引道段183米，江南岸坡隧道1010米，江南引道段156米。横断面总宽34.9米，总高9.2米，净高4.5米 。横断面为三孔一管廊，包括2个汽车孔道（双向四车道）、1个地铁孔道（为规划拟建的地铁二号线预留）和1个附属管廊。          地下结构图1-4地下结构水工结构图1-5a三峡大坝鸟瞰图图1-5b三峡大坝的闸门［注释］三峡工程枢纽主要建筑物由大坝、水电站、通航建筑物等三大部分组成长虹卧波的三峡大坝，为混凝土重力坝，坝轴线全长2309.47米，坝顶海拔高度185米。坝址区河谷开阔，两岸岸坡平缓，大坝建筑物基础为坚硬完整的花岗岩体。          其他 图1-6a板壳图1-6b塔架图1-6c刚架图1-6d桁架          结构分类：          按几何的角度分表1-1结构的分类分类名称特点实例杆件结构由杆件组成的结构，是结构力学的研究对象梁、拱、刚架、桁架板壳结构又称薄壁结构，几何特征是其厚度要比长度和宽度小得多房屋中的楼板和壳体屋盖实体结构长、宽、厚三个尺度大小相仿水工结构中的重力坝          其它分类：          • 按建筑材料分：          混凝土结构（素混凝土、钢筋混凝土和预应力混凝土）、钢结构、钢－混凝土组合结构（钢－混凝土梁板结构、钢骨混凝土结构和钢管混凝土结构）、砌体结构、木结构。           按结构层数分          单层、多层、高层（大于等于10层或高度超过30m）     #149; 按空间作用分          壳体结构、网架结构、悬索结构          课外作业：收集身边的结构（图片），并加以分析。1.1.2结构力学的研究内容和任务          结构力学与相关力学课程的关系          理论力学：研究物体机械运动的基本规律。          例如我们已经熟知的物体静力平衡条件等。          材料力学：研究杆件的强度、刚度和稳定性。          例如杆件受拉（压）、弯曲、扭转时的应力计算；材料强度条件；梁的变形计算；压杆稳定等          结构力学：以杆件结构为主要研究对象，根据力学原理研究在外力因素作用下结构的内力和变形，结构的强度、刚度、稳定性和动力反应，以及结构的几何组成规律。          （理解强度、刚度、稳定性、动力反应及结构的几何组成规律的概念）          引伸：          弹塑性力学（研究实体结构和板壳结构，研究生课程），振动力学、计算力学、水力学、断裂力学等。         研究任务          讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择；          讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算；          讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。          目标： 对实际结构的受力分析――结合钢筋混凝土、地基基础等课程，能够应用所学的知识解决实际问题。1.1.3学习方法         注重力学概念；        活学活用，理论联系实际；         多练，多想，提高计算能力；        培养自学能力。1.2结构的计算简图及简化要点结构的计算简图：在结构计算中，用以代替实际结构，并反映实际结构主要受力和变形特点的简化图形。1.2.1简化原则反映结构主要受力特点，便于计算。1.2.2简化要点（1）结构体系的简化空间结构→平面结构（前提条件：当空间结构在某一平面内的杆系结构承担该平面内的主要荷载时）                  图1-7空间结构简化（2)杆件的简化        用杆轴线代替杆件；        用杆轴线构成的几何轮廓代替原结构的几何尺寸。  a剖面图b剖面图 c 计算简图图                       1-8砌体结构中的单跨梁        引伸：        长度：构件的原始长度（l），计算长度（l0）及净长度（ln）；建筑中通常用跨度。      （3）杆件间连接的简化       结点：结构中杆件相互连接的部分。        图1-9刚结点实例（框架结构的梁柱连接）       ［注释］刚结点：相互连接的杆件在连接处不能相对移动和相对转动，即可传递力，又能传递力矩。（从力学的角度，力使物体移动；力矩使物体转动）。                       图1-10铰结点实例（榫头连接）       ［注释］铰结点：相互连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动，即可传递力，但不能传递力矩。       引伸：       （a）厂房中的杯口基础与预制柱的连接：细石混凝土现浇为刚性，采用柔性材料为铰接。                          图1-11杯口基础与预制柱的连接       （b）组合结点：节点F（其中D为铰节点，E为刚结点）       （4）支座的简化        支座：结构与基础的连接区；广义：支承结构或构件的各种装置。       （a）滚轴支座（活动铰支座）－－支杆       （b）固定铰支座（铰支座）――铰       （c）定向支座――滑动支座        （d）固定端支座――固端        引伸：        以上均为刚性支座。        弹性支座：荷载作用下结构本身产生弹性变形。有伸缩弹性支座和旋转弹性支座       （5）材料性质的简化        建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。        假设它们是连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。        注意：        木料为各向异性材料（横纹与顺纹不同）       （6）荷载的简化        体积力→面积力→分布力→集中力1.3杆件结构的分类结构的分类实际上是计算简图的分类。1.3.1 梁梁：其轴线通常为直线。有单跨和多跨。 图1-12a简支梁                    图1-12b连续梁 实例：砌体结构的梁；框架结构中的次梁。1.3.2拱拱：杆轴为曲线，在竖向力作用下产生水平反力的结构。     图1-13a三铰拱                                                 图1-13b无铰拱实例：拱桥1.3.3桁架桁架：由若干个直杆组成，所有结点都为铰结点。在结点荷载作用下各杆只受轴力。                          图1-14桁架实例：塔架；武汉长江大桥。1.3.4刚架刚架通常由直杆组成，其结点通常为刚结点。主要受力性能是受弯。                            图1-15刚架1.3.4组合结构组合结构：桁架和梁或刚架组合在一起的结构。桁架主要受轴力；梁或刚架主要受弯。  图1-16组合结构 1.4 荷载的分类  荷载：主动作用于结构的外力，如结构自重、水压力和土压力等。    （1）按作用时间的久暂        恒载：长期作用于结构上的不变荷载。        特征：大小、方向、作用位置是不变的。        实例：结构的自重、安装在结构上的设备重量等。        活载：建筑物在施工和使用期间可能存在的可变荷载        实例：吊车荷载、结构上的人群、风、雪等荷载。     （1）按荷载的作用范围        集中荷载：荷载的作用面积相对于总面积是微小的。        分布荷载：分布作用在一定面积或长度上的荷载，如风、雪、自重等荷载。    （2） 按荷载作用的性质        静力荷载：大小、方向和位置不随时间变化或变化极其缓慢，不使结构产生显著的加速度。        实例：结构自重、楼面活载等；        动力荷载：随时间迅速变化或在短暂时间内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度。        注意：               车辆荷载、风荷载和地震荷载通常在设计中简化为静力荷载，但在特殊情况下要按动力荷载考虑。   （3）按荷载位置的变化        固定荷载：作用位置固定不变的荷载。        实例：风、雪、结构自重等。        移动荷载：可以在结构上自由移动的荷载。        实例：吊车梁上的吊车荷载、公路桥梁上的汽车荷载就是移动荷载。        引伸：               国家规范：GB50009-2001建筑结构荷载规范－－学生课外读物。2.1基本概念      2.1.1体系的分类       前提：体系受到各种可能荷载作用，不考虑材料的应变。      （1）几何可变体系：        体系保证几何形状、位置不变      （2）几何可变体系：        体系不能保持几何形状、位置不变。        可分两种情况：（a）常变体系：可以发生大位移；（b）瞬变体系：经微小位移后成为几何不变。        图2-2a几何可变体系示意图―常变体系          图2-2b几何可变体系示意图―瞬变体系       ［注意］：          结构设计应采用几何不变体系，不能采用几何可变体系（常变体系和瞬变体系），也不应采用接近于瞬变体系的几何不变体系。2.1.2运动自由度        体系运动时,可以独立变化的几何参数的数目，也就是确定该体系位置时所需的独立参数数目。         ［注释］平面运动的特点：水平移动，竖向移动，转动         1动点=2自由度1刚片=3自由度                    图2-3a1动点                                       图2-3b1刚片2.1.3约束     （1）概念：限制体系的运动减少体系自由度的装置      支杆（约束）                      铰（约束）                        固定端（约束）       铰（内部）                                                  固定端（内部）     （2）种类：多余约束和必要约束        多余约束：不能减少体系自由度的约束。        必要约束（必要约束）：能减少体系自由度的约束。       图2-5a必要约束                                       图2-5b多余约束       ［注释］图2-5b中：杆（刚片）1~3中有一个是多余约束。［注意］：          多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。2.1.4铰        实铰：两链杆直接相交的铰；        瞬铰或虚铰：两链杆延长线相交的铰；［特例］：两链杆平行，相交点在无穷远。        图2-6a实铰图                                      2-6b虚铰（延长线交于一点及交点在无穷远） ［注意］：        关于无穷远点和无穷远线的四点结论：（在几何构造分析中必须注意）       （1）每个方向有一个∞点（即该方向各平行线的交点）；       （2）不同方向上有不同的∞点；       （3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；       （4）各有限远点都不在∞线上。 2.2平面几何不变体系的组成规律      2.2.1一个点与一个刚片的联结方式——二元体法则        一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。        说明：以下把研究的对象简称“对象”，对象之间的联系简称“联系”。            图2-7a几何不变无多余约束                         图2-7b瞬变       分析：图2-7a：                对象：刚片（1）与点A；联系：链杆1和2；且A、B、C不共线。                特例：三个铰共线，则是瞬变体系。                 图2-7b：                对象：刚片（1）与点A；联系：链杆1和2；但A、B、C不共线。例：                             图2-8       分析：图2-8                  图a：刚片（1）与点A；联系：链杆1和2；且A、B、C不共线。――组成大刚片1                  图b：大刚片1与点B；   联系：链杆3和4；且A、C、D不共线。――组成大刚片2                  其他同理，见图2-8的图形描述。      ［引伸］           二元体：单铰相连且不在同一直线上的两根链杆。如图2-8a中的1、2杆；3、4杆；5、6杆；7、8杆；9、10杆；11、12杆；。          二元体的性质：在一个体系上增加或减少1个二元体，不影响原体系的几何组成。           图2-8中，图a）、b）、c）、d）、e）、f）的几何组成是相同的，从图a）～图f）为增加二元体；从图f）～图a）为减少二元体。2.2.2两个刚片之间的联结方式——两刚片法则     （1）两个刚片用一个铰和一根链杆相连结，且三个铰不在一直线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。               图2-9几何不变无多余约束        分析：图2-9                 对象：刚片（1）与（2）；联系：链杆1和铰A；且A、B、C不共线。       特例：三个铰共线，为瞬变体系。                                                 图2-10瞬变体系       分析：图2-10                 对象：刚片（1）与大地；联系：链杆1和铰A；且不共线――组成大刚片（2）。                 对象：大刚片（2）与刚片（3）；联系：链杆2和铰B；但共线。        （2）两刚片三链杆                 对象：刚片（1）与（2）；联系：链杆1、2和3。           （a）三链杆不共点，且不平行，几何不变体系（图2-11a）。