【理论力学课件@北师大】5-1.pdf

第五章非惯性系中的质点力学本章中我们先讨论有相对运动的两个参考系间的运动学关系,再由此出发导出非惯性系内的动力学方程.§5-1两参考系间速度和加速度的变换关系一、静止系和运动系运动学中所有参考系都是平等的.静止和运动是相对而言,是我们规定的.我们把静止系记为S系,用一与其固连的直角坐标系Oxyz标志.把运动系记为S¢系,用与其固连的直角坐标系O¢x¢y¢z¢标志.用不带“＇”的符号表示相对S系的量,如r,v,a等,用带“＇”的符号表示相对S¢系的量,如r¢,v¢,a¢等.把坐标系视为一刚性标架,用描述刚体一般运动的方法描述S¢系相对S系的运动.以O¢点为基点,用vo¢和ao¢描述S¢系的平动,用S¢系的w和w描述S¢系绕O¢点的转动.二、绝对运动、相对运动和牵连运动 我们称力学体系相对S系的运动为绝对运动,相对S¢系的运动为相对运动.在某一时刻,我们设想力学体系与S¢系瞬时就地固连,在瞬时就地固连条件下,由于S¢系的运动而引起的力学体系相对S系的运动称为牵连运动.三、任意矢量A的绝对变率、相对变率和牵连变率将矢量A在Oxyz系中正交分解,A=Ai+Aj+Akxyz矢量A的绝对变率指矢量A相对S系的时间变化率,在计算绝对变率时S系的单位矢量i,j,k为常矢量.我们把绝对变率记为ddt,则dA=Ai+Aj+Akxyzdt矢量A也可以在O¢x¢y¢z¢系中正交分解,为A=Ax¢i¢+Ay¢j¢+Az¢k¢矢量A的相对变率指矢量A相对S¢系的时间变化率,在计算相对变率时S¢系的单位矢量i¢,j¢,k¢为常矢量.我们把相对变率记*为ddt,则 d*A=Ai¢+Aj¢+Ak¢x¢y¢z¢dt显然标量对S系和S¢系的时间变率是相同的,标量B的时间变率仍记为B.现在根据A=Ax¢i¢+Ay¢j¢+Az¢k¢计算A的绝对变率,dAdi¢dj¢dk¢=Ax¢i¢+Ax¢+Ay¢j¢+Ay¢+Az¢k¢+Az¢dtdtdtdtdi¢dj¢dk¢=Ax¢i¢+Ay¢j¢+Az¢k¢+Ax¢+Ay¢+Az¢dtdtdt由于i¢,j¢,k¢均为单位矢量,长度为1不变,又均跟随S¢系一起以S¢系的角速度w转动,故ìdi¢ï=w´i¢dtïïdj¢í=w´j¢ïdtïdk¢ï=w´k¢îdtdAd*A则=+w´Ax¢i¢+w´Ay¢j¢+w´Az¢k¢dtdt得到一个重要公式*dAdA=+w´Adtdt说明任意矢量A的绝对变率等于其相对变率与牵连变率的矢量和. 下面可方便地导出S系与S¢系间的速度和加速度变换公式.四、S系与S¢系间速度变换公式设r为质点P在S系中对O点的位置矢量,r¢为质点P在S¢系中对O¢点的位置矢量,R为O¢点在S系中对O点的位置矢量,显然r=r¢+R.质点P相对S系的速度称为绝对速度,它是质点P在S系中的位置矢量对S系的时间变化率,即rS的绝对变率，故drdr¢dRv==+dtdtdt*dr¢dR=+w´r¢+dtdt*dr¢是质点P在S¢系中的位置矢量相对S¢系dt的时间变化率,即为质点P相对S¢系的速度,我们称之为相对速度.相对速度亦可记为vr=v¢.dR显然是O¢相对S系的速度vo¢.根据牵连运dt动定义可知质点P的牵连速度vt=vo¢+w´r¢.故速度变换公式为 *dr¢dRv=v¢+v=++w´r¢tdtdt即质点P的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和.