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土力学课件第三章地基中的应力 本章主要内容3.1概述3.2土的自重应力3.3自重应力系有效应力原理3.4基底接触应力分布及简化计算3.5地基中的附加应力—空间问题的解及其应用3.6地基中的附加应力—平面问题的解及其应用3.7非均质和各向异性地基中的附加应力3.8其他条件下地基中的应力计算 自重应力——由土体自身重量所产生的应力。附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。基底压力附加应力地基沉降变形基底反力基础结构的外荷载下卧层持力层地基基础FG主要受力层概述土中的应力分为两种：建筑物修建之前已经存在，也称为初始应力建筑物修建之后的在自重应力基础上增加的应力 §3.2土的自重应力1、竖向自重应力单位面积上土柱的重量地面Z式中：为土的天然重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。 地面z土的自重应力式中：为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。地下水位以下的土： 地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加土的自重应力h1地面h2h3 分布规律自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；在土层分界面处和地下水位处发生转折。均质地基成层地基土的自重应力 K0——土的侧压力系数，它是土体在侧限条件下水平有效应力与竖向有效应力之比，K0与土层的应力历史及土的类型有关。见表3.2.1，对一般地基K0＝0.5左右。无侧向变形（有侧限）条件下：2、水平自重应力土的自重应力根据弹性力学中广义虎克定律：czcycx 3、土坝的自重应力对于中小型坝，可以采用简化计算，即：忽略土体中剪应力的作用，认为土柱间相互独立，也就是任一点的自重应力等于其上部土柱的重量σc=γH。对于重要的土坝要进行有限元分析。土的自重应力 例：某地基土由四层土组成厚度与容重如图，试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应力曲线。土的自重应力44332211ZOh4=2.0mh3=1.5mh2=2.0mh1=2.5m 1-1面2-2面3-3面4-4面土的自重应力 土的自重应力 地下水位下降，会引起原地下水位以地基土中的总应力，自重应力，有效应力分别怎么变化？土的自重应力 地下水位下降引起σ’增大的部分h1h2σ’=σ-uu=γwh2u=γwh2地下水位下降会引起σ’增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。土的自重应力 上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。上部结构基础地基建筑物设计基底接触应力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力§3.4基底接触应力及简化计算 基础条件刚度形状大小埋深大小方向分布土类密度土层结构等荷载条件地基条件影响基底接触应力分布图形的因素基底接触应力及简化计算 一、基底接触应力实际分布柔性基础：刚度较小，基底接触应力与其上的荷载大小及分布相同；基底接触应力及简化计算特别地，当中心受压时，基底接触应力分布为均匀分布。 刚性基础：刚度较大，基底接触应力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。基底接触应力及简化计算砂性土地基粘性土地基小荷载极限荷载极限荷载小荷载 BLP二、基底接触应力简化计算法1、中心荷载矩形基础:BLxyPF为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KNG为基础自重和基础台阶上的土重基底接触应力及简化计算 当e＜L/6时，基底接触应力成梯形分布；pminpmaxpminpmaxdacb2、矩形面积单向偏心荷载下的基底接触应力Fv＝P＋GdacbxxyybLe基底接触应力及简化计算 当e=L/6时，基底压力为三角形分布；pmaxPmin=0pmaxPmin=0dacbFv＝P＋GdacbxxyybLe基底接触应力及简化计算 当e＞L/6时，基底压力pmin＜0Fv＝P＋GdacbxxyybLeapmaxPmin<0pmaxPmin<0dacbxxyyFv＝P＋Gpmaxpmax基底接触应力及简化计算土不能承受拉应力基底压力合力与总荷载相等压力调整 exeyxyBLFv3、矩形面积双向偏心荷载W为矩形底面的抗弯截面系数（特例）基底接触应力及简化计算 三、基础底面附加应力1、基础在地面上基础底面附加压力即为基础底面接触应力。2、基础在地面以下埋深为d基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的应力式中：p0为基础底面的平均附加应力，kpa；p0为基础底面的平均接触应力，kpa；为基地处的自重应力，kpa；d为基础埋深，m；为基础底面以上土的加权平均重度，kpa，。基底接触应力及简化计算 竖直集中力矩形内积分线积分矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载竖直线布荷载宽度积分条形面积竖直均布荷载圆内积分圆形面积竖直荷载布森涅斯克解 水平集中力矩形内积分矩形面积水平均布荷载三维问题（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下）二维问题（线性荷载，条形荷载，三角形及梯形荷载）一维问题（荷载均布于无限大的面积上，变形仅发生在一个方向上的，如自重应力） §3.5地基中的附加应力—空间问题的解及其应用假定地基：半无限空间体，线性均匀各向同性的弹性材料MyzxoFxyzrR一、布森涅斯克解(1)布森涅斯克解 M(x、y、z)点的应力：地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 其中=(r/z)称为集中荷载作用下的应力系数具体的值见教材p79表3.5.1地基中的附加应力—空间问题的解及其应用（3.5.3） 4.