图2-11       特例：三链杆平行等长：常变体系（图2-11b）；三链杆平行不等长：瞬变体系（图2-11c）；        （b）三链杆共点：常变体系（图2-12a）； 图2-12       特例：延长线交于一点：瞬变体系（图2-12b）；2.2.3三个刚片之间的联结方式——三刚片法则       三刚片用不共线的三铰两两相连组成体系几何不变且无多余约束。图2-13几何不变无多余约束       分析：图2-13a和b       对象：刚片（1）、（2）与（3）；       联系：刚片（1）和（2）铰A；刚片（1）和（3）铰B；刚片（2）和（3）铰C；且三铰不共线。       分析：图2-13c       对象：刚片（1）、（2）与（3）；       联系：刚片（1）和（2）铰A（虚铰，杆1、2延长线的交点）；刚片（1）和（3）铰B；刚片（2）和（3）铰C；且三铰不共线。        分析：图2-13d        对象：刚片（1）、（2）与（3）；        联系：刚片（1）和（2）铰A（虚铰，杆5、6延长线的交点）；刚片（1）和（3）铰B（虚铰，杆1、2延长线的交点）；刚片（2）和（3）铰C（虚铰，杆3、4延长线的交点）；且三铰不共线。 特例：若三铰共线，则为瞬变体系图2-14瞬变体系对象：刚片（1）、（2）与（3）；联系：刚片（1）和（2）铰A；刚片（1）和（3）铰B；刚片（2）和（3）铰C；但三铰共线。［注意］1.三铰为两两相交的铰；2.所有规则可以统一为三角形法则：由三个链杆组成的三角形为几何不变体系且无多余约束。2.3构造分析方法与例题2.3.1基本分析方法1.组装法规律：一点、两片、三片、三链杆；基本装配格式：固定一个结点；固定一个刚片；固定两个刚片；固定三个刚片；（1）从基础开始例1：图2-15分析：对象：刚片（1）与大地；联系：铰A和链杆1且三铰不共线；――组成大刚片1；对象：大刚片1与刚片（2）； 联系：铰B和链杆2且三铰不共线；――组成大刚片2；对象：大刚片2与刚片（3）；联系：铰C和链杆3且三铰不共线；――几何不变无多余约束（2）从内部例2：图2-16分析：对象：刚片（1）与（2）（三角形法则）；联系：铰A和链杆1且三铰不共线；－－组成大刚片1；对象：大刚片1与大地；联系：铰B和链杆2且三铰不共线；――几何不变无多余约束2.减二元体例3：图2-17分析：对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14；联系：二元体；去掉二元体，剩下大地――几何不变无多余约束 图2-18分析：对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6；联系：二元体；去掉二元体，剩下图2-16c――几何不变无多余约束3.约束等效代换    （1）曲（折）链杆等效为直链杆    （2）联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰图2-19分析：图2-19a等效图2-19b对象：大地与刚片（1）和（2）；联系：大地与刚片（1）：虚铰B；大地与刚片（2）：虚铰C；刚片（1）与刚片（2）：虚铰A；三铰不共线――几何不变无多余约束2.3.2复杂体系1.运用瞬铰并使对象拉开距离［注释］“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。 图2-20分析：对象：大地与刚片（1）和（2）；刚片（2）为三角形。联系：大地与刚片（1）：虚铰A（链杆1、2）；大地与刚片（2）：虚铰C（链杆5、6）；刚片（1）与（2）   虚 铰B（链杆3、4）；三铰不共线――几何不变无多余约束图2-21分析：对象：刚片（1）、（2）和（3）；刚片（1）、（2）为三角形。联系：刚片（1）与（2）：虚铰A（链杆1、2）；刚片（1）与（3）：虚铰B（链杆3、4）；刚片（2）与（3）：虚铰C（链杆5、6）；三铰不共线――几何不变无多余约束2.三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变,反之几何可变。 图2-22分析：图2-22a对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰A；刚片（1）与（3）：虚铰B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰C（无穷远）；两瞬铰在不同方向――几何不变无多余约束分析：图2-22b对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰A；刚片（1）与（3）：虚铰B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰C（无穷远）；两瞬铰在同一方向――几何可变图2-23分析：对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰A；刚片（1）与（3）：虚铰B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰C（无穷远）；两瞬铰在不同方向――组成大刚片1对象：大刚片1与大地；联系：铰D和链杆5且三铰不共线；――几何不变无多余约束3.三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处，则体系几何可变。［注释］无穷远处所有点均在一无穷远直线上 图2-23分析：图2-24a对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰A（无穷远）；刚片（1）与（3）：虚铰B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰C（无穷远）；链杆3～6在同一平行线间――常变体系分析：图2-24b对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰A（无穷远）；刚片（1）与（3）：虚铰C（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰B（无穷远）；――瞬变体系2.4平面杆件体系的自由度计算2.4.1平面杆件体系自由度（1）实际自由度S（即前面讲的“运动自由度”）：体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。                                 S=（各部件自由度总和a）－（必要约束数总和c）（2-1）（2）计算自由度W                                W=（各部件自由度总和a）－（全部约束数总和d）（2-2）由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。多余约束数n：等于实际自由度与计算自由度之差，即：                                           n=S－W（2-3） 图2-25分析：       自由度S=a－c=2－2=0；计算自由度W=a－d=2－4=－2［讨论］：       W>0则S>0几何可变       W=0则S=n若n=0几何不变       W=0则S=n若n>0几何可变       W<0则n>0体系有多余约束,但不一定几何不变。结论：       W≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。        各部件自由度总和a=2（1个自由点）；约束总数d=4；其中：非多余约束c=2；2.4.2约束的计算（1）刚片内部多余约束。        n=0                                n=1                                     n=2                                n=3图2-8刚片内部多余约束［注释］自由端n=0；一根链杆n=1；一个铰n=2；一个刚结n=3；（2）单约束和复约束            a．铰结点  图2-9a单铰                      图2-9b复铰 1单铰=2个约束复铰=（n－1）单铰＝2（n－1）个约束       b．刚结点           图2-11a单链                                   图2-11b复链1单链杆=1个约束1复链杆=（2×n-3）单链=（2×n-3）个约束杆2.4.3平面体系的计算自由度W的求法（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。         刚片数m；         约束数：单铰数h，简单刚结数g，单链杆数b。                               W=3m-2h-3g-b（2-4）（2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。         结点数j；         约束数：链杆（含支杆）数b。                              W=2j–b（2-5）（3）组合算法        约束对象：刚片数m，结点数j        约束条件：单铰数h，简单刚结数g，单链杆（含支杆）数b                              W=（3m+2j）-（3g+2h+b）(2-6)例：求如下图示刚片系的计算自由度。题1：图2-12解：    方法1                                             方法2                                        方法3方法1：（刚片法）        m=7，h=4，g=2，b=6        W=3×7-2×4-3×2-6=1方法2：（刚片法）        m=5，h=4，g=0，b=6        W=3×5-2×4-6=1方法3：（节点法）――最好        j=6，b=11       Ｗ=2ｊ-ｂ=2*6-11＝1题2：图2-13解：方法1                          方法2 方法1：（节点法）――最好        j=7，b=14       Ｗ=2ｊ-ｂ=2*7-14＝0方法2：（刚片法）       m=7，h=9，g=0，b=3       W=3×7-2×9-3=0题3：图2-14解：方法1：（刚片法）        m=1，h=0，g=3，b=4        W=3×1-3×3-4=-10方法2：（节点法）――最好        j=0，b=10       Ｗ=2ｊ-ｂ=0-10＝03.1梁的内力计算回顾3.1.1截面的内力分量及其正负号规定内力：指由于杆件受外力作用后，在其内部所引起的各部分之间的相互作用。力学中把构件对变形的抗力称为内力。在平面杆件的任意截面上，一般有三个内力分量：轴力FN、剪力FQ和弯矩M(图3-1)。轴力FN----截面上应力沿杆轴切线方向的合力。方向规定：以拉力为正。剪力FQ----截面上应力沿杆轴法线方向的合力。方向规定：剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正。 弯矩M----截面上应力对截面形心的合力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。［注意］：作内力图时，轴力图、剪力图要注明正负号。弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。（与材料力学中规定稍有不同）3.1.2内力的计算方法计算指定截面内力的基本方法是截面法。截面法求解内力的过程可归纳为以下三个步骤：1、截开――在需求内力的截面处，用假想的截面将其截开为两部分。2、代替――任取一部分作为隔离体，弃去另一部分，以内力代替弃去部分对隔离体的作用3、平衡――利用隔离体的平衡条件，求解该截面上的未知内力。例：利用截面法可得出以下结论：1、轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2、剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3、弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用 ［注意］：1、隔离体与其周围的约束要全部截断，而以相应的约束力代替。2、约束力要符合约束的性质。3、在受力图中只需画出隔离体本身所受到的力，不画出隔离体施加给周围的力。4、不要遗漏力。5、未知力一般假设为正号方向，数值为代数值。3.1.3荷载与内力之间的关系在荷载连续分部的直线杆段，取隔离体进行受力分析（图3-2），可得到以下结论：荷载与内力之间的增量关系 在集中荷载作用处，取微段为隔离体（图3-3），进行受力分析，可得到以下结论荷载与内力之间的积分关系对图3-3所示隔离体，进行受力分析，可得到如下结论：根据内力与荷载之间的关系，可归纳下面几条规律：        1、无分布荷载区段，弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线        2、有均布荷载区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一斜直线。        3、集中力作用处，剪力图有突变，突变值大小等于该集中力的数值。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。        4、集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变数值等于集中力偶的数值。 3.1.4分段叠加法作弯矩图3.1.4.1叠加原理       应用叠加原理可以使结构的计算简化，虽然对于实际结构而言，叠加原理是近似的，但只要满足以下条件，所得的结果是足够精确的。1、几何线性条件      当结构的变形与结构本身的尺寸相比极为微小时，称为小变形结构。在小变形结构计算中，变形所带来的荷载位置变化及杆件尺寸变化的影响可以忽略不计，因而，允许用变形前的尺寸来进行计算，这就满足了叠加的几何条件。2、物理线性条件      结构材料的受力与变形的物理关系为线性弹性关系，即服从虎克定律。则在物理上提供了线性叠加条件。