五、S系与S¢系间加速度变换公式质点的绝对加速度a为其绝对速度v的绝对变率，dvdædRöa==çv¢++w´r¢÷dtdtçèdt÷ø2dv¢dRdwdr¢=+2+´r¢+w´dtdtdtdt*2*dv¢dRdwædr¢ö=+w´v¢++´r¢+w´ç+w´r¢÷dtdt2dtçdt÷èø即*2dv¢dRdwa=++´r¢+w´()w´r¢+2w´v¢2dtdtdt下面分析上式中各项的物理意义.*¢*dvdv¢a=a¢=.为质点的相对加速度,rdtdt2dR2为O¢点相对S系的加速度ao¢.dt质点P的牵连加速度为2dRa=+w´r¢+w´()w´r¢t2dt 其中w´r称为牵连转动加速度,w´(w´r)称为牵连向轴(S¢系转动的瞬时轴)加速度.注意:由于S¢系相对S系的角速度w的绝对变率与相对变率相等,故统一记为w.2w´v¢显然不属于相对加速度,也不属于牵连加速度.我们称之为科里奥利加速度,记为ac=2w´v,简称为科氏加速度.ac中的一半源于dv¢/dt,是由于转动(w)引起的相对速度v¢的绝对变率;ac的另一半源于dvt/dt,是由于相对运动(v¢)引起的牵连速度的绝对变率.总之科氏加速度是由于w与v¢互相耦合而形成的.因此,加速度变换公式可以表示为*2dvdRa=a¢+a+a=++w´r¢+w´()w´r¢+2w´v¢tc2dtdt六、三点说明1.S系与S¢系之间速度和加速度变换公式是利用运动的S¢系把质点P相对S系的运动进行分解的结果.采用不同的运动系,分解的具体结果是不同的.2.S¢系中的观察者,他只能观测到v¢和a¢,观测不到v,vt,a,at,ac. S系中的观察者,他只能观测到v和a,他无法区分v中的v¢和vt,a中的a¢,at和ac.只有站在理论工作者的角度,同时考虑到S系和S¢系,才能把v和a理性地分解出来.3.我们这一节的主要目的是导出加速度变换公式,并以此作为建立非惯性系内质点动力学方程的基础.但通过上述讨论,我们现在可以利用运动系把质点的复杂运动分解成为几个比较简单的运动,这对于研究质点复杂运动是有利的.下面我们讨论两个例题.例题1一等腰直角三角形DABO,在自身平面内以匀角速度w绕顶点O转动.质点P在t=0时刻由A点出发,以不变的相对三角形的速度u沿AB边运动.已知AB=BO=b,求P点的速度和加速度.解建立S系Oxyz及与DABO固连的S¢系O¢x¢y¢z¢如图.v¢=u.所以v=u+w´r¢a=w´(w´r¢)+2w´u在O¢x¢y¢z¢系中u=-uj¢w=-wk¢r¢=bi¢+(b-ut)j¢所以 v=w(b-ut)i¢-(u+wb)j¢22a=-(wb+2wu)i¢-w(b-ut)j¢选定参考系后我们可以选用不同的坐标系作为描述物体运动的工具.质点P相对S系的运动情况是较为复杂的.现在我们借助S¢系把质点的复杂运动分解为两个简单的运动.例题2用本节方法讨论§2--4例题3.半径为R的碾盘在水平面上做无滑滚动，长为l的水平轴OA绕竖直轴OB以匀角速度w转动.求碾盘最高点P的速度和加速度.解以地面为S系,如图中Oxyz为S¢系,Ox轴沿AO方向,Oy轴沿BO方向.(由于S系不必画出,为方便起见用Oxyz表示S¢系.因为r=r¢,故不区分r和r¢.但相对速度和相对加速度仍用v¢和a¢表示.)因为碾盘做无滑滚动,所以vQ=0,OQ为瞬时轴,刚体角速度wt沿QO方向.由几何关系可知22w¢=lw/R,wt=l+Rw/R.(碾盘参与w和w¢两个转动,所以P点运动较为复杂,现在引入S¢系后,则把复杂运动分解为两个简单运动.)于是不难求出: v¢=w¢Rk=lwkl222a¢=-wRj=-wjR22注意到dR/dt=0,w´r¢=0,则v=v¢+w´r¢=lwk+lwk=2lwka=a¢+w´(w´r¢)+2w´v¢22l2222l2=-wj+lwi+2lwi=3lwi-wjRR