北大材料力学课件Ch2轴向拉压4-5节.ppt

材料力学第二章轴向拉伸和压缩(Ch2.AxialTensionandCompression)2021/7/22材料力学 §２－４拉(压)杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)变形Deformation:Dl=l1-l横向Lateral变形:Dd=d1-d线应变LinearStrain:1,轴向应变AxialStrain:ε=Dl/l=const2,横向应变LateralStrain:e’=Dd/d显然:e·e’<0受力变形关系:Dl=Nl/EA(or:σ=Ee;σ≤σp)其中:E----弹性模量ElasticModulus;EA---杆的轴向刚度AxialRigidityofBarσp---比例极限ProportionalLimit纵横向应变关系:e’=-me(σ≤σp)其中:m---横向变形系数(or:泊松比Poisson’sRatio)2021/7/22材料力学 §２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)例题2-5求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。已知材料的弹性模量E=210GPa。解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线应变e为圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为2021/7/22材料力学 §２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)例:图示阶梯形钢杆，AB段和CD段的横截面面积相等A1＝500mm2，BC段横截面积A2＝300mm2。已知材料的弹性模量E=200GPa。试求:1,各杆段的应力。2,Ｄ端的位移。解:1,绘轴力图如图(b)所示。2,求各段应力:3,计算Ｄ端位移:(Ｄ端位移DＤ即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即:计算结果为负，说明Ｄ端发生向左的位移。2021/7/22材料力学 §２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)例:某矿井升降机如图(a)所示，因吊索很长，其自重引起的应力和变形应予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为Ａ,材料容重为g，弹性模量为E。试求:钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的应力和变形(设起吊是匀速的)。的内力为Nx=R0-gAx=gA(l-x)+P故:Ｎmax＝gAl+P)。索为等截面的,其x截面上的应力为sx=Nx/A=g(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上端横截面上,其值为smax=Nmax/A=gl+P/A解:1,计算应力:(索上端支反力R0=P+gAl。用截面法求得x截面2,计算变形:式中Ｗ=gＡl为杆的总重量。上式表明:杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长。2021/7/22材料力学 §２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)桁架节点位移:例:图(a)所示托架,杆1和杆2均为钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷载P=10kN,l1=2m。试求节点Ａ的位移。解:1,求各杆轴力:(取节点A为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条件求得两杆轴力分别为)（拉）（压）2,求各杆的变形:作业:2-12,2-13,2-152021/7/22材料力学 §２－４拉（压）杆的变形(DeformationofAxialForcedBar)·胡克定律(Hooke’sLaw)3,求节点Ａ的位移:由于两杆的变形,节点A位移至A’点,A’点是以B为圆心,(l1＋Dl1)为半径作圆弧与以C为圆心,(l2＋Dl2)为半径作圆弧的交点。由于变形相对于杆的原长很微小,这种作图方法和计算A’点位移很不方便,但正因为变形微小,可将上述两圆弧用过A1和A2两点并分别垂直于杆１和杆２的两垂线代替(图(c))。此图称为节点A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移dAH和垂直位移dAV分别为节点Ａ的总位移为:2021/7/22材料力学 §2－5拉(压)杆内的应变能StrainEnergyofAxialForcedBar弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领,这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据,下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内所积蓄的能量在数量上的关系。现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性应变能。在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。2021/7/22材料力学 ExternalWorkinElasticRange:§2－5拉(压)杆内的应变能StrainEnergyofAxialForcedBar韧性模量(ModulusofToughness):轴向变形下的外力功WorkofExternalForcedinAxialDeformation:∵dW＝dT＝PdDl∴故:弹能模量:(ModulusofResilience)2021/7/22材料力学 §2－5拉(压)杆内的应变能StrainEnergyofAxialForcedBar(是使试件断裂所需要的比功，故tf越大→此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。变形能StrainEnergyand比能EnergyDensity(StrainEnergyperUnitVolume):外力作功(T)→引起构件变形→产生内力→(s～e)将外力功(T)转化为内能(U)----因是构件变形引起，故称为变形能。当(s≤se)时称为弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故:比能(杆件单位体积内储存的变形能):(s≤se时)u的量纲([力][长度]/[长度]3),常用单位：J/m3。材料进入塑性阶段后，有:(其中:)注:U和u恒为正。2021/7/22材料力学 §2－5拉(压)杆内的应变能StrainEnergyofAxialForcedBar例:图(a)所示架，杆1和杆2均为钢杆，弹性模量E=200GPa，横截面面积分别为A1=200mm2，A2=250mm2，荷载P=10kN，l1=2m。试求节点Ａ的垂直位移。解:2021/7/22材料力学 §2－5拉(压)杆内的应变能StrainEnergyofAxialForcedBar例:求图示三根圆截面杆的应变能，并比较其大小，设三杆用同一种线弹性材料制成，弹性模量为E。解:(a)杆:(b)杆:(c)杆:因此:2021/7/22材料力学