满足以上条件的结构，才可以应用叠加原理：      在小变形和材料符合虎克定律的前提下，结构在几个荷载共同作用下产生的内力等于各个荷载单独作用产生的内力的代数合。      能够应用叠加原理的结构称之为线性结构。利用叠加原理做弯矩图,即先分别作出各个单独荷载作用时的弯矩图，然后将其相应的纵坐标叠加。（如图3-5演示过程）: 3.1.4.2分段叠加原理       上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。如图3-6演示过程。      1.选定外力不连续点作为控制截面（如集中荷载作用点、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点等），求出控制截面的弯矩值。      2.分段画弯矩图，当控制截面间无荷载作用时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当有荷载作用时，还需叠加这一段按简支梁求得的弯矩图。利用分段叠加法求弯矩可用如下公式：AB段中点的弯矩值:［注意］：　　在利用叠加原理作弯矩图时，弯矩图的叠加是指两个弯矩图纵坐标的叠加，而不是两个弯矩图图形简单的拼合。3.2多跨静定梁3.2.1静定多跨梁的受力特点      由若干根梁用中间铰联结在一起，并以若干支座与基础相联，或者搁置于其他构件上，而组成的静定梁，称为静定多跨梁。       从几何组成角度分析，图3-7中AB梁自身就能保持其几何不变，称之为基本部分；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中CD、BC梁段。      从受力分析来看，作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此,计算多跨静定梁内力时，应遵守以下原则：先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。3.2.2静定多跨梁的实例分析 画出图(3-8a)所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。解:（1）几何组成分析       判断结构关系，AE段为基本部分，EF相对AE来讲为附属部分，而EF相对FG来讲又是基本部分，而FG为附属部分。画出关系图（图3-8b）。（2）计算各单跨梁的支座反力      根据关系图，将梁拆成单跨梁（图3-8c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨梁的支反力。（3）作弯矩图和剪力图      根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图（图3-8d、e） 3.3静定平面刚架3.3.1刚架的特点和分类      刚架：是由若干根直杆（梁和柱）用刚结点（部分可为铰结点）所组成的结构。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。如图3-9a所示为一平面刚架      当B、C处为铰结点时为该结构为几何可变体（图3-9b），要使结构为几何不变体，则需增加斜杆AC（图3-9c）或把B、C变为刚结点。两种方法相比较，可以看出刚架中由于具有刚结点，因而，不用使用斜杆也可组成几何不变体系，使结构内部具有较大的使用空间，便于使用。刚架的特点:    1、杆件少，内部空间大，便于利用。    2、刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。    3、刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。    4、刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。根据结构组成特点，静定平面刚架可分为：    1、悬臂刚架：常用于火车站站台（图3-10a）、雨棚等。    2、简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图3-10b）；    3、三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图3-10c）。      刚架结构在土木工程中应用较广。但静定的刚架在工程中应用不多，多为超静定刚架，如房屋建筑结构中的框架结构。解算超静定刚架的内力是建立在静定刚架内力计算基础之上的，所以，必须熟练掌握静定刚架的内力计算方法。3.3.2刚架的支座反力      刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架以及复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。      以下以三铰刚架为例，来分析刚架支座反力的求法。      三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。      三铰刚架一般由两部分组成(如图3-11所示),整体共有四个约束反力(图3-11b)。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零的静力平衡方程，就可以全部求解。例1：如图3-11a所示三铰刚架，求解其支座反力。 1、利用两个整体平衡方程求FN、FQ2、利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA，取左半部分为例：3.利用整体的第三个平衡方程求FxB：3.3.3刚架内力图     刚架中的杆件多为梁式杆，杆件截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与梁相同。只需将刚架的每一根杆件看作是梁，逐杆采用截面法计算控制截面的内力。计算时应注意：      (1)内力正负号的相关规定。在刚架中，剪力与轴力都规定正负号（与梁的有关规定相同），但弯矩则不规定正负号，只规定弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一侧。剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但应注明正负。      (2)结点处有不同的杆端截面。内力符号表示要用两个下标如MAB、FQAB、FNAB，第一个下标表示内力所在截面位置，第二个下标表示截面所在杆的另一端。      (3)正确选取隔离体。      (4)结点处平衡。      由于刚架的内力的正负号规定与梁基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端3.3.4刚架内力图实例分析例2：作出图3-12a所示简支刚架的内力图。解:     （1）　求支座反力，取整体为隔离体（图3-12b）。方法一：    （2）　作弯矩图，逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律（参见第5页）和叠加法作弯矩图(图3-12c)。BE杆：,杆上无荷载，弯矩图为直线。AD杆：（内侧受拉），C点处作用有集中荷载30KN，该点处，弯矩图有尖角。（内侧受拉）。DE杆：杆上受均布荷载作用，利用叠加法作弯矩图。杆端弯矩连线叠加简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。利用截面法和支座反力直接计算各杆端剪力。      剪力图一般为直线图，求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC、CD、BE杆上无荷载，剪力为常数，C点处作用有集中荷载，剪力图有突变。DE杆上有均布荷载，剪力图为斜线(图3-8c)。（4）　作轴力图利用平衡条件，直接求各杆端轴力。 （5）　校核结点D各杆端截面的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件（图3-12f）：同理，结点E处也满足平衡条件（图3-12g）。［小结］：静定梁与静定刚架受力分析及内力图的绘制，作法归纳如下：    1、首先求解约束力和支座反力。    2、作内力图时，可利用内力图与荷载之间的关系来快速绘制内力图。求出杆端内力，根据相关性质，直接作图。    3、内力图的校核是必要的，通常选取结点或者结构的一步分，验算其是否满足平衡条件。3.4静定平面桁架3.4.1桁架的特点和组成3.4.1.1静定平面桁架     桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。      实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。　　通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。3.4.1.2桁架的受力特点     桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。3.4.1.3桁架的分类（1）　简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a）（2）　联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）（3）　复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图3-14c）3.4.2桁架内力计算的方法桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法     结点法――适用于计算简单桁架。     截面法――适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。    联合法――在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。      在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。常见的以上几种情况可使计算简化：1、不共线的两杆结点，当结点上无荷载作用时，两杆内力为零（图3-15a）。F1=F2=02、由三杆构成的结点，当有两杆共线且结点上无荷载作用时（图3-15b），则不共线的第三杆内力必为零，共线的两杆内力相等，符号相同。F1=F2        F3=03、由四根杆件构成的“K”型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3-15c），当结点上无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反。F3=-F44、由四根杆件构成的“X”型结点，各杆两两共线（图3-15d），当结点上无荷载作用时，则共线杆件的内力相等，且符号相同。F1=F2    F3=F4 5、对称桁架在对称荷载作用下，对称杆件的轴力是相等的，即大小相等，拉压相同；在反对称荷载作用下，对称杆件的轴力是反对称的，即大小相等，拉压相反。      计算桁架的内力宜从几何分析入手，以便选择适当的计算方法，灵活的选取隔离体和平衡方程。如有零杆，先将零杆判断出来，再计算其余杆件的内力。以减少运算工作量，简化计算。3.4.2.1结点法结点法：截取桁架的一个结点为隔离体计算桁架内力的方法。      结点上的荷载、支座反力和杆件轴力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系来求解内力的。从只有两个未知力的结点开始，按照二元体规则组成简单桁架的次序相反的顺序，逐个截取结点，可求出全部杆件轴力。结点单杆：如果同一结点的所有内力均为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则该杆称为结点的单杆。（图3-15a、b）结点单杆具有如下性质：（1）结点单杆的内力，可以由该结点的平衡条件直接求出。（2）当结点单杆上无荷载作用时，单杆的内力必为零。（3）如果依靠拆除单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架可以应用结点法将各杆的内力求出，计算顺序应按照拆除单杆的顺序。实例分析例1：求出图（3-16a）所示桁架所有杆件的轴力。 解:由于图示桁架可以按照依次拆除二元体的方法将整个桁架拆完，因此可应用结点法进行计算。（1）计算支座反力（图3-16b）：（2）计算各杆内力方法一：应用结点法，可从结点A开始，依次计算结点（A、B），1，（2、6），（3、4），5。结点A，隔离体如图3-16c:结点A，隔离体如图3-16c:（压力）（拉力） 结点B，隔离体如图3-16d:（压力）（拉力）同理依次计算1，（2、6），（3、4），5各结点，就可以求得全部杆件轴力，杆件内力可在桁架结构上直接注明（图3-16e）。方法二：　　1）、首先进行零杆的判断利用前面所总结的零杆判断方法，在计算桁架内力之前，首先进行零杆的判断。去掉桁架中的零杆，图示结构则变为：图3-16f。在结点5上，应用结点单杆的性质，内力可直接由平衡条件求出，而不需要求解支座反力。 （拉力）其它各杆件轴力即可直接求出。［注意］：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零，最终只求几根杆即可。在进行桁架内力计算时，可大大减少运算量。例2：求图示桁架中的各杆件的内力解：由几何组成分析可知，图示桁架为简单桁架。可采用结点法进行计算。图示结构为对称结构，承受对称荷载，则对称杆件的轴力相等。在计算时只需计算半边结构即可。（1）、求支座反力。根据对称性，支座A、B的竖向支反力为：　　（）（2）、求各杆件内力。由结点A开始，（在该结点上只有两个未知内力）隔离体如图3-17b所示。由平衡条件： 结点C：隔离体如图3-17c所示由平衡条件：结点D：隔离体如图3-17d所示由平衡条件：为避免求解联立方程，以杆件DA、DE所在直线为投影轴。　　结点E：隔离体如图3-17e所示，根据对称性可知EC与ED杆内力相同。由平衡条件：　　所有杆件内力已全部求出。轴力图见图3-17f 。3.4.2.1截面法     截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。       用结点法求解桁架内力时，是按照一定顺序逐个结点计算，这种方法前后计算互相影响。