大学理论力学课件 第13章 虚位移原理

第十三章第十三章虚位移原虚位移原理理 §13-1§13-1约束约束∙∙虚位移虚位移∙∙虚功虚功11约束约束及其分及其分类类限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束，，限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程. . （1）几何约束和运动约束（1）几何约束和运动约束限制质点或质点限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为系在空间的几何位置的条件称为几何几何约束约束.. 如如222 2 2 2 xx++y y ==l l  ff((x x ,,y y , , zz))==0 0  222222xxAA++yyA A ==rr2222((xxB B --x x A A ))++((y y B B --y y A A ))==l l y y B B ==00限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束.. v v AA--r r ww==00xx&&AA--rrjj&&==00 22定常约定常约束和非束和非定常约定常约束束约束条件随时间变化的称约束条件随时间变化的称非定常约束非定常约束,,否则否则称定常约束称定常约束.. 222 2 rr2 2 xx++yy==((l l 0 0 --vvt t )) （3）其它分类（3）其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限形式的约束称形式的约束称非完整约束非完整约束,否则为,否则为完整约束完整约束..约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束），），约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约非固执单侧约束束）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；f f , , ((x x 1 1 , , y y 1 1 , , z z 1 1 , , LL, , x x nn, , y y n n , , z z n n ))==00i i ==11, , 22, , LL, , s s nn为质点系数为质点系数SS为约束方程数为约束方程数 22虚虚位移位移在某瞬时在某瞬时,,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,,可能实现的任何可能实现的任何无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移. . rr虚位移虚位移ddr r ,,ddxx, , ddjj等等rr实位移实位移ddrr,,ddxx,,ddjj等等33虚功虚功力在虚位移中作的功称虚功力在虚位移中作的功称虚功.. rrrrddW W ==FF××ddrr44理想约理想约束束如果在质点系的如果在质点系的任何虚位移中任何虚位移中,,所有约束力所作虚功的和所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束.. rrrrddWWNN==ååddWWNNi i ==ååFFNNi i ××ddrri i ==00 §§13-213-2虚位移原理虚位移原理设质点系处于平衡,有设质点系处于平衡,有rrrrFFi i ++FFNNi i ==00rrrrrrrrFFii××ddrrii++FFNNii××ddrrii==00rrrrrrrrååF F ii××ddr r ii++ååF F Ni Ni ××ddr r ii==00rrrr即即ååF F i i ××ddr r i i ==00或记为或记为ååddWWFi Fi ==00此方程称此方程称虚功方程虚功方程,,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理虚位移原理或或虚功原理虚功原理::对于具有理想约对于具有理想约束的质点系束的质点系,,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是::作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零等于零. . åå((FFxxi i ddx x i i ++F F yyi i ddy y i i ++F F ziziddz z i i ))==00解析式为解析式为 例15-1例15-1如图所示,在螺旋压榨机的手柄如图所示,在螺旋压榨机的手柄ABAB上作用一在上作用一在rrrr水平面内的力偶(水平面内的力偶(FF,,F F ¢¢),其力矩),其力矩MM==22Fl Fl ,螺杆的导,螺杆的导程为程为h h ..求求::机构平衡时加在被压物体上的力机构平衡时加在被压物体上的力..  解解::给虚位移给虚位移ddjj,,ddss, , ååddWWF F==--F F NNdds s ++22FlFlddjj==00ddjjddssddjj与与ddss满足如下关系：满足如下关系：==22pphhdW =ææ2Fl-F F NNh h ö÷ödj=0 åådW F F=çç2Fl-÷dj=0 èè2 2 ppøø因因ddjj是是任任意意的的，，故故FFNNh h F F ==44ppllF F 2 2 FFl l --==0 0 NN2 2 pphh 例15-2例15-2图中所示图中所示结构,各杆自重不计,在结构,各杆自重不计,在ＧＧ点作用一铅直点作用一铅直向上的力向上的力ＦＦ,,ACAC==CE CE ==CD CD ==CB CB ==DG DG ==GE GE ==l l 求求::支座支座ＢＢ的水平约束力的水平约束力..  