在某一水平面上z=常数，r=0,a最大，r↑，a减小，σz减小5.在某一圆柱面上r=常数，z=0,σz=0，z↑，σz先增加后减小1.σz应力呈轴对称分布2.σz:τzy:τzx=z:y:x,竖直面上合力过原点，与R同向3.P作用线上，r=0,,z=0,σz→∞，z→∞，σz=0(2)集中力作用下弹性半空间中σz的分布 （3）应力泡将半空间内σz相同的点连接起来就得到σz的等值线，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。集中力作用下σz的等值线地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 PP12σz1+σz2σz1σz2（4）叠加原理地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 等代荷载法——基本解答的初步应用地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 二、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力角点下的应力以矩形荷载面任一角点为坐标原点O，如右图所示。矩形均布荷载角点下的附加应力地基中的附加应力—空间问题的解及其应用在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角点法计算任意点处的应力。 在OACD上积分，即得矩形均布荷载p0在M点引起的附加应力σz：c=f(m,n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系数。c可从教材P83表3.5.2查得。L为长边，b为短边(3.5.6)地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 表3.5.2地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 2.任意点的应力—角点法角点法：利用角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中任意点的附加应力的方法。ⅡⅠabcdoⅢⅣⅠⅡabcdoσz=(CⅠ+CⅡ)p0σz=(CⅠ+CⅡ+CⅢ+CⅣ)p0当o点位于荷载面中心时，CⅠ=CⅡ=CⅢ=CⅣ，σz=4CⅠp0这就是角点法计算均布矩形荷载中心点下σz的解。地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 oabcdefghⅠⅡⅢⅣfⅣabcdeghoⅡⅢⅠ此时，实际荷载面abcd等于两个大的荷载面ogae(Ⅰ)、oebf(Ⅱ)之和减去两个小的荷载面ogdh(Ⅲ)、ohcf(Ⅳ)，所以：σz=(CⅠ+CⅡ-CⅢ-CⅣ)p0此时，实际荷载面abcd等于新的大荷载面ohbe(Ⅰ)减去两个长条荷载面ogce(Ⅱ)、ohaf(Ⅲ)后，再加上公共荷载面ogdf(Ⅳ)，所以：σz=(CⅠ-CⅡ-CⅢ+CⅣ)p0 如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。例题地基中的附加应力—空间问题的解及其应用HAOGFEQbadc （2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／1=2z／b=1／1=1查表3.5.2得ac=0.1999，所以σzo=4acp0=4×0.1999×131＝104.75（kPa）（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。HAOGFEQbadc地基中的附加应力—空间问题的解及其应用【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件p0=p－γ0d＝140－18×0.5＝131kPa A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数ac相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／2=1z／b=1／2=0.5查表应用线性插值方法可得ac=0.2315，所以σzA=2acp0=2×0.2315×131=60.65（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2.5／2=1.25z／b=1/2=0.5查表3.5.2，利用双向线性插值得ac=0.2350地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2／0.5=4z／b=1／0.5=2查表3.5.2，得ac=0.1350，则σzH可按叠加原理求得：σzH=（2×0.2350－2×0.1350）×131=26.2（kPa）地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 三、矩形面积上作用竖直三角形荷载设竖直荷载沿矩形面积的b边呈三角形分布，沿l边荷载分布不变，最大荷载强度为p0，取荷载强度为零的边上的角点1为坐标原点，如右图所示。