当桁架结点数目较多时，而问题又只要求求解桁架的某几根杆件的内力，则时用结点法就显得繁琐，可采用另一种方法――截面法     截面法适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，未知轴力也一般假设为拉力。      为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。截面单杆：与结点法相类似，如果某个截面所截得内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行――交于无穷远处），则此杆称为截面单杆，如图3-17。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。实例分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-19a）。1、求支座反力由对称性可得，（）.2、将桁架沿1-1截开，选取左半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图3-19b），列平衡方程： 解：即可解得：3.4.2.2联合法在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时截面单杆，使问题可解。如：例2题目中，如果只求解杆件EF的内力，这时则可先采用截面法（如图3-20），求解杆件DE的内力，再通过结点法—结点E的平衡求解EF的内力。此时，避免了采用结点法时，要依次求解各结点上杆件的内力；单独采用截面法，杆件EF不是截面单杆，内力无法直接求解。 3.5组合结构3.5.1　组合结构的特点组合结构是由只承受轴力的二力杆件（链杆）和承受弯、剪力、轴力的梁式杆件组成的结构。3.5.2　组合结构的内力计算方法计算方法：组合结构的计算方法仍然采用截面法。一般先求支座反力和各链杆的轴力，然后在计算梁式杆的内力。关键在于正确区分以下两类杆件：1、二力杆（链杆）：两端铰接且无横向荷载作用的直杆。2、 梁式杆：承受横向荷载的直杆，或虽无横向荷载，但杆端是刚结点的直杆。相应地，组合结构的结点也有两种类型：一种为仅连接二力杆的铰结点，这类结点仍可采用桁架结构的内力计算方法；另一种为连接二力杆与梁式杆的组合结点，在计算时需具体问题具体分析。由于梁式杆的截面上一般有三个内力，为了不使隔离体上的未知力过多，应尽可能避免截断梁式杆。例：作图示(图3-21)组合结构的内力图。图示组合结构为按三刚片法则组成的结构，杆件AC、BG为梁式杆，其它杆件均为链杆。注意到本题是对称结构承受对称荷载，则根据对称性即可判断铰C处反对称约束力为零，且对称杆件的内力相同。从连接处入手，采用截面法进行计算，作截面1-1。隔离体受力分析图见图3-21b。由平衡条件可得：由结点D的平衡条件可得(图3-21c)： 则问题已解，内力图见图3-21d、e、f。3.6三铰拱3.6.1概述分析图示三种结构在竖向荷载作用下，产生的水平支座反力的特点。 图3-22a为简支梁，在竖向荷载作用下，支座内没有产生水平支反力。图3-22b为简支曲梁，在竖向荷载作用下，支座内同样没有产生水平支反力。图3-22c为将简支曲梁的一个链杆支座改为斜向支撑，在竖向荷载作用下，支座内产生了水平支反力，又称为推力。这种在竖向荷载作用下，除了产生竖向支座反力外，还产生水平支座反力的曲杆结构称为拱。拱的形式有三铰拱、二铰拱和无铰拱，如图3-23A、B、C。如果在两铰之间设有水平拉杆，这样拉杆的拉力代替了支座推力的作用，在竖向荷载作用下，使支座只产生竖向反力，这种具有拉杆的拱称之为拉杆拱，如图3-22D)、E)。三铰拱为静定的，而二铰拱和无铰拱为超静定结构。       拱各部分的名称如图3-23所示，拱身各横截面形心的连线称为拱轴线。拱结构最高一点称之为拱顶，拱的两端与支座之间的联结处称为拱趾或拱脚。两个拱脚之间的水平距离称为跨度。拱顶到两拱脚连线的垂直距离称为拱高。拱高与跨度之比称为高跨比。3.6.2三铰拱的计算三铰拱的内力计算仍然采用截面法。为了说明拱的受力特性，将拱与梁加以比较，见图3-24a、b。1、支座反力三铰拱：取整个结构为隔离体，由平衡条件可得 取右半边为隔离体：由整体：简支梁：比较可得：三铰拱与简支梁的竖向支反力完全相同。注意到水平支反力式中的分子就是简支梁上截面C的弯矩，则水平支反力可写作：       由上式可知，在竖向荷载作用下，水平支反力的大小与拱轴形式即拱轴线形状无关，而只决定于A、B、C三铰的位置。若竖向荷载和拱脚位置给定不变，则随着拱高f的增大，水平推力减小。反之，拱高f变小，水平推力增大。若当f=0时，推力为无穷大，这时A、B、C三铰在一直线上，成为几何可变体系。 2、内力的计算公式在求得支座反力后，即可求解出拱轴上任一截面上的三种内力：弯矩、剪力、轴力。现以拱轴上任意截面为例(图3-25a)，导出其内力计算公式：　从图3-25a中取截取截面以左半部分为隔离体。截面上的内力分别以MK、QK、NK来表示，截面的位置可由其形心位置xk、yk和该处拱轴切线的倾角确定。（1）弯矩的计算公式由隔离体平衡条件可得：由于，故上式可改写为：即拱内任一截面上的弯矩等于相应简支梁上对应的截面上的弯矩减去推力所引起的弯矩Hyk。由此可见由于推力的存在，拱的弯矩比相应梁的弯矩要小。（2）剪力的计算公式将截面上所有的内力沿截面上投影，可得：（3）轴力的计算公式　　将截面上所有内力沿截面得法线方向进行投影求代数和，可得：综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下，任一截面上的弯矩、剪力荷轴力的计算公式如下： 3.6.3合理拱轴的概念     拱在竖向荷载作用下，各截面上一般产生三个内力，即弯矩、剪力、轴力。截面处于偏心受压状态，其正应力分布不均匀。但是通过合理选取一根适当的拱轴线，使得在给定的荷载作用下，拱上各截面的弯矩均为零，即只承受轴力。此时，各截面都处于均匀受压状态，因而材料的性能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸是最小的。从理论上来讲，设计成这样的拱是最经济的，故称这样的拱轴为合理拱轴。任一截面上的弯矩为：      利用截面上的弯矩为零的条件，可找出合理拱轴。由上式可知，在荷载和跨度给定的情况下，即可确定，而推力，当拱跨基拱高一经确定，也为给定值。所以要使弯矩等于零，只要调整拱轴上各点的纵标。写成一般式：　　合理拱轴的竖标与相应简支梁的弯矩成正比。当拱上所受荷载为已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以yk，即得三铰拱的合理拱轴的轴线方程。4.1应用虚力原理求刚体体系的位移4.1.1结构位移计算概述 （1）位移的概念结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。（2）种类线位移：截面的移动，有水平位移、竖向位移和相对线位移；角位移：截面的转动，有点的角位移，杆的角位移和相对角位移。（3）结构位移计算的目的结构设计必须经过刚度校核；结构施工阶段可能产生的位移以便采用相应的措施；结构位移计算是分析超静定结构，结构动力计算和稳定分析的基础。（4）产生位移的原因荷载作用；温度变化和材料胀缩；支座的沉降和制造误差。4.1.2内力的计算方法4.1.2虚功原理（1）实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功，恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。（2）广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力F。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：W=FΔ（a）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量；（b）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角α；（c）若广义力是等值、反向的一对力P，则说明：Δ是与广义力相应的广义位移，表示AB两点的相对位移。（d）若广义力是一对等值、反向的力偶m，则说明：Δ是与广义力相应的广义位移，表示AB两截面的相对转角。（3）虚设力系求刚体体系位移图4.1静定梁，支座A向上移动了一个已知距离ΔA，求C处的位移ΔC。4.1设虚力状态（图4.2） 求支座反力虚功方程（4）单位荷载法在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（2）建立虚功方程：（3）解方程：例4.1：图4.3三铰刚架，支座B向右移动了一个已知距离Δ，向下移动了一个已知距离2Δ。求：（1）C点的水平位移ΔC。（2）E点的竖向位移ΔE。（3）D点的转角θC。（4）AD两点的相对水平位移ΔAD。（5）CD两点的相对转角θCD。4.3 解：虚设状态（图4.4）（1）C点的水平位移ΔC。（图4.4a）支座反力：虚功方程：（2）E点的竖向位移ΔE。（图4.4b）支座反力：虚功方程： （3）D点的转角θC。（图4.4c）支座反力：虚功方程：（4）AD两点的相对水平位移ΔAD。（图4.4d）支座反力：虚功方程：（5）CD两点的相对转角θCD。（图4.4e）支座反力：虚功方程：4.2变形体的虚功原理4.2.1.变形体的虚功原理（1）变形体的虚功原理：      设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功Wi。简写成：外力功W=内力功Wi（2）变形体虚功原理的应用条件力系应当满足平衡条件——力系是平衡的；位移应当符合支承情况并保持结构的连续性——变形符合约束条件，且是微小连续的。虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。4.2.2.变形体虚功原理的表达式对于任意一个结构，虚功原理的一般形式为： 其中：等式左边分别为：集中荷载的虚功总和、支座反力的虚功总和、分布荷载的虚功总和；等式右边分别为：弯矩的虚功总和、轴力的虚功总和、剪力的虚功总和；用途：（1）求力系中的某未知力,虚设位移；（2）求给定变形状态中某未知位移,虚设力系；4.3结构位移计算的一般公式4.3.1.单位荷载法根据虚力原理的基本表达式：当结构上仅作用单位荷载P=1时：或）其中：是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力和内力，可以由静力平衡条件求出；位移则是实际结构中的位移。4.3.2.位移计算的一般步骤求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：(1)虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。(3)利用公式：或）计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。4.4荷载作用下的位移计算 4.4.1各种结构位移计算公式（1）一般公式或）材料力学中内力与应变的关系：其中：E和G分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A和I分别是杆件截面的面积和惯性矩。k是与截面形状有关的系数。荷载作用下弹性位移的一般公式：：虚设单位荷载P=1作用下的结构的内力；：实际荷载作用下的结构的内力内力正负号规定：      轴力以拉为正，剪力使微段产生顺时针转动者为正，弯矩只规定两者乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。  （2）各类结构的位移简化计算公式：  （a）梁和刚架梁和刚架以弯曲变形为主要，位移计算简化为：    （b）桁架桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积和轴力均为常数，位移计算简化为： （c）组合结构组合结构中，梁式杆件以弯曲为主，链杆杆件只受轴力，位移计算简化为：（d）拱当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和拉伸变形的影响，即4.4.2计算实例（1）位移计算的基本步骤：根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程；列实际荷载作用下的各杆段内力方程；将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可计算所求位移。（2）实例分析：例3：计算图4.5悬臂梁在B端的竖向位移，EI为常数。4.5解：（1）虚设状态（图4.6） 图4.62）列出两种状态的内力方程：BC段（0≤x≤0.5a）：AC段（0.5a≤x≤a）：（3）代入位移公式分段积分计算：BC段（0≤x≤0.5a）：内力均为零，故积分也为零。AC段（0.5a≤x≤a）：例4：计算图4.7桁架C点的竖向位移，EA为常数图4.7解：荷载作用下各杆的内力值见图4.8a；虚设单位力作用下各杆的内力值见图4.8b。图4.8 4.5图乘法4.5.1图乘法及应用条件（1）问题的提出梁和刚架位移的公式：积分计算复杂，在已知荷载和虚设单位力作用下的弯矩图下，能否找到更好的方法。（2）公式推导图4.9为某直杆段AB的两个弯矩图，其中Mi图为直线，抗弯刚度EI为常数：图4.9 在多个杆件情况下，式中：A是Mx图的面积；y0是在Mx图形心C对应处的Mi图标距（3）应用条件：杆件应是等截面直杆；两个图形中至少有一个是直线，标距y0应取自直线图形中。（4）正负号规定：面积A与标距y0在同一侧时，两者乘积取正号；反之取负号。4.5.2常见图形的面积和形心常见图形的形心和面积（图4.10）。 图4.10以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行 4.5.3应用图乘法时的几个具体问题(1)如果两个图形都是直线图形，标距可任取自其中一个图形（图4.11）。图4.11(2)如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）图4.12(3)如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.13 图4.13（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非标准曲线）。