材料力学课件9.pdf

第九章压杆稳定Chapter9StabilityofColumn §9-1压杆稳定性的概念§9-2细长压杆临界压力的计算欧拉公式§9-3欧拉公式的应用范围临界应力总图§9-4压杆的稳定校核§9-5提高压杆稳定性的措施 §9.1压杆稳定性的概念问题的提出试验观察及思考3920N40N钢板尺：截面尺寸20×1，许用应力[]=196MPaF1962013920N(强度结果)300300实际实际能承受的荷载只有40N细长压杆3920N 历史事件•数学家欧拉在1774年提出了细长压杆稳定临界荷载计算公式。•1896年瑞士孟希太因铁路桥倒塌（因桁架压杆失稳）。200多人死亡。•1907年加拿大跨度为548米的魁北克大桥在施工时倒塌（因弦杆失稳），75名员工遇难。破坏从开始到结束只有15秒。•1925年原苏联的莫兹尔桥在试车时受压杆件失稳而破坏。•1940年美国的塔科马桥刚完工4个月，在一场大风中，由于侧向刚度不足而失去稳定，使整个桥梁扭转摆动而破坏。•1978年美国康涅狄格州哈特福市中心体育馆，在一场暴风雪中倒塌，事故的原因也是个别压杆失稳。•1990年2月，某厂四楼接层会议室屋顶轻钢屋架因压杆失稳连同屋面突然倒塌。当时，305人正在会议室开会，造成42人死亡，179人受伤的特大事故。•压杆的稳定性问题提出并在欧拉公式的基础上加以研究。 加拿大的魁北克(Quebec)桥1907年倒塌现场 九江长江大桥跨越长江的公铁两用（4车道加双线）桥。主跨216米，为中国当时铁路钢桥跨度之最。钢梁设双层桥面，上层公路下层铁路。 稳定的平衡与不稳定的平衡稳定的平衡不稳定的平衡施加微小扰动使小球离开原来施加微小扰动使小球离开原来的平衡位置，撤去扰动后小球的平衡位置，撤去扰动后小球能回到原来的平衡位置。不能回到原来的平衡位置。 理想“中心受压直杆”力学模型：（1）材质均匀；FFcrFFcrFFcr（2）杆轴为直线；（3）压力沿轴线临界状态：从稳定平衡过渡到不稳定平衡的特定状态称为临界状态。临界力：稳定的平衡不稳定的平衡临界状态下作用的压力F称为临界力。cr它是判别压杆是否会失稳的重要指标。失稳：中心受压直杆在临界力F作用下，其直线形态的平衡丧cr失了稳定性，称为失稳。其危害：突然性；使结构整体垮塌。 总结提升干扰力是随机出现的，大小也不确定——抓不住、来去无踪FFcr如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟出了一个捕捉它、显化它的巧妙方法——用干扰力产生的初始变形代替它干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤走了，但它产生的变形还在，若这种变形：1、还能保留，即不稳定平衡2、不能保留，即稳定平衡 §9-2细长压杆临界压力的计算欧拉公式M()xFwcrxFcrEIwMx()Fwcrww0FcrEI22Fcrwkw0kEIwAksinxBkcosx边界条件：wFxw00B0crlxlw0Asinkl0M()x若A0则压杆保持为直线平衡状态xx必有：sinkl0yy则kln(1n,2,3,)2EIF即Fcrcr2取则nk1lllEI 2EIFcr2l欧拉在1774年提出的压杆稳定临界荷载计算公式应用条件：（1）理想“中心受压直杆”（2）线弹性范围内（3）两端为球形铰支座公式说明：（1）F与杆长成反比cr（2）F与杆件的EI成正比（I为压杆失稳方向的惯性矩I=I）crmin（3）F与杆端约束有关cr（4）F与外加压力的大小无关cr 2EIFcr2（）l一端固定一端固定两端固定但可沿支承情况两端铰支两端固定一端铰支一端自由横向相对移动FF失稳时挠曲线形状FFFlllll2222EI2临界力FEIEIEIEIcrFFFFcr2F欧拉公式cr2cr(0.7)l2cr(0.5)l2(2)lcrl2l长度因数μ=10.7=0.5=2=1 例题9.1求下列细长压杆的临界力。E=200GPa3Fcr501012F图(a)IminIy10cr12944.1710m5002EI2500min2004.17Fcr22（）l（）0.70.5167.14kNzzyII3.8910m84图(b)minz10y2250EImin2000.389(45456)Fcr22（）l（）20.5等边角钢2图(a)图(b)76.8kN 例题9.2长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将b改为h后仍为细长杆，临界力F是原来的多少倍？cr若改为与正hhd方形面积相bh同的圆形呢？24EIh正3解：F2Ihcr正（）l正1283F2Ihbbcr长EI长长l212（）222EIh41d正F2I124cr正（）l正12442FIdd3cr圆EI圆圆26464（）l 例题9.3五根直径都为d的细长圆杆铰结成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图(a)、(b)所示两种情况下杆系所能承受的最大载荷。（a）B（b）BACACFFFFDD2解：压杆BD：FN=F四根压杆：FFN222EIEI22EIEIFcr22F（）2a2acraa2222EI2EIFFmaxcr2a2Fmax2Fcr2a §9-3欧拉公式的适用范围临界应力总图•临界应力和柔度1.临界应力：压杆在F作用下处于直线不稳定平衡时横截面上cr的应力。F22IcrEIE（）icrlA22AA（）（）li/2lE（）i2l2.柔度（长细比）i与杆件的长度、截面形状和尺寸、约束条件有关。 •欧拉公式的适用范围临界应力在线弹性范围内（小于比例极限）22EEcr2PP2E例如Q235钢：E206GPa令P200MPaPp2EP只与材料有关则：100PP即：当时（称为大柔度杆）2EI才有F成立cr2（）l •临界应力总图2E时()<大柔度杆Pcr2crPSP时经验公式（）Pc<<rS中柔度杆S时强度条件（）cr=S小柔度杆cr强度条件S2PEcr2(塑性变形)(弹塑性变形)(弹性变形)SP 经验公式1.直线型经验公式(对于合金钢、铝合金、铸铁、松木等材料)Pc<<rS时：cr=abaS=时=crSSb2.抛物线型经验公式(对于结构钢、低合金结构钢材料)<<2PcrS时：=abcr11a1Scr=S时S=b1 例题9.4图示压杆材料为Q235钢，横截面有四种，面积均为3.2×103mm2，试计算它们的临界荷载。已知：E=200GPa，s=235MPa，cr=304－1.12，p=100，s=61.4FI解：(1)b=40mmimin11.55mmAl0.533m129.913i11.5510＞P大柔度杆0.7d2EFAAcr1cr2b21375kNbadd 例题9.4图示压杆材料为Q235钢，横截面有四种，面积均为3.2×103mm2，试计算它们的临界荷载。已知：E=200GPa，s=235MPa，cr=304－1.12，p=100，s=61.4F(2)a=56.5mmi16.3mml0.53000922i16.33ms<p中柔度杆cr2=304-1.122=304-1.12×92=200.9MPa0.7dFAcr2crb632200.9103.210644kNbadd 例题9.4图示压杆材料为Q235钢，横截面有四种，面积均为3.2×103mm2，试计算它们的临界荷载。已知：E=200GPa，s=235MPa，cr=304－1.12，p=100，s=61.4F1(3)d=63.88mmid15.95mm4l0.530009433mi15.93s<p中柔度杆cr3=304-1.123=304-1.12×94=198.7MPa0.7dFAcr3cr63b2198.7103.210635.9kNbadd 例题9.4图示压杆材料为Q235钢，横截面有四种，面积均为3.2×103mm2，试计算它们的临界荷载。已知：E=200GPa，s=235MPa，cr=304－1.12，p=100，s=61.4F(4)D=89.3mmd=62.5mm1l2255.1idD27.2mm44i3m<小柔度杆惯性半径越大,s柔度越小,cr4=s=235MPa承载能力越强0.7dFAcr4s63b2235103.210752kNbadd §9-4压杆的稳定校核1.安全因数法FcrnF[F]——稳定安全因数stnstFcr工作安全因数nnstFcr或nnstF稳定条件ncrnstFF——压杆临界压力F——压杆实际压力cr 2.折减系数法稳定许用应力crcr[]stnstnst折减系数（稳定因数）()见P280表9-4稳定条件FN[]=[]工作st工作A 例题9.5已知托架D处承受载荷F=10kN。AB杆外径D=50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，E=200GPa，=100，P[n]=3。校核AB杆的稳定性。st解：研究CD梁MC0FF2000sin301500N得F26.6kNNlAB杆1i1.5l1.732mcos30 lAB杆i311.73210得108p16AB为大柔度杆F26.6kNN21EIF118kNcr2l1.732ml44IDd4F118incr4.42n3A64D2d2stF26.6N22Dd16mmAB杆满足稳定性要求4 例题9.5千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cm，内径d=4cm，材料为Q235F钢。最大承重F=80kN，规定的稳定F安全系数n=4，=100、=61.4。stPS试校核丝杠的稳定性。（1）计算柔度dl4Idd44i1cm2Ad6444l237.575i1S<<P，属于中柔度杆。 （2）计算临界力，校核稳定查表9-2得a=304MPa，b=1.12MPa，得丝杠临界应力为crab3041.1275220MPa260.04FA22010276320N276kNcrcr4此丝杠的工作稳定安全系数为F276crnn3.454stF80此千斤顶丝杠不稳定。 §9-5提高压杆稳定性的措施2EIFcr2Fcr越大越稳定（）l(1)减小压杆长度l(2)减小长度系数μ（增强约束）(3)增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）(4)增大弹性模量E（合理选择材料） ①直接减少压杆长度2•减小压杆长度lEIFcr2②增加中间支座（）lFFFll0.50.5ll0.5222EIEIEIFcr2Fcr42Fcr42lll 2•减小长度因数μ（增强约束）EIFcr2（）l①采用长度因数较小的支座②加固杆端约束FFcrcrFcrFcrllll 2•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）EIFcr2（）l①若各方向约束相同：1)应使各方向惯性矩相等=Iyz2)应尽可能地增大惯性矩—采用空心截面②若两方向约束不同：应使两方向柔度相等=—采用两个主惯性矩不同的截面yzzzzzyyyyzzzzyyyy •增大弹性模量E（合理选择材料）2EIFcr2(1)对于大柔度压杆（）l提高弹性模量E,即可提高Fcr注意：各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同钢与合金钢：E(200~220)GPa铝合金：E(70~72)GPa(2)对于中柔度压杆提高屈服强度即可提高s，cr(3)对于小柔度压杆按强度要求选择材料