大学理论力学课件 第9章 质点在惯性系与非惯性系中的动力学

第第99章章质点在惯性系与非惯性系中的动力学质点在惯性系与非惯性系中的动力学(Dynamicsof a particle in Inertialand NoninertialReference System) 第第99 章章惯性系与非惯性系中的质点动力学惯性系与非惯性系中的质点动力学□□惯性系中惯性系中的质点动的质点动力学力学□□非惯性系非惯性系中的质点中的质点动力动力学学□□讨论讨论 □□质点在惯性系中的动力学质点在惯性系中的动力学* * 动力学基本定律动力学基本定律* * 质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程* * 质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例 **动力学基动力学基本定律本定律第一定律——惯性定律：任何质点如不受力作用，则将保持原来静止或等速直线运动状态。物体保持其运动状况不变的固有属性，称为惯性。质量为物体惯性的度量。第二定律——在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。即m a=F第三定律——作用反作用定律：两物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，并沿同一条直线分别作用在两个物体上。 * * 质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程当物体受几个力作用时，右端应为这几个力的合力。即ma=åF2dr或m=åF 2dt * * 质点在惯性系中的运动微分方程质点在惯性系中的运动微分方程●矢量形式m m r &r &&&==ååFFii((t t , , rr, , r r &&))i i m m &x &x &&==ååF F iix x ii●●直角坐标形式m m &y &y &&==ååF F iiy y iim m &z &z &&==ååF F iizzmm&s &s &&==ååF F i i τ τ iii i &22s s &●弧坐标形式弧坐标形式m m ==ååF F i i nnrri i 00==ååF F i i bbi i  * * 质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例第一类问题：已知质点的运动, 求作用于质点的力；第二类问题：已知作用于质点的力, 求质点的运动。 * * 质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例m kv0例例题题11 ll 0已已知知：弹簧：弹簧－质量－质量系统，系统，物块的质物块的质量为量为mm , ,弹弹簧的刚簧的刚度系数为度系数为kk,, 物块自物块自平衡位平衡位置的初置的初始始速速度为度为v0。。求求：物块：物块的运动方的运动方程程 m kF O x解：这是已知力解：这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问lll l 0000x题。题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立牛坐标系，将物块置于任意位置牛坐标系，将物块置于任意位置x> 0 处。物块在物块在x方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力FF ＝－＝－k xii 。。根据直角坐标系中的质点运动微分方程据直角坐标系中的质点运动微分方程mm&x &x &&==ååF F ix ix m m &x &x &&＋＋kx kx ==00i i kk2 2 2 2 &x&x&&＋＋ww0 0 xx==00, , ww0 0 ==m m xx==AAssiinn((ww0 0 tt++jj) ) , , tt==00,,x x ==00;;tt==00, , x x &&==v v 0 0 v v 00mmk k AA==,,jj==00; ; x x ==v v 0 0 ssiinnttww0 0 k k mm FF ll 0km kO v0xdstO ll 0xxWm WW ＝＝mgi 讨讨论：论：xFF ＝－＝－k(x+x+ dstst））11 ）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？）、物块垂直悬挂时，运动规律如何？22 ）、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程的影响。不同，对运动微分方程的影响。 * * 质点动力学两类问题应用举例质点动力学两类问题应用举例例例题题2 2 图示一单摆。设球的质量为m，杆的质量不计，杆长为l。当杆在铅垂位置时，球因受冲击，具有水平初速v0，不计空气阻力求球的运动和杆对球的约束力。 解：本题先由已知的主动力mg求质点的运动规律，再根据求得的运动求未知约束力，故同时包含第一类问题和第二类问题。质点运动轨迹是圆弧，故用自然轴系研究dss=lq,v ==lq&dv üdtm=-mg sin qdtïï建立小球的运动微分方程：v 2ým=F-mg cosqïnrïþ讨论：（1）微幅摆动当杆的摆角很小时sinq»q运动微分方程即成mlq&&=-mg q或q&&+gq=0l 通解为：q=Asin( w0t+j)  v0q=sinwt 积分常数由起始条件决定。0wl 0v 小球的运动方程为：0 s=l q=sinwt 0 w0 2 pl 这表明小球沿圆弧作简谐运动，其周期为：T==2 pwg 0即微幅摆动的周期与摆动的初始条件无关，这种性质称为摆微幅摆动的等时性。（2）大幅摆动或圆周运动（不作研究）求约束反力：2v m 2F=mg cosq+m =mg cosq+[v +2 gl (cosq-1 )]n0l l 第一项是由重力的法向分量引起的，称为静约束力；第二项是由质点的运动引起的，称为动约束力。 □□非惯性系非惯性系中的质点中的质点动力动力学学★★质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程★★牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例★★应用举例应用举例 ★★质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程惯性参考系－惯性参考系－O x y z ss aa 非惯性参考系非惯性参考系(nononinertial reference z P system)－－o¢x¢y¢z¢zz ´´ss r绝对运动轨迹绝对运动轨迹s a－－质点质点PP 在r ´y´´惯性参考系中的运动轨迹OO ´相对运动轨迹相对运动轨迹s r －－质点质点PP 在x´´非惯性参考系中的运动轨迹O y研究质点在非惯性参考系中的运动需要先研究质点在惯性x参考系中的运动。相对位矢相对位矢rr ′′ ★★质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程ss aa 先研究质点在惯性参考系中的运z 动。动。rr ′′－－相对位矢相对位矢P zz ´´F F －－作用在质点上的力ss rr ´对质点对质点PP 应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律y´´mmaaaa==F F OO ´x´´a a－－质点的绝对加速度。质点的绝对加速度。O y根据加速度合成定理根据加速度合成定理aaaa==a a e e ++a a rr++a a CCxa a－－质点的绝对加速度质点的绝对加速度a e －－质点的牵连加速度质点的牵连加速度a r －－质点的相对加速度质点的相对加速度a C－－质点的科氏加速度质点的科氏加速度 ★★质点在非惯性系中的运动微分方程质点在非惯性系中的运动微分方程mm((aaee++aarr++aaCC))==FFmmaarr==F F --m m a a e e --m m a a CCmmaa==FF++FF++FFFFIIee==--mma a eerrIIeeIICCFFIICC==--mma a CC==--22mmωω´´v v rr非惯性系中质点的运动微分方程d22~ r ~ ¢¢dr m m 22==F F ++F F IIee++F F IICCd d t t 结论：质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。 下面讨论几种特殊情形：（1）动参考系相对定参考系作平动，有a =0C则：则：ma=F +F rIe a=0e（2）动参考系相对定参考系作等速直线平动，有a =0则：则：m a=F Cr——说明相对于惯性参考系作等速直线平动的参考系也是惯性参考系。（3）质点相对动参考系静止，有ar=0vr=0F+F=0 ——此时称为相对静止状态则：则：Ie （4）质点相对动参考系作等速直线运动，有ar=0则：则：F +F +F =0 ——称为相对平衡状态IeIC ★★牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例飞行员的黑晕与红视现象飞机急速爬高时飞行员的黑晕现象惯性参考系－地球非惯性参考系－飞机动点－血流质点牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成大脑缺血，形成黑晕现象黑晕现象。