4.5.4图乘法应用举例例5：试计算图4.14悬臂梁B点和C点的竖向位移、B点的转角位移，EI为常数。图4.14解:（1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图     （B点和C点的竖向位移、B点的转角位移分别为图4.15a、b和c)。 图4.152）实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标,代入公式，图乘。B点竖向位移：C点竖向位移：B点转角位移：例5：试求出图4.16刚架结点B的水平位移和转角，EI为常数 图4.16解:（1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.17a、b、c）图4.17（2）代入公式，图乘。B点竖向位移： B点转角位移：4.6温度改变时的位移计算4.6.1温度变化结构的位移计算公式     图4.18刚架结构的微元，杆件的内侧温度升高t1，外侧温度升高t2，温度沿高度h是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。图4.18轴线处温度的升高为：轴向应变ε和曲率κ分别为 杆件结构中温度改变只生弯曲和轴向变形，由虚功原理得：当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，α为线膨胀系数4.6.2应用实例     图4.19刚架，施工时温度为200C，冬季外侧温度为-100C，外侧温度为00C，杆截面尺寸b×h=200mm×400mm，线膨胀系数为α=10-5。求A点的竖向位移。图4.19解：（1）虚设单位荷载并画轴力图和弯矩图(图4.20a和b)。图4.20（2）代入公式 4.7互等定理       互等定理只适用于线性变形体系：材料处于弹性阶段；结构变形很小，不影响力的作用。4.7.1功的互等定理   第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功:  虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态4.7.2位移互等定理第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移:位移有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态4.7.3.反力互等定理在任一线性变形体中,由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21,等于由位移C2所应起的与位移C1相应的反力影响系数r12。r12=r21反力有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态5.1超静定结构的组成和超静定次数5.1.1超静定结构的概念 静定结构：无多余约束的几何不变体系；结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。超静定结构：有多余约束的几何不变体系；结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定。5.1.2超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数n即为原结构的超静定次数。结构去掉多余约束的方式有以下几种：（1）去掉一根支座链杆、切断一根链杆、将刚性连接改为单铰，等于去掉一个约束（图5.1）。图5.1（2）去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束（图5.2）。图5.2（3）去掉一个固定端或切断一个梁式杆，等于去掉三个约束（图5.3）。图5.3 例1：超静定次数的确定（图5.4）。图5.45.2力法的基本概念5.2.1基本思路力法的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。（1）确定力法的基本量力法的基本体系：含有多余未知力的静定结构力法的基本结构：超静定结构中束去掉多余约得到的静定结构力法的基本未知量：多余未知力图5.5结构的力法的相关量的表示见图5.6，也可表示为图5.7。图5.5 图5.6图5.7（2）力法的基本方程    基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致。一般情况下，支座处的为为0。图5.6中：ΔCy=0；图5.6中：ΔBy=0以图5.6结构为例：叠加原理：，统一写成其中：Δ1是基本体系上多余未知力X1方向的位移（图5.8a）；Δ1P是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力X1方向的位移（图5.8b）；Δ11是基本结构在多余未知力X1单独作用下沿多余未知力X1方向的位移（图5.8c）。位移与多余未知力方向一致时为正。图5.8Δ11=δ11X1 δ11表示单位未知力X1=1的作用，使基本结构在多余未知力X1方向产生的位移力法典型方程：δ11X1+Δ1P=03）求解过程图5.6结构杆EI为常数。（a）做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩MP（图5.9a）和单位未知力X1=1的作用下的单位弯矩图M1（图5.9b）；（b）图乘法计算位移；（c）代入力法方程；（d）应用叠加公式得到结构的弯矩图M（图5.9c）。图5.9力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选择基本体系确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。（2）建立力法方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。（3）计算系数和自由项（4）求多余的未知力（5）作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。 5.2.2力法的基本方程二次超静定结构n次超静定位移互等定理：δij=δjiδij表示单位力Xj=1在基本结构沿Xi方向产生的位移，称柔度系数。ΔiP表示在基本结构实际荷载沿Xi方向产生的位移。5.3力法解超静定结构5.3.1超静定刚架例5：绘图5.10a超静定刚架的弯矩图。 图5.10解：（1）基本体系（图5.10b）（2）力法方程基本体系应满足B点无水平位移的变形条件。力法方程为δ11X1+Δ1P=0（3）计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1=1的作用的弯矩图（图5.10c、d），利用图乘法计算系数。（4）求多余的未知力（5）作弯矩图（图5.10e） 5.3.2超静定桁架桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。例5：计算图5.11a超静定桁架的各杆内力。图5.11解：（1）基本体系（图5.11b）（2）力法方程基本体系应满足原结构任一截面两侧没有相对位移的变形条件。力法方程为δ11X1+Δ1P=0（3）计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1=1的作用的各杆的轴力（图5.10c、d），利用图乘法计算系数。（4）求多余的未知力（5）作轴力图（图5.10e）5.3.2超静定组合结构 组合结构中既有链杆也有梁式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而梁式杆则只考虑弯矩的影响。例5：计算图5.11a超静定组合结构，EI＝9EA，且EI为常数。图5.12解：（1）选择基本体系切断多余链杆CD，在切口处用未知力X1代替（图5.12b）（2）建立力法方程δ11X1+Δ1P=0（3）计算系数和自由项分别画出荷载和单位未知力的内力图（图5.12c、d）（4）求多余的未知力（5）作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图(图5.12e）。 5.4对称结构的计算5.4.1对称的概念对称结构的特征：1.结构的几何形状、支承情况关于某条直线对称（此条直线称为对称轴）；2.杆件截面和材料性质关于对称轴对称。对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载重合（图5.13a）。反对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载作用点重合，方向相反（图5.13b）。图5.13对称结构的受力特点：在对称荷载作用下，只考虑对称未知力（M和N）；在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力（Q）。5.4.2对称的应用符合对称结构特点的可以将结构进行简化计算。对称荷载时，去掉反对称的约束；反对称荷载时，去掉对称的约束（图5.14）。 图5.14 5.5支座移动和温度改变时的计算5.5.1支座移动时的计算特征是：典型方程中的自由项不同，是由支座位移引起。 图5.14力法的基本方程：图5.14a：图5.14b：  图5.14c：    图5.14c：     5.5.2温度变化时的计算特征是：典型方程中的自由项不同，是由温度改变引起。6.1位移法的基本概念及等截面杆件的刚度方程 6.1.1位移法解题思路位移法的基本未知量：结点位移（线位移和位移）。位移法解题思路：拆了再合。即将结构拆成杆件，对每个杆件进行求解；再将每个杆件合成为结构，利用平衡条件求出位移。6.1.2基本未知量的选取基本假设：结构满足变形连续条件；对弯曲直杆，只考虑弯曲变形，忽略轴向和剪切变形。基本未知量：独立的结点角位移和结点线位移。结点角位移：刚节点（包括半铰联接的刚节点），一个刚结点有一个角位移。结点线位移：支承点以外的结点所发生的线位移。受弯直杆两端之间的距离在变形后不改变，即每一受弯直杆相当于一个约束。图6.1给出了某些结构位移法的基本未知量（结点角位移用附加刚臂表示，结点线位移用附加链杆表示）。图6.1 6.1.3等截面杆件的刚度方程（1）正负号的规定结点转角、杆转角、杆端弯矩和剪力一律以顺时针为正。（2）杆端弯矩和剪力的一般表达式（图6.2）图6.2其中：形常数（刚度系数）（3）杆端弯矩和剪力的特殊情况（图6.2）B端为固定支座(θB=0):B端为铰支座（MBA=0）： B端为滑动支座（θB=0、FQAB=0FQBA=0）：（4）等截面直杆的固端弯矩和剪力（a）两端固定（b）其他情况 （5）等截面直杆的转角-位移方程。6.2位移法解超静定梁和无侧移刚架 6.2.1超静定梁例1：用位移法计算图6.3a结构，并绘结构的弯矩图，EI常数。图6.3解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端弯矩（3）平衡方程求解，作弯矩图（图6.3b）       6.2.2超静定无侧移刚架无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。例2：用位移法计算图6.4a结构，并绘结构的弯矩图，EI常数。 图6.4a解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端弯矩（i=EI/4）（3）平衡方程求解，作弯矩图（图6.4b）           6.3位移法解有侧移刚架例3：用位移法计算图6.5结构的结点位移（基本未知量），EI常数。图6.5 （1）基本未知量：刚结点C的转角θC和横梁CD的水平线位移Δ。（2）求固端弯矩（i=EI/4）AC杆：CE杆：CD杆：BD杆：（3）平衡方程求解①②联立①②求解可得：7.1分配法的基本概念7.1.1转动刚度、分配系数和传递系数 （1）基本概念转动刚度S：杆件的近端发生单位转角时，在该端需要施加的力矩；分配系数μ：作用在结点上的外力矩分配到汇交于该节点各杆端的弯矩分配比率。它只与杆件的线刚度i和约束条件有关。传递系数C：近端的弯矩按一定的比例传到远端。（2）取值（表7.1）表7.1等截面直杆的转动刚度和传递系数近端远端转动刚度S传递系数C固定固定4i0.5铰支3i0滑动i-1自由端或轴向支杆00例7.1：计算图7.1结构的转动刚度、分配系数和传递系数，EI为常数。图7.1解：见表7.2。表7.2等截面直杆的转动刚度和传递系数杆件远端转动刚度S分配系数μ传递系数CAB自由端000AC固定4EI／(2a)4/90.5AD铰支3EI／(2a)1/3-1AE滑动EI／a2/90 7.1.2单节点的力矩分配过程（1）计算步骤（a）刚性节点加约束，计算杆端弯矩；（b）放松约束，将不平衡的弯矩分配；（c）弯矩传递，将同一位置的弯矩集合。（2）应用实例例7.2：用力矩分配法计算图7.2a结构。图7.2解：（1）基本量的计算（表7.3）表7.3力矩分配法基本量杆件固端弯矩（kN·m）转动刚度S分配系数μ传递系数μAB—00BA4EI／44/70.5BC3EI／41/70CB0—00（2）分配与传递过程（表7.4）表7.4分配与传递过程结点号ABC杆号ABBABCCB分配系数μ 4/73/7 固端弯矩（kN·m）-28/328/3-21/20 杆端弯矩（kN·m）1/3←2/31/2→0最后杆端弯矩（kN·m）910-100（3）弯矩图7.2b例7.3：用力矩分配法计算图7.3a结构。图7.3解：（1）基本量的计算（表7.5）表7.5力矩分配法基本量杆件固端弯矩（kN·m）转动刚度S分配系数μ传递系数μAB—00BA4EI／40.40.5BC03EI／40.30BD3EI／40.3 CB0—00DB0—00（2）分配与传递过程（表7.6）表7.6分配与传递过程结点号ABC、D 杆号ABBABCBDAC、DB分配系数μ 0.40.30.3 固端弯矩（kN·m）-40400150杆端弯矩（kN·m）-11←-22-16.5-16.5→0最后杆端弯矩（kN·m）-5128-16.5-1.50 7.2多结点的力矩分配7.2.1超静定多跨梁（1）计算步骤（以两个刚结点）（a）所有刚节点加约束，计算杆端弯矩；（b）放松其中的一个约束（设为A），另一个约束不动（设为B），将不平衡的弯矩分配传递；（c）放松其中的B约束，A不动，将不平衡的弯矩分配传递。（d）循环（b）和（c）两个步骤，直到精度满足要求。（2）应用实例例7.4：用力矩分配法计算图7.4a结构。 