解:解除解:解除BB端水平约束,以力端水平约束,以力FF BBxx代替,如图(b)代替,如图(b)ddw w FF==FFBBxxddxxBB++FFddyyGG==00xxBB==2 2 llccososqq,,yyGG==3 3 llssiin n qqddxxBB==--2 2 llssiin n ddqq,,ddyyGG==3 3 llccososqqddqq带入虚功方程带入虚功方程FFBBxx((--22l l ssininqdqdqq))++FF××33l l ccoossqdqdqq==0033FFBBxx==FFccoottqq22 如图在如图在CGCG间加一弹簧,刚度间加一弹簧,刚度KK,且已有伸长量,且已有伸长量dd00,仍求,仍求FBx..在弹簧处也代之以力,如在弹簧处也代之以力,如图（b),其中图（b),其中FFCC==FFGG==kkdd00ddW W F F ==0 0 FFBxBx××ddxxB B ++FFCC××ddyyCC--FFGG××ddyyGG++FF××ddyyGG==0 0 x x BB==22l l cos cos qq, , y y CC==l l sinsinqq, , y y G G ==33l l sinsinqqddx x B B ==--22l l sinsinqdqdqq, , ddy y CC==l l cos cos qdqdqq, , ddy y G G ==33l l cos cos qdqdqqF F BxBx( ( --22l l sinsinqqddqq++kkdd00l l ccoos s qqddqq--kkdd0033l l ccoos s ddqq++F F 33l l ccoos s qdqdqq==0033解得解得FFBBxx==FFccoot t qq--kkdd00ccoot t qq22 例13-3例13-3图所示椭圆规机构中,连杆图所示椭圆规机构中,连杆ABAB长为长为LL,滑块,滑块ＡＡ,,ＢＢ与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.求：主动力求：主动力FFA A 与与F F B B 之间的关系。之间的关系。 rrrr解解::(1)(1)给虚位移给虚位移ddr r A A ,,ddr r B B , , rrrrååF F ii××ddr r ii==00FFAAddr r AA--F F BBddr r BB==00rrrr由由ddrrBBcocossjj==ddr r AAsin sin jj((ddrrAA,,ddrrBB在在A A ,,B B 连线上投影相等)连线上投影相等)代入虚功方程,有代入虚功方程,有FFAAcocossjjddr r BB--F F BBddr r BB==00即即FFA A ==FFB B ttaannjj (2)用解析法.建立(2)用解析法.建立坐标系,由坐标系,由åå((F F xxiiddxxi i ++F F yyi i ddyyi i ++F F ziziddzizi))==0 0 有有--FFBBddxxBB--FFAAddyyAA==00x x BB==llcocossjj, , y y A A ==llssiin n jjddxxBB==--l l ssininjjddjj,,ddyyA A ==l l coscosjjddjj得得FFA A ==F F B B tatannjj (3)(3)虚速度法虚速度法rrrr定义定义::v rr=ddr r AA, v rr=ddr r BBv AA=,v BB=为虚速度为虚速度d d ttd d ttrrrr代入到代入到ååF F i i ××ddr r i i ==00中中,,得得FFBBv v BB--FFAAv v AA==00由速度投影定理,有由速度投影定理,有vvB B ccoossjj==v v A A ssiin n jj, , 代入上式代入上式得得FFA A ==F F B B tantanjj 例13-4例13-4如图所示机构,不计各构件自重与各处摩如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩ＭＭ与主动力与主动力ＦＦ之间的关系之间的关系.. 解:给虚位移解:给虚位移ddqq,,ddrrccååddwwF F ==M M ddqq--F F ddr r cc==00由图中关系有由图中关系有ddr r e e ddrraa==sinsinqqhhhhddqqddr r ee==OOB B ddqq==dqdq, , ddr r CC==ddr r aa==22sisinnqqsisinnqqFh Fh 代入虚功方程得代入虚功方程得MM==22sisinnqq 用虚速度法用虚速度法::h h h h wwvvee==OB OB ××ww==ww,,vvaa==vvC C ==22sinsinqqsin sin qqFFhh代入到代入到M M ww--FFvvC==00中中, , 亦亦得得M M ==C22ssininqq用建立坐标用建立坐标,,取变分的方法取变分的方法,,有有M M ddqq++F F ddx x CC==00x x C C ==hhcocot t qq++BC BC hhddqqddx x C C ==--22sisinnqqFh Fh 解得解得MM==22sinsinqq 例13-5例13-5求图所示无重组合梁支座求图所示无重组合梁支座ＡＡ的约束力.的约束力.求求::F F AA 解：解除解：解除AA处约束，代之处约束，代之F F A A ，给虚位移，如图，给虚位移，如图（（bb））ddWWFF==F F AAdds s AA--F F 11dds s 1 1 ++MMddjj++F F 2 2 dds s 2 2 ==0 0 ddssA A 331111djdj==, , dds s 11==33ddjj==dds s A A , , dds s M M ==1111djdj==dds s A A 888888444 4 111 1 111 1 ddss2 2 ==ddssM M ==××ddssAA==ddssAA7 7 7 7 8 8 114 4 33111111代入虚功方程,得代入虚功方程,得F F AA==F F 11--F F 2 2 --M M 88114488