爬升时：爬升时：a e > 5g  ★★牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例飞行员的黑晕与红视现象飞机急速俯冲时飞行员的飞行员的红视现象惯性参考系－地球非惯性参考系－飞机动点－血流质点牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成大脑充血，形成红视现象红视现象。俯冲时：俯冲时：a e > 2g  ★★牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例由由于于地地球球的的自转引自转引起的起的水水流科氏流科氏惯性惯性力力。。 ★★牵连惯性力与科氏力实例牵连惯性力与科氏力实例水水流流科科氏氏惯惯性力对性力对右右岸岸的冲刷的冲刷。。 ★★应用举例应用举例例例题题33开有矩形槽的大盘以等角速度开有矩形槽的大盘以等角速度? 绕绕OO 轴旋转。矩形槽内安置物块轴旋转。矩形槽内安置物块k弹簧系统，物块弹簧系统，物块PP 的质量为的质量为m，P 弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k。。初始状态下，物块处于大盘圆心下，物块处于大盘圆心O ，，这时O 弹簧不变形。kw求：求：11 、物块的相对运动微分方程；程；22 、物块对槽壁的侧压力。 y´´解：解：11 、非惯性参考系－、非惯性参考系－ox ¢y ¢动点－物块动点－物块P x´´kkkk22 、分析相对速度和各种加速P O 度：度：vr－－沿着沿着xr 正向正向xr aa n－－由大盘转动引起由大盘转动引起e kwaa IC== 22 mm w´´vr33 、分析质点、分析质点(物块物块)受力：受力：F －－弹簧力弹簧力FF ＝＝22 kxrFF IC－－科氏力aa ICvFF －－槽对物块的约束力槽对物块的约束力rNaa nnn2e FF ICFF Ie －－法向牵连惯性力法向牵连惯性力FIe =mwx r FF nIe 44 、建立质点、建立质点(物块物块)的相对运动微分方的相对运动微分方2 2 F 程：程：mm&x &x &&r r ==--FF++FFIIe e ==--22kxkxr r ++mmwwx x r r FF Nm &y&=F -F m &y&rr=F NN-F IIC C  22k k 22&x &x &&rr++((--ww))x x r r ==00m m FFNN==2 2 mmwwxx&&rr讨讨2222kk＊当ww<<时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，m m 论：物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为22m m22ww00==--wwk k 物块物块xr ＝＝00 处的平衡位置为稳定平衡位置。2222kk＊＊当ww>>牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，m m 物块不能在物块不能在xr ＝＝00 处附近作处附近作自由振动，物块在自由振动，物块在xr ＝＝00 处的平衡是不稳定的。的平衡是不稳定的。2222kk＊＊当当ww==牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力m m 物块在物块在xr ＝＝00 处为随遇的平衡位置。处为随遇的平衡位置。 ★★应用举例应用举例例例题题44图示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。 解：建立平动坐标系ox ¢y ¢小球受力：重力mg，绳子张力F ；T还应加牵连惯性力F=-ma Ie0 相对运动动力学方程为：ma =F+mg +FrTIe切线方向的运动微分方程为m&s &=-m( g +a ) sin j0作微振动时，有sinj»js=l jg +a 0则j&&+j=0 ll周期为T=2pg +a 0 □□讨讨论论＊关于傅科摆的相对运动轨迹＊关于傅科摆的相对运动轨迹w0 ＊＊关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹惯性参考系－地心系Oxhz动参考系－O′x y z 无科氏力的运动轨迹轨迹AA O ´´AA 00 22 有科氏力的运动轨迹AA 00 AA AA ´11 2  ＊＊关于傅科摆的相对运动轨迹关于傅科摆的相对运动轨迹 例例110011曲柄连曲柄连杆机构如杆机构如图所示图所示..