解：（1）基本量的计算（表7.7），受力图等效图7.4b。表7.7力矩分配法基本量杆件固端弯矩（kN·m）转动刚度S分配系数μ传递系数μAB—00BA404EI／60.40.5BC4EI／40.60.5CB204EI／40.50.5CD3×2EI／60.50DB50——— 图7.4（2）分配与传递过程（表7.8）表7.8分配与传递过程结点号ABCD杆号ABBABCCBCDDB分配系数μ 0.40.60.50.5 固端弯矩（kN·m）-4040-2020-3650杆端弯矩（kN·m）放松B-4←-8-12→-6  放松C  5.5←1111 放松B-1.1←-2.2-3.3→-1.65  放松C  0.42←0.830.83 放松B-0.09←-0.17-0.25→-0.13  放松C   0.060.06 最后杆端弯矩（kN·m）-45.129.6329.6324.11-24.1150（3）弯矩图7.4c7.2.2超静定刚架 （1）计算步骤（以两个刚结点）（a）所有刚节点加约束，计算杆端弯矩；（b）放松其中的一个约束（设为A），另一个约束不动（设为B），将不平衡的弯矩分配传递；（c）放松其中的B约束，A不动，将不平衡的弯矩分配传递。（d）循环（b）和（c）两个步骤，直到精度满足要求。（2）应用实例例7.5：用力矩分配法计算图7.5a结构的杆端弯矩。图7.5图7.5解：（1）基本量的计算（表7.7），受力图等效图7.4b。表7.7力矩分配法基本量杆件固端弯矩（kN·m）转动刚度S分配系数μ传递系数μBA03×2EI／40.330BE04EI／40.220.5BC4×2EI／40.440.5CB204×2EI／40.80.5CD2EI／40.2-1DC——— （2）分配与传递过程（表7.8）表7.8分配与传递过程结点号BCD杆号BABEBCCBCDDC分配系数μ0.330.220.440.80.2 固端弯矩（kN·m）  -2020-150-50杆端弯矩（kN·m）放松C  52←10426→-26放松B-10.7-7.1-14.2→-7.2  放松C  2.9←5.81.4→0.7放松B-1.0-0.6-1.3→-0.7  放松C  0.3←0.60.1→-0.1放松B-0.1-0.1-0.1   最后杆端弯矩（kN·m）-11.8-7.819.6122.5-122.575.4 7.3无剪力分配法7.3.1剪力分配法的基本概念（1）剪力分配法的思路：用剪力分配系数将结点外荷载按一定的比例分配给各杆端，先得到柱端剪力，再求柱端弯矩。（2）剪力分配法的条件：具有无限刚性横梁的刚架或排架在水平结点荷载作用下的计算。（3）抗剪刚度D：当杆端发生相对侧移Δ=1时，柱顶产生的剪力。两端固定的等截面柱：一端固定一端铰支的等截面柱：（4）抗剪分配系数γ： （5）柱顶剪力Qi：7.3.1剪力分配法的计算过程1）计算步骤（a）计算剪力分配系数；（b）计算分配剪力；（c）将分配剪力作用于反弯点，求杆端弯矩。（2）应用实例例7.6：用剪力分配法计算图7.6a结构图7.6解：计算过程见表7.9，弯矩图见图7.6b。表7.9剪力分配法计算过程杆件抗剪刚度D分配系数γ柱顶剪力Qi（kN）杆端弯矩（kN·m）①②0.55×4=20③④0.517.5×6/2=52.58.1移动载荷和影响线的概念 （1）移动荷载结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的。实例：桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载；厂房中的吊车梁承受的吊车荷载。（2）影响线的概念影响线：单位移动荷载作用下，结构上某一量值Z的变化规律的图形。8.2静力法作结构的影响线8.2.1简支梁支座反力的影响线例8.1：绘图8.1a简支梁支座反力的影响线。图8.11）建立坐标系（图8.1b）（2）应用平衡方程求支座反力（3）利用表达式绘影响线（8.1c）:支座反力向上为正。为x一次函数，两点定直线。8.2.2剪力影响线例8.2：绘图8.2a简支梁剪力的影响线。 图8.2（1）建立坐标系（图8.2b）（2）应用平衡方程求C点的剪力（3）利用表达式绘影响线（8.2c）:剪力以顺时针为正。分段的为x一次函数，两点定直线。AC段：BC段：特点：影响线由两段平行线组成，在截面C处产生突变8.2.3弯矩影响线例8.3：绘图8.3a简支梁弯矩的影响线。图8.3 （1）建立坐标系（图8.3b）（2）应用平衡方程求C点的弯矩（3）利用表达式绘影响线（8.3c）:弯矩以下部受拉为正，并绘在杆件的上方。分段的为x一次函数，两点定直线。AC段：BC段：特点：影响线由两段组成，形成一个三角形，在截面处形成一个极大值，C点左右两侧的弯矩相等。8.3机动法作结构的影响线8.3.1机动法作影响线的步骤从静力法的求解过程可知：影响线为直线，所求内力的点为直线的分段点，杆件满足变形协调条件。机动法作影响线的步骤：（1）确定单位荷载的作用点：一般取杆件的端点和求解的内力点，内力有变化时应区分左侧和右侧。（2）求单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值。（3）作直线：各段内力值对应点连成直线。8.3.2简支梁的影响线例8.4：绘图8.4a简支梁A和B支座反力、C点剪力和弯矩的影响线。 图8.4解：单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值求解见表8.1。（剪力和支座反力的单位：kN；弯矩的单位：kN.m）依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.4b～e。表8.1截面支座反力或内力值求解项目杆件号荷载作用点对应值A点的支座反力ABA1B0B点的支座反力ABA0B0C点的剪力ACA0C左-a/lCBC右b/lB0C点的弯矩ACA0Cab/lCBCab/lB08.3.3悬臂梁的影响线例8.5：绘图8.5a悬臂梁C点剪力和弯矩的影响线。 图8.5解：单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值求解见表8.2。（剪力和支座反力的单位：kN；弯矩的单位：kN.m）依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.5b～c。表8.2截面支座反力或内力值求解项目杆件号荷载作用点对应值C点的剪力ACA0C左0CBC右1B1C点的弯矩ACA0C0CBC0B-b8.3.4外伸梁的影响线例8.6：绘图8.6a外伸梁A和B支座反力、C点剪力和弯矩的影响线。 图8.6解：单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值求解见表8.3。（剪力和支座反力的单位：kN；弯矩的单位：kN.m）注意：AC为一根杆，确定作用点时可选杆上任意两点。依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.6b～c。表8.3截面支座反力或内力值求解项目杆件号荷载作用点对应值A点的支座反力ACA1B0B点的支座反力ACA0B1C点的剪力ACA0C左1/3CBC右2/3B0C点的弯矩ACA0C4/3CBC4/3B08.3.5静定多跨梁的影响线 例8.7：绘图8.7a静定多跨梁B支座反力、C和D点剪力、F点的弯矩影响线。图8.7解：单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值求解见表8.4。（剪力和支座反力的单位：kN；弯矩的单位：kN.m）注意：AC为一根杆，确定作用点时可选杆上任意两点。依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.7b～e。表8.4截面支座反力或内力值求解项目杆件号荷载作用点对应值B点的支座反力ADA0B1DED4/3E0C点的剪力ACA0 C左1/3CDC右2/3B0DED1/3E0D点的剪力ADA0D左0DED右1E0F点的弯矩ADA0D0DFD0F1FEF1E08.3.6结点荷载作用下梁的影响线例8.8：图8.8a为一桥梁结构承载示意图 （1）受力特点荷载直接作用在纵梁上，主梁承受结点荷载。（2）影响线的特点当结点D在横梁CE之间时，CE段可看成是简支梁的受力。绘其内力的影响线时可将C和E看成是移动荷载的作用点。将这两点的值连成直线即为CE部分的影响线。（3）绘D点的弯矩影响线单位荷载作用于作用点时，所求截面的支座反力或内力值求解见表8.5。依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.8b。单位荷载在C点，当单位荷载在E点，表8.5截面内力值求解项目杆件号荷载作用点对应值D点的弯矩ACA0C5/8aCEC5/8aE3/4aEBE3/4aB08.3.7静力法作桁架的影响线例8.9：图8.9a为一桁架结构，（1）上弦杆bc的轴力影响线取Ⅰ-Ⅰ截面，当P=1作用在D点时，左边隔离体内力值求解见表8.6。依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.9b。表8.6截面内力值求解项目荷载作用点对应值上弦杆NbcA0D-4a/（3h）B0下弦杆NDEA0D4a/（3h）B0斜杆bD轴力的竖向分力A0C-1/6D2/3B0    （2）下弦杆DE轴力的影响线取Ⅱ-Ⅱ截面，当P=1作用在D点时，左边隔离体内力值求解见表8.6。依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.9c。（3）斜杆bD轴力的竖向分力的影响线取Ⅰ-Ⅰ截面：当P=1作用在C点时，右边隔离体：当P=1作用在D点时，左边隔离体：依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.9d。4.竖杆cD轴力的影响线取Ⅱ-Ⅱ截面：当P=1作用在D点时，右边隔离体：当P=1作用在E点时，左边隔离体：依据关键点的内力绘直线，影响线见图8.9e。 图8.98.4影响线的应用8.4.1求各种荷载作用下荷载的影响影响线是单位移动荷载对某一量值的影响，利用叠加原理，可求其他荷载作用下产生的影响。(1)对于一组集中荷载 图8.10图8.10a简支梁作用一组集中荷载FP1，FP2，FP3,，图8.10b为简支梁截面C弯矩的影响线。影响线在荷载作用点的竖距分别是y1、y2、y3。利用叠加原理，这组荷载作用下C截面的弯矩为：一般来讲，设有一组集中荷载FP1，FP2，???，FPn加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，...，yn，则(2)对于分布荷载图8.11图8.11a简支梁作用一组分布荷载q，图8.11b为简支梁截面C弯矩的影响线。A0是影响线的图形在受载段DE的面积，注意面积有正负号之分，在杆的上部为正。 8.4.2求荷载的最不利位置（1）荷载最不利位置：使某一量值的最大或最小时荷载的位置。（2）确定原则数量大、排列密集的荷载放在影响竖距较大的部位。(1)单个集中荷载：最不利位置是集中荷载作用在影响线的竖距最大处。（2）移动荷载是均布荷载，且可以是任意分布长度：最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正值)，或在负号部分布满荷载(求其最大负号值)。（3）移动荷载是一组集中荷载，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。8.4.3临界位置的判断8.4.3临界位置的判断对于移动荷载是一组集中荷载，要确定某量值Z的最不利荷载位置，通常分以下三个步骤：(1)求出荷载的临界位置，即某量值Z达到极值的荷载位置。(2)从荷载的临界位置中选取荷载的最不利位置。(3)利用叠加原理求出最不利荷载位置时该量值的大小。图8.12a是一组间距不变的移动荷载，图8.12b是量值Z的影响线，要是量值Z的值达到极值，则必有一荷载作用在影响线顶点。图8.12判定荷载Fpk是临界荷载所满足的条件：8.4.4应用实例 例8.10在图8.13移动荷载作用下，求（MF）＋Max（正号最大值）和（QC）—Min（负号最小值）的荷载最不利位置，并计算其大小。图8.13解：（MF）＋Max：将均布荷载布满MF影响线的AB段。（QC）—Min：将均布荷载布满QC影响线的DE段。9.1矩阵位移法知识点知识点1.矩阵位移法的基本思路2.一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵（1）杆端内力与位移关系回顾（2）公式推导3.特殊单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵（1）梁单元（2）简支梁、悬臂梁等（3）桁架单元4.单元刚度系数的物理意义5. 单元坐标转换矩阵的物理意义（1）问题的提出（2）公式推导（3）特性6.整体坐标系下的单元刚度矩阵：以实例说明7.连续梁整体刚度矩阵（1）位移法建立整体刚度矩阵（2）单元集成法建立整体刚度矩阵：概念、单元定位向量及实例（3）整体刚度矩阵性质8.刚架整体刚度矩阵（1）结点均为刚性结点：编码原则及实例分析（2）结点含铰结点：与刚性结点区别及实例分析9.等效结点荷载（1）结点荷载和非结点荷载情况（三个荷载向量）（2）按单元集成法求整体结构的等效结点荷载的实例10.矩阵位移法应用实例（1）解题步骤（2）连续梁（3）刚架9.2位移法的基本思路1.位移法的基本思路从化整为零到集零为整，见1。     分析未知位移→将结构离散化，分析每个杆件的杆端力→建立平衡方程，求解结点位移→回代杆端力表达式，求杆端力，绘内力图。图12.传统解法与矩阵位移法的比较理论同源，作法有别。前者以手算为主，后者以电算为主。 手算怕繁，电算怕乱。化整为零——单元分析　单元刚度矩阵　单元刚度方程集零为整——整体分析 形成整体刚度矩阵总体刚度方程9.3一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵1.杆端内力与位移关系回顾（轴向）；；（弯曲）；2.公式推导（图1）图1杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。 （1）（2）列成矩阵形式：（3）即：（4）局部坐标系下单元刚度矩阵： （5）9.4梁单元1.简支梁简支梁单元见图1。图1      说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零的相应行和列。 即：单元刚度方程：（1）  单元刚度矩阵：2.