武汉理工大学理论力学课件 第八章 动量定理(第二版).ppt

动力学1 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。对物体的机械运动进行全面的分析，研究作用于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械运动的普遍规律。动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。所谓质点系是由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体是质点系的一种特殊情形。动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而前者是后者的基础。2 动力学的理论以牛顿三定律为基础第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律(力与加速度之间的关系的定律）重力第三定律(作用与反作用定律):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。质量是质点惯性的度量。3 质点动力学的三个基本定律是在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，因此只在一定范围内适用。三个定律适用的参考系称为惯性参考系。在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系，可以得到相当精确的结果。以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学（经典力学）。在古典力学范畴，认为质量是不变的量，空间和时间是绝对的，与物体的运动无关。而近代物理证明，质量、时间和空间都与物体运动的速度有关，但当物体的速度远小于光速时，物体的运动对于质量、时间和空间的影响微不足道。4 1.质点的运动微分方程1)在直角坐标轴上的投影2)在自然轴上的投影2.质点动力学的两类基本问题第一类问题：已知运动求力（微分问题）第二类问题：已知力求运动（积分问题）对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。5 实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。从第八章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。6 动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量：同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)和同力相关的量(冲量、力矩、功等)之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。7 第八章动量定理8 本章主要内容§8.1动量与冲量§8.2动量定理§8.3质心运动定理本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。9 §8.1动量与冲量物体之间在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。据此，可以用质点的质量与速度的乘积表征质点的这种运动量。一、动量(momentum)1.质点的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和称为质点系的动量。2.质点系的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与相同。单位是kgm/s。10 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。投影形式：则设质点系中，任一质点的矢径为，质点系的总质量为m,质心C的矢径为。11 设第i个刚体，则整个系统：3.刚体系统的动量：COCC12 解:曲柄OA：滑块B：连杆AB：P为AB杆速度瞬心，〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀转动，设OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都均质,质量各为m,滑块B的质量也为m。求当=45º时系统的动量。13 14 2．力　是变矢量：（包括大小和方向的变化）1．力　是常矢量：力在其作用时间内对物体作用的累积效应用力的冲量度量，力与其作用时间的乘积称为力的冲量，其方向与常力方向一致。二．冲量(impulseofaforce)物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小有关，而且与力作用时间的长短有关。元冲量：时间t内冲量：冲量的单位：与动量单位同．15 §8.2　动量定理一．质点的动量定理（theoremofmomentum）即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在该时间内的冲量1.质点的动量定理的微分形式：即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量2.质点的动量定理的积分形式：16 质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和。二．质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一质点i：1.质点系的动量定理微分形式0即：17 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用在质点系上的所有外力冲量的矢量和。2.质点系的动量定理积分形式即：即：由质点系动量定理可见，质点系内力不能改变质点系的动量。18 2.若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。1.若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动量保持不变。3.投影形式：三．质点系的动量守恒定律即：以上结论称为质点系的动量守恒定理19 [例2]电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子以角速度匀速转动，求基础的水平及铅直约束力。解:取整个电动机作为质点系研究，受力图如图示。∵机壳不动m1gm2gp方向如图20 m1gm2gp得由静约束力附加动约束力＋＝动约束力21 [例3]质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析：由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为，则小三角块运动分析：22 运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab，[例4]流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的附加动约束力。设流体不可压缩，流动是稳定的。流量qv(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。由质点系动量定理得:23 静约束力计算　时，常采用投影形式与　相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动约束力。即附加动约束力24 设截面AA和BB的面积分别为Aa和Ab，由于流体不可压缩，因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。流体对管壁的附加动作用力大小等于附加约束力，但方向相反。连续性定律知25 右图为一水平的等截面直角形弯管。当流体被迫改变流动方向时，对管壁施加有附加的作用力，它的大小等于管壁对流体的附加动约束力，即由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装支座。26 质点系的质量中心简称质心，表征质点系质量分布情况。质心C点的位置：一.质量中心(centerofmass)§8.3　质心运动定理计算质心位置时，常用上式在直角坐标轴上的投影形式，即27 例：如图所示，曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。求此系统的质心运动方程、轨迹方程和动量。28 解：设t=0时杆OA水平，则有j=wt。所以质心C的坐标为上式为此系统质心C的运动方程。上两式消去时间t，得即质心C的轨迹方程。29 动量系统动量的大小为系统动量的方向余弦为30 将　　　　代入到质点系动量定理，得若质点系质量不变，称为质心运动定理（或质心运动微分方程）,即：质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和。二.质心运动定理(theoremofmotionofcenterofmass)质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点动力学基本方程形式相似。因此，也可叙述为：质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，设想这个质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。则或31 若开始时系统静止，即　　　，则质心位置始终保持不变。若开始　　　，则质心在x轴的位置坐标保持不变。1.若　　　　，则　，质心作匀速直线运动；2.若　　　　，则　　　，质心沿x方向速度不变；只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。三.质心运动守恒定律质心运动定理投影形式：32 解:取整个电动机作为质点系研究，受力图如图示。[例5]电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。m1gm2g选图示坐标。可知电动机质心的坐标33 可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。m1gm2g根据质心运动定理，可得可得34 解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。[例6]浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2=30º时船的位移。受力分析如图示，　　　　，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标xC保持不变。35 船的位移x１，杆的位移重物的位移计算结果为负值，表明船的位移水平向左。36 W1W2l[例7]图示两船以绳索相连,船B上的人借绳索拉船A，设船A重W1,船B重W2(包括拉船的人），系统开始处于静止，两船相距为l。不计船与水间的阻力,问两船匀速运动到相接触时，各移动了多少距离？xy解：如图以A船的初始质心为坐标原点建立坐标系。设A、B船分别移动⊿l1和⊿l2。则⊿l1+⊿l2=l（1）以两船为研究的质点系，C为其质心。37 W1W2lxy∵水平方向受力为0，且开始静止。∴质点系质心的坐标xC不变。即由（1）、（2）式解得：38 应用质心运动定理解体的步骤：（1）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束力；（2）为求未知力，可计算质心坐标，求质心的加速度，然后应用质心运动定理求解；（3）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解法与质点动力学第二类问题相同；（4）如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标，令其相等，即可求得所求质点的位移。39 第八章结束40