曲柄曲柄OOAA以匀角以匀角速速度度ww转动转动,,OOA=A=rr,AB,AB==ll,,当当ll==rr//ll比比较小时较小时,,以以OO为坐为坐标原点标原点,,滑块滑块BB的运动方程可的运动方程可近似写近似写为为æ2 2öællöæællööxx==l l çççç1 1 --÷÷÷÷++r r ççcocos s wwt t ++cocos s 2 2 wwt t ÷÷èè4 4 øøèè4 4 øø如滑块的质如滑块的质量量为为mm,,忽忽略摩擦及略摩擦及连杆连杆AABB的质量的质量,,试试pp求当求当jj==wwtt ==00和和时时, , 22连杆连杆ABAB所受的所受的力力. .  ww=常常量量,OOAA=rr, AABB=l l , m m 。。设设ll=rr<<1 已知已知:: =,=, =, =l l <<1 æ22öællöæællöö则则xx==llçççç1 1 --÷÷÷÷++rrççccoosswwtt++ccooss2 2 wwtt÷÷èè4 4 øøpèè4 4 øøp求求:: jj==00, , jj==时时杆杆AABB受受力力F F ==? ? 22解解::研究滑研究滑块块ma ma xx==--F F ccososbb22其中其中a a xx==&x&x&&==--rrww((ccososwwtt++llccosos2 2 wwtt)) 22()当当jj==00时时, , aaxx==--rrww(11++ll), , 且且bb==00, , 22得得FF==mmrrww((1 1 ++ll))pp222222当当jj==时时, , a a xx==r r wwll且且ccos os bb==l l --r r l l 22222 2 2 2 有有mmrrwwll==--FFll--rrll22222222得得FF==--mmrrwwll--rr这属于动这属于动力学第力学第一一类问题。类问题。 例例110022质量为质量为mm的的质点质点带有电带有电荷荷ee,,以速度以速度vv00进入强进入强度按度按EE==AAccoosskktt变化变化的均匀电的均匀电场中场中,,初速度方向与初速度方向与电场强电场强度度rrrr垂直垂直,,如图所如图所示。质示。质点在电场点在电场中受力中受力FF==--eeEE作作用。已用。已知知常数常数A,A,kk,,忽略质点的忽略质点的重力重力,,试求质试求质点的运点的运动轨迹。动轨迹。rrrrrr已知已知:: mm,,vv00,,EE==AAccoosskktt,,vv00^^EE,,rrrrFF==--eeEE,,不不计计重重力力求求::质点的质点的运动轨运动轨迹迹。。 rrrrrrrrrr已知已知:: mm,,vv00,,EE==AAccoosskktt,,vv00^^EE,,FF==--eeEE,,不不计计重重力力求求::质点的质点的运动轨运动轨迹迹。。2222d d v v d d x x d d v v xxd d y y y y 解解:: m m ==m m ==0 0 , , m m ==m m ==--eA eA coscoskt kt 2222d d t t d d t t d d t t d d t t 由由t t ==00时时vvxx==vv00, , vvyy==00, , vvx x 积分积分òòvvd d vvxx==0 0 00vvyyeA eA t t òò0 0 d dv v yy==--òò0 0 coscosktktd d ttmmddx x ddy y eA eA 得得v v xx====v v 00v v yy====--sin sin kt kt ddt t d d t t mmk k  rrrrrrrrrr已知已知:: mm,,vv00,,EE==AAccoosskktt,,vv00^^EE,,FF==--eeEE,,不不计计重重力力求求::质点的质点的运动轨运动轨迹迹。。由由tt ==00时时x x ==y y ==0 0 ,,积积分分xxtty y eeAAttòòd d x x ==òòv v 00d d t t ,,òò00d dyy==--òò00ssiin n kkttd d tt0000mmkk得运动方得运动方程程eA eA x x==v v tt, , y y ==((cos cos ktkt--1 1 ))002 2 mmk k 消去消去tt, , 得轨迹方得轨迹方程程eAeAééææk k ööùùy y==22êêcocos s ççççx x ÷÷÷÷--11úúmmk k ëëèèv v 0 0 øøûû这是第二这是第二类基本类基本问问题。题。 例例110033一圆锥摆一圆锥摆,,如图所示如图所示。质量。质量mm==00..11kkgg的的小球系于小球系于长长ll==00..33mm的绳上的绳上,,绳的另一端绳的另一端系在固定系在固定点点OO, , oo并与铅直并与铅直线成线成qq==6600角。