悬臂梁等   思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)图2图a：    图b：3.桁架仅有轴向位移9.5单元刚度系数的物理意义1.单元刚度系数的意义     一般地，第j个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第i个杆端力分量的值。例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。对称性（反力互等定理）3.奇异性（，不存在逆矩阵）   根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。  说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。9.6单元坐标转换矩阵的物理意义1.问题的提出单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1） 图1分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；      （b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。同理：2.公式推导矩阵形式： （1）同理：（2）其中：为单位坐标转换矩阵。3.［T］的特性正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。α＝0时，（单位矩阵）。9.7整体坐标系单元刚度矩阵1.整体坐标系中的单元刚度矩阵两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。2.实例   例10-1：图1结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。 图1分析：→求［T］→求α→依据图形。解： （1）单元1：α＝0， （2）单元2：α＝90； （3）单元2：α＝120；   注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图2的求解。图29.8位移法建立整体刚度矩阵1.回顾（1）连续梁的特点：并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。（2）两端固定的梁，在近端有一转角θ，相应产生杆端弯矩：4iθ（近端）和2iθ（远端）。2.公式推导图1两跨连续梁。图1结点力与结点力偶的关系见表1。表1 位移结点力偶M1M2M3θ14i1θ12i1θ10θ22i1θ2（4i1+4i2）θ22i2θ2θ302i2θ34i2θ3矩阵形式：记为：――整体刚度方程其中：――整体刚度矩阵注意：红、绿框中分别是单元（1）和（2）的单元刚度矩阵。3.单元集成法的概念基本思路：考虑单元独立贡献，再叠加。如图1。图1基本过程：局部单元刚度矩阵→单元贡献矩阵→整体单元刚度矩阵 ；4.单元定位向量的概念总码（整体分析）：结点位移在结构中统一编码，如1，2等；局部编码（单元分析）：单元结点位移，如（1），（2）等。单元定位向量（λ）：单元结点位移的总码组成的向量。具体见图2和表1。图2表10-1单元局部码→总码单元定位向量（λ）①（1）→1（2）→2②（1）→2（2）→3 任意单元（i）→r（j）→s5.实例分析求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。图10-11分析：固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为n×n阶。解：见表10-3单元单元刚度矩阵定位向量单元贡献矩阵整体刚度矩阵①②③ 6.整体刚度矩阵的性质Kij――第j个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第i个杆端力分量的值。 ［K］是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。9.9 刚架整体刚度矩阵刚结点1．问题的引出（a）连续梁建立方法：单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。（b）刚架与连续梁的区别：考虑轴向变形（有水平竖向位移）。（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。2．建立过程：编码→单元定位向量→单元集成编码原则：已知位移分量为零的，总码为零；位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：水平位移→竖向位移→转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。一般结点顺序可按：刚结点→支座；左→右；上→下。注意处理支座情况和刚结点。见图1。图1实例分析 图1中a）和b）的单元单位向量见表1，整体刚度矩阵的集成过程见表2a和b。表1表10-5（图a）表10-5（图b） 与刚性结点的区别铰结点（两杆相交）编号有4个，两个线位移（水平和竖向）和两个铰位移，即两杆的线位移编号相同，角位移编号不同。如图1。图1 应用实例分析图2中a）、b）和c）整体刚度矩阵的集成过程见表1a、b和c。图2分析：图a和图b的区别在于支座变化；图c特殊：杆①为链杆，仅有轴向变形（1和4）。表1（图a） 表1（图b） 表1（图c） 9.10三个荷载向量1.结点荷载作用情况下：连续梁（图10-16a）和刚架（图10-16b） 图10-16图16结构的整体结构方程：，即，求解易于解决。2.非结点荷载作用情况下：图10-17刚架图10-17三个荷载向量：    局部坐标系下单元等效结点荷载向量：――见课本29页表10-1，方向由整体坐标系的方向确定正负。   常见荷载下的固端约束力向量：图10-18（图a）（图b）   整体坐标系下单元等效结点荷载向量：   整体坐标系下等效结点荷载向量：按单元定位向量定位再叠加，方法同整体坐标系下刚度矩阵的求解。结论：   对于非结点荷载的情况，先将其转换为等效结点力。等效结点力就是在强行锁定结点状态下的结点约束力的相反值。3.例：求图1结构的等效结点荷载向量。 图10-19   分析：（单元定位向量集成）←（通过转换矩阵）←←（常见荷载下的固端约束力向量）。解：见表1。表1单元[T]定位向量贡献矩阵①[I]②9.11 连续梁与刚架   1.      解题步骤 （1）建立坐标系——局部、整体，并确定单元的方向；（2）编码——单元、结点位移（3）形成或集成刚度矩阵——（4）形成结点总荷载——（5）解方程求结点位移向量——（6）叠加法求各杆的杆端内力——2.      实例分析例1（连续梁）：用矩阵位移法计算求图1结构。图1解：求解过程见表10-1。表10-8单元①②③0.7520.75 λ （变号） 结点荷载向量 例2（刚架）：用矩阵位移法计算求图1结构。 图1解：求解过程见表10-9。单元①②③截面（b×h）（m）0.5×10.5×1.260.5×1EA/l（10-3）83.352.583.3EI/l    EI/l2    EI/l3（10-3）6.94/1.16/0.196.94/0.58/0.056.94/1.16/0.1910-310-3同①续表10-9单元①②③ 同①（10-3）同①λ（10-3）续表10-9单元①②③（10-3）     10.1概述OverviewofStructuralDynamics1．结构动力计算的特点与目的     a.定义：动荷载是荷载（大小、方向、作用位置）随时间变化的量。  b.动荷载与静荷载的区别：考虑其对结构的影响效应，或称动力响应，与荷载变化的快慢无关。 c.计算方法的区别：根据达朗伯原理(D’Alembert’sPrinciple)，平衡形式相同，但力系中包括了惯性力，并且能求出的结果是时间的函数。从计算方法上看，静力学所解的是线性方程组，而动力学所解的是偏微分或常微分方程组。结构动力计算又有两种方法，确定性和不确定性。d.结构动力计算的目的：对动力荷载作用下的位移，内力等进行分析。2.动荷载的分类第一类周期荷载    第二类冲击荷载第三类随机荷载3．动力计算中体系的自由度a.定义：在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立集合参数的数目。     b.意义：如前所述，在动力问题中需要考虑惯性力，而惯性力与质量有关，因此确定任一时刻质量的位置就是动力学研究的关键之一。     c.方法：第一种：集中质量法(Lumped-massmethod)：把连续分布的质量集中为几个质点，这样就可以把一个原来无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。例：梁，刚架注意：自由度的个数与集中质量的个数并不一定彼此相等。      第二种：广义坐标法*(GeneralizedDisplacements)：将无限自由度体系的位移曲线用一组形状函数(interpolationfunctions)的叠加表示，则这组形状函数可以看成是确定质量位置的坐标系，而其幅值则称为广义坐标。例：简支梁：第三种：有限单元法（Finiteelementmethod）10-2单自由度体系的自由振动（SDOF-FreeVibration）意义：       ①单自由度体系计算简便，并可作为一些复杂体系的初步估算。      ②单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力体系分析的基础。1.自由振动微分方程的建立a.模型b.单元分析:弹性力—,与位移的方向相反；（elasticconstraints）惯性力—,与加速度的方向相反。（opposedisplacements） c.平衡方程：+=这是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程，这种方法称为刚度法。(Stiffnessmethod)⑵根据位移协调条件，惯性力=,用表示柔度系数，即在单位力作用下所产生的位移，则质量的位移为：这种根据位移协调条件建立自由振动微分方程的方法称为柔度法。(FlexibilityMethod)2．自由振动微分方程的解将原方程写为：+=其中=其解为：其中由初始条件确定。如果设时，质点有初始位移和初始速度，即：则可求得： =,即：上式为由引起的位移和由初始速度引起的位移的叠加。（书上三个图的讨论）如果将其解写为：的形式，其中称为振幅(Amplitude)，称为初始相位角(inertiaphase)，则可导出：=,=或=,=（讲解解题的思路。另外，时，时的解）3．结构的自振周期(NaturalVibrationfrequency)由其位移函数我们知道这是一个周期函数，其周期为：=由此周期(periodic)，频率(frequency)，角频率(circularfrequency)的相关公式可表示成： ====其中=,(为W作用时的静位移)结构自振周期的一些重要性质：⑴自振周期与结构的质量和刚度有关，与外界的影响无关，也就是说自振周期反映了结构自身的特性；⑵自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比；因此要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手；⑶自振周期是结构动力性能的一个重要数量标志。例17-1，2注意讲解基本模型，了解掌握建模→分析→求解的处理问题方式。10-3单自由度体系的强迫振动（SDOFforced-Vibration）a.定义：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。b.模型：c.平衡方程 设=，则上式变为：+=下面讨论几种动荷载作用下的振动情况：简谐荷载（HarmonicLoading，sinusoidal,simpleharmonic）设其中为简谐荷载的圆频率，为荷载的幅值，运动方程为：+=上式为非齐次常微分方程。下面简单的复习一下常微分方程的基本解法。二阶齐次线性方程的一般形式为：(GeneralForm）非齐次的一般形式为：非齐次线性微分方程的通解为齐次的通解(Complementarysolution)加非齐次的特解(particularsolution)。我们在高等数学中所涉及的是二阶常系数线性微分方程。其一般形式为： 根据特征方程可求其通解：放特征方程的两根通解两不同实根两相同实根一对共轭复根=二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为：我们能够求解的情况为：⑴=,其中是常数，是的一个次多项式：⑵,其中，是常数，分别是的次,次多项式，其中有一个可为零。对，其特解为：=其中是与同次（次）的多项式，而根据不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根，依次取为0,1,2。对，其特解为： 其中是次多项式，,而根据不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次去取或。下面我们继续讨论强迫振动的问题。从上面的复习我们知道其特征值，故可按两种情况来讨论。⑴时，不是方程的根，故其特解为：=可求得：，=故其通解为：⑵当时，则是特征方程的根，故设=可求得：=,=此时的通解为：      从上式可以看出当时，位移随时间的增大而增大，即产生共振（resonant）现象，这种情况是在结构设计过程中应避免的。（举桥的例子）下面讨论从上述公式可以得到的一些结论。动力系数（ResponseRatio）时，在通解中设其初始条件为，，则可得：=，=故=（）     上式表明，强迫振动时的振动由两部分叠加而成，第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率振动。由于阻尼的存在，按自振频率振动的部分会逐渐消失，而只出现按荷载频率振动的部分。这时我们可把振动分为两个阶段，即“过渡阶段”（transientprocess）和“平稳阶段”(steadystateprocess)。对平稳阶段，任一时刻的位移为：= 其最大位移为：=最大位移与最大静位移的比值称为动力系数，用表示，即：(图17-14)==讨论以下几种情况：①时，②时，③时，④时，的绝对值随的增大而减小。2．一般动荷载的杜哈梅积分（DuhamelIntegral）（Responsetogeneraldynamicloading）a.荷载模型 db.公式推导设体系在时处于静止状态，则冲量,初速度=,则此时的位移为：=设在=时作用瞬时冲量,则>时的位移为：=（上式中设初位移为零）因此,有=对上式进行叠加得：=上式称为杜哈梅积分。    任意荷载作用下的任一时刻的位移等于从荷载作用开始至该时刻的动力响应的叠加（或积分）。(convolutionintegral)当初始位移和初始速度不为时，则：=++c.应用 ⑴突加荷载（Short-DurationImpulse,shockload）==,表示在静荷载作用下所产生的位移。此时，动力系数。⑵短时荷载（rectangularimpulse）当时，=当时，自由振动，计算方法可分为两种。第一种以时刻达到位移和速度作为起始位移和起始速度，即可得。（学生课后练习）另外，也可直接用杜哈梅积分计算。 ===下面讨论体系的最大响应，分以下两种情况①（加载持续时间大于半个自振动周期），此时，动力系数；②，此时最大反应发生在自由振动阶段。综上所述，有即：设按的不同情况，绘出图形。讲解图17-21，动力系数反应谱。⑶线形渐增荷载 计算结果如下：讲解图17-2310-4阻尼对振动的影响(Influenceofdamping)①阻尼的存在（ViscousDampingMechanism）②阻尼的影响(InfluenceofDamping)      Dampinghasmuchlessimportanceincontrollingthemaximumresponseofastructuretoimpulsiveloadsthanforperiodicandharmonicloads.Themaximumresponsetoanimpulsiveloadwillbereachedinaveryshorttime,beforethedampingforcescanabsorbmuchenergyfromthestructure.     振动中阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力等。      阻尼力对质点运动起阻碍作用，从方向上看，它总是与质点的速度方向相反，从数值上看它与质点速度有如下的关系：⑴阻尼力与质点速度成正比，称为粘滞阻尼。⑵阻尼力与质点速度的平方成正比（例如，固体在流体中运动受到的阻尼）。⑶阻尼力的大小与质点速度无关（摩擦力）。a.力学模型控制方程 解法讨论自由振动和强迫振动有阻尼的自由振动令（dampingratio）(c:dampingconstant)则有：特征方程为：其解为：根据三种情况可得：⑴，特征方程有一对共轭复根(conjugatecomplexroot)，令(dampedvibrationfrequency)则有：其解为：设初始条件为则有： 上式也可写为：其中位移曲线为：讨论：振幅的衰减，自振频率的影响。对自振频率的影响对振幅的影响 所以：如果，则这里称为振幅的对数递减率。同样，用表示两个相隔几个周期的振幅，可得：实际工程中，很小，通常用来计算。⑵时其解为：由初始条件有： 位移曲线如下：结论：时，自由振动具有衰减性质。时，不产生振动，这时的阻尼称为临界阻尼(criticaldamping)，用表示。表示阻尼常数C与临界阻尼Cr的比值，叫做阻尼比。⑶时，不出现振动，故不再讨论。有阻尼的强迫振动有阻尼体系（设，此时一般称为小阻尼体系）承受一般动力荷载时，它的反应也可用杜哈梅积分表示，与无阻尼时的推导过程相似。由前面已经学过的知识，我们知道初始速度引起的振动为：冲量，故 时，故=上式即为处于静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下所引起的有阻尼的强迫振动。如果还有初始位移和初始速度，则总位移为：=下面讨论突加荷载和简谐荷载两种情况。⑴突加荷载= ⑵简谐荷载由于，故可设特解为：可求得：其通解为：由于阻尼的存在，经过一段时间后，振动按荷载频率振动，这时称为平稳振动。此时位移可表示为：其中 动力系数其图形如图17-28所示。讲解图①与的关系②时，③在阻尼体系中，共振时的动力系数不等于最大的动力系数。④相位角的关系：，与同步，（低频振动），（临界状态）（高频振动）10-5多自由度体系的自由振动多自由度体系的求解方法有两种，刚度法与柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解。(OneofthegreatestdisadvantagesoftheSDOFapproximationisthatitisdifficulttoassessthereliabilityoftheresultsobtainedfromit.)      刚度法        先讨论两个自由度的体系，然后推广到n个自由度的体系。(1)两个自由度的体系模型：      平衡方程：弹性力：是结构的刚度系数，表示j点产生单位位移时在i点引起的反力。由此可得：求解：设其解为 其特点：具有相同的频率与相位角，Y1,Y2为振幅；=常数这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。代入可得，上式有非零解的条件为系数行列式为零，即D==0上式称为频率方程或特征方程。上式展开得整理后得其解为由此可得两个自由度体系的两个自振频率，用w1表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。另一个圆频率w2为第二圆频率。 由此可得（17—39任一式）其中Y11,Y21分别表示第一振型中质点1和2的振幅。同样可得其中Y12，Y22分别表示第二振型中质点1和2的振幅。振型曲线如下： 在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的叠加，即根据初始条件可求得A1,与结论:对多自由度问题，确定自振频率与主振型；多自由度体系的自振频率个数与自由度的个数相等。各个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 自振频率和主振型是体系本身的固有性质，与外荷载无关。例17—4讲解鞭梢效应及减震方法。（2）n个自由度体系模型：平衡方程：刚度方程：的意义同前运动方程： 用矩阵可表示为：或简写为：其中分别为位移向量，加速度向量，质量矩阵和刚度矩阵。求解：设其解为这里是位移幅值向量，即代入运动方程得：同理，系数行列式为零，即 由此可求得体系的n个自振频率。令表示与频率相应的主振型向量，代入特征方程得：令=1，2，……，n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型。 主振型的标准化中的某个元素为1，满足如下关系例17-5讲解基本思路，不作具体运算。2*.柔度法（FlexibilityMethod）基本方法：根据位移协调条件来建立平衡方程模型:以两个自由度为例， 基本思路：在自由振动过程中的任一时刻t，质量m1，m2的位移y1(t)，y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。控制方程：式中是体系的柔度系数（FlexibilityCoefficient）,表示在j质点处作用单位力时在i质点处所产生的位移。求解：设解为：代入上式（Substitute）得：上式表明，主振型的位移幅值（Y1,Y2）就是体系在此主振型惯性力幅值作用下所引起的静力位移。 将上式整理得：如果Y1,Y2不全为零，则有：将上式展开即可求得ω1,ω2求体系的主振型。由平衡方程例17-6P34页 几个自由度体系 柔度法的一般方程可采用两种方法来推导。一种是如上述所示用柔度法直接推导，另一种是利用刚度法的方程间接导出。由刚度方程，有；然后用[K]-1前乘上式，并利用刚度矩阵与柔度矩阵之间的如下关系：得：令，得：由此得频率方程：其展开形式为：由此可得到关于的n次代数方程，可解出n个根。 最后求与各个频率相应的主振型。为此，将代入前式，得：令i=1，2，……，n，可得n个向量方程，由此可求出n个主振型。10-6多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1.主振型的正交性正交的概念：两个向量，其中，，称为正交；矢量的概念。正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。这里我们讨论主振型的正交性：以两个自由度体系为例:功的互等定理（Betti’slaw）即: 故有上式可推广到一般情况第一个正交关系为：或证明：由特征方程有 将上式两边分别乘以得对其中任一式转置并相减得如果同理也可推得（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。）对k=L时，我们定义Mk,Kk分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。由特征方程有:即:由此得: 这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。这个公式是单自由度体系频率公式的推广。正交关系的利用：判断主振型的形状是否正确；在振型分解法中的应用。例17-8讲解重点正交性的验算2*.主振型矩阵如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y]和[Y]T[K][Y]都应是对角矩阵。下面证明：[Y]T[M][Y]= 上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……Mn,由正交关系知其余元素均为零，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。即[Y]T[M][Y]=对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。同样可得其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。10-7多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 仍以两个自由度的体系为例。模型如下：控制方程（运动方程）设荷载为：则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：代入运动方程得：由此可得：其中： 由此可得y1(t),y2(t)。我们可以看到当D0中的与结构的任一自振频率相同时，则D0=0，当D1,D2不全为零时，位移幅值即为无限大，这时即出现共振现象。讲解例17-9对多自由度体系的情况同样可得。10-8多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动 在一般荷载下，n个自由度体系的振动方程为：在通常情况下，[M]和[K]并不都是对角矩阵，因此，方程组是耦合的。当n较大时，不便求解。为了使计算得到简化，可以采用坐标变换的方法，将方程解耦，以达到简化计算的目的。步骤如下：首先进行正则坐标变换：其中，表示质点的位移，叫做几何坐标。新坐标叫做正则坐标。两种坐标之间的转换矩阵就是主振型矩阵[Y]。上式也可写成： 上式即为主振型分解的展开公式。因此，正则坐标就是把实际位移按主振型分解时的系数。将坐标变换式代入振动方程并前乘[Y]T，得：由前面所定义的广义质量矩阵[M*]和广义刚度矩阵[K*]，再把看作广义荷载向量，记为其中元素称为第i个主振型相应的广义荷载。由此可得：由于[M*]和[K*]都是对角矩阵，故上述方程已经成为解耦的形式，其中包含n个独立方程：（i=1，2，……n）由，故得：（i=1，2，……n）上式与单自由度体系的振动方程完全相似。这个解法的核心步骤是采用了正则坐标变换，或者说，把位移按主振型进行了分解，因此这个方法叫做正则坐标分析法，或主振型分解法，或振型叠加法。对上述方程的解，可用杜哈梅积分法写出，在初位移和初速度为零的条件下，其解为： 如果初位移和初速度给定为：则由正交关系有：由此得：故其解为：由此既可得。讲解例17-10.注意过程及步骤。10-10近似法求自振频率（ApproximateMethod）1.能量法求第一频率——瑞利（Rayleigh）法原理：能量守恒，一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量（应变能（potentialenergy）与动能(kineticenergy)之和）应当保持不变。 以梁的自由振动为例，其位移可表示为:式中是位移幅值，是自振频率。其速度为梁的弯曲应变能为:其最大值为:梁的动能为:其最大值为:根据能量守恒原理有:由此求得频率为： 如果梁上还有集中质量mi（i=1，2，……，n），则有:式中Yi是集中质量mi处的位移幅值。上式就是瑞利法求自振频率的公式。如果其中所设的位移形状函数正好与第一主振型相似，则可求得第一频率的精确值。如果与第二振型相似，则可求得第二频率的精确值。一般情况下，通常取结构在某个静荷载作用下的弹性曲线作为的近似表达式。此时，应变能可用相应荷载所作的功来代替，即:则:如果取结构自重作用下的变形曲线作为的近似表达式，则有： 蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄莄蒆蚀膂蒃蕿袆肈蒂蚁虿羄蒁莁袄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁肅蒇羁羇肄薀螄袃膃蚂薆膁膃莂螂肇膂蒄薅肃膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄膈薀蚁肀膇蚃袇羆芇莂蚀袂芆蒅袅螈芅薇蚈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅节蚄螅膃芁莃薇聿莀蒆螃羅荿薈薆袁莈芈螁袇莇蒀薄膆莆薂衿肂莆蚄蚂羈莅莄袈袄蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈蒁羄羀膈薃螇袆膇螅薀芅膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袄羃膃荿蚆衿节蒁袂膇节薄蚅肃芁蚆袀罿芀蒆蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀羇肆芇蒂蝿羂莆薅羅袈莅蚇螈膆莄莇薁肂莃蕿螆肈莂蚁虿羄莁莁袄袀莁蒃蚇腿莀薅袃肅葿蚈蚅羁蒈莇袁袇蒇蒀蚄芆蒆蚂衿膂蒅螄螂肈蒅蒄羈羄肁薆螀袀肀虿羆膈聿莈蝿肄膈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