如小球在水角。如小球在水平面内作平面内作匀匀速圆周运速圆周运动，求动，求小小球的速度球的速度vv与绳与绳的张的张力。力。oo已知已知: : m m ==00. . 11kkgg, , l l ==00. . 33mm, , qq==6600匀速匀速求求:: vv,,FF 00已知已知: : m m ==00. . 11kkgg, , l l ==00. . 33mm, , qq==6600匀速匀速求求:: vv,,FF22v v 解解: : 研究小球研究小球，，mm==FFssiin n qqllFFccoossqq--mmgg==00其中b=lsinq解得mmggFF====11. . 9966N N ccoossqq22vv==Fl Fl sin sin qq==2 2 . . 1 1 m m m m s s 这是混合这是混合问题。问题。 例例110044粉碎粉碎机滚筒半机滚筒半径为径为ＲＲ，，绕通过中绕通过中心的水心的水平轴匀速平轴匀速转动，转动，筒筒内铁球由内铁球由筒壁上筒壁上的的凸棱带着凸棱带着上升。上升。为了使小为了使小球获得球获得粉粉碎矿石的碎矿石的能量，能量，铁铁球应在球应在qq==qq00时才掉下时才掉下来。求来。求滚滚筒每分钟筒每分钟的转数的转数n n 。。已知已知::匀速转动。匀速转动。qq==qq00时时小球掉下小球掉下。。求求::转速转速n.n. 已知已知::匀速转动。匀速转动。qq==qq00时时小球掉下小球掉下。。求求::转速转速n.n.22v v 解：研究解：研究铁球铁球m m ==FFNN++mmg g ccoossqqRRppnn其中其中vv==R R 3300当当qq==qq00时时, , FFN N ==00, , 解得解得g g nn==99. . 55449 9 cocossqq00RRg g 当当nn³³99..49 49 时时,,球不脱离筒壁球不脱离筒壁。。RR ★★刚刚体对轴转体对轴转动惯量动惯量2J=åmr z i i 如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式2 J=rdmzòm1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算(1)长长为为ll ，，质量为质量为m 的均质细长杆的均质细长杆l 2m212J=x dx =mlz ò-l 2l12 R2m312J=r dr =mR zò02R 2(2)半半径为径为RR ，，质量为质量为m 的均质薄圆盘的均质薄圆盘2. 惯性半径（或回转半径）在工程中，常将转动惯量表示为2J=mrz z ——m为刚体的质量，rz称为回转半径回转半径的物理意义为：r若将物体的质量集中在以为半径z、Oz为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变 常见均质物体的转动惯量和回转半径形状简图转动惯量惯性半径体积m lJ=l 2rzC==0 . 289 l23 细z3直m l 杆J =l 2 rz==0. 578l zC312薄壁2r=R 圆J z=mR z2pRlh筒12R J z=mR rz==0 . 707 R 圆2 2rx=ry2柱J x=J y pRl 122m(2 2 )=(3R +l )=3 R +l1212 空心m12 2 plR 2-r 2 22r=(R+r)()J=(R+r)zz2 圆2柱薄壁2223空J z=mR rz=R=0 . 816 RpRh33 2 心球22 实J z=mR 43 5 2pRr=R =0. 632R 心z53球 32 J =mr 3zr=r=0 .548 r圆10z10 p锥r2 l体J x=J y rx=ry 33(2 2 )32 2 =m 4r +l =(4 r +l )8080 æ2 32 ö3圆J z=m çR+r÷r=R 2 +r 2 环è4 øz42p2 r2 R m (22)122J=a+br=a+b椭zz42圆mb2r=形Jx=b xpabh42薄ma板2r=J y=a y42 J =m(b2+c 2)1(22)xrx=b +c1212 立m(2 2 )J =a +b 方z121(22)r=a+bzabc 体12m(2 2 )J =a +c y121(2 2 )r=a +cy12 J =ma21(22)yrz=a +b 矩1212 形m(22)J z=12a+brx=0. 289 b abh薄m 2 板Jx=b ry=0.289 a 12 3．转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即2J=J+md z¢zC 注意点：（1）两轴互相平行（2）其中一轴过质心；（3）过质心的轴的转动惯量最小。