则荷载面上任意微元dA=dxdy上的等效集中荷载为矩形面积上作用三角形分布时角点下的附加应力地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点引起的竖向附加应力dσz为：将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度z处所引起的竖直附加应力σz为σz=tcp0式中tc=地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 tc为m=l/b，n=z/b的函数，称为矩形面积竖直三角形荷载角点下的附加应力系数，其中tc可由教材P88表3.5.3查得。注意：b为荷载变化方向的边长，l为荷载不变方向的边长。地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 四、圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载p0，圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为式中查表3.5.4圆形面积作用竖直均布荷载时的应力分布系数为应力计算点到z轴的水平距离地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 §3.6地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 一、弗拉曼解及其应用为了求解条形荷载作用下地基中的附加应力，先来介绍线布荷载作用下的解答。将y轴置于线荷载作用线上，如右图所示。根据布森涅斯克解，某微段的等效集中荷载dP=dy在M点引起的竖向应力为：竖直线荷载作用下地基中的附加应力分析在实际工程中当荷载面积的长宽比l/b≥10时，可以看作条形荷载，按平面问题求解。地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 式中：R0为M点至坐标原点的距离，地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 条形基底均布荷载作用下地基附加应力查表3.6.1p0M二、条形面积上的竖直均布荷载地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 三、条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zpmdz/b应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：σz＝aspm式中：as为条形基底三角形分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是n`=x/b，m=z/b的函数。注意：（1）原点在尖点（2）X轴正向与荷载增大方向一致查表3.6.2地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 判断题：附加应力大小只与计算点深度有关，而与基础尺寸无关（）基底附加压力是基底压力的一部分（）完全饱和土体，含水量w=100%（）根据达西定律，渗透系数越高的土，需要越大的水头梯度才能获得相同的渗流速度（） 有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平均重度为21kN/m3，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m、路基中线右侧2.0m的A点处附加应力是多少？ 解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式与路基的断面形式相同，如图其中：p=h=212=42kPa将荷载分为三块，如图，分别建立坐标系，对每一块荷载A点引起的竖向应力计算如下：对于1，有：x/b=7.5/3=2.5，z/b=2.5/3=0.833,查表，有： 对于2，有：x/b=2/5=0.4，z/b=2.5/5=0.5，查表，有：对于3，有：x/b=3.5/3=1.17，z/b=2.5/3=0.833，查表，有：所以得： §3.7非均质和各向异性地基中的附加应力前述计算分析中，均假设土体为均质、各向同性的线弹性体。实际工程的地基经常是由具有不同压缩性土质形成的成层地基，也有一些土层随深度变化，土的变形模量明显增加且在土层水平方向与竖直方向明显不同，这时附加应力的分布将会有所变化，计算中应考虑其影响。 （一）双层地基的影响土层的松密、软硬差别常常是很大的。如在软土地区常可遇到一层硬粘土或密实的砂覆盖在较软的土层上；在山区，常可见厚度不大的可压缩土层覆盖于绝对刚性的岩层上。这种情况下地基中的应力分布显然不会同前面分析的均质土层一样。非均质和各向异性地基中的附加应力 (a)刚性下卧层（上软下硬）（出现应力集中）(b)软弱下卧层（上硬下软）（产生应力扩散）图双层地基中的竖直应力σz非均质和各向异性地基中的附加应力 （二）变形模量随深度增大的地基实际地基中土的变形模量E0随深度的增加而增大，特别是砂土。这一特点是土体在沉积过程中形成的。弗罗利克对集中力作用下这种地基中的附加应力进行了研究，提出的半经验公式：非均质和各向异性地基中的附加应力式中：为应力集中因数，对粘土或完全弹性体，这时与（3.5.1a）相同；对于硬土， （三）各向异性地基沃尔夫在假定地基竖直和水平方向的泊松比相同，但变形模量不同的条件下，导得均布线荷载下各向异性地基的附加应力为 总结一、几个重要概念自重应力，基底接触应力，地基附加应力二、土中应力符号的规定XZY 三、竖向自重应力和水平自重应力的计算h1地面h2h3K0——土的侧压力系数 四、基底接触应力的简化计算中心荷载矩形基础单向偏心荷载矩形基础双向偏心荷载矩形基础e＜L/6e=L/6e>L/6 五、地基中附加应力的计算（空间问题）(一)布森涅斯克解(二)矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力角点下的应力 2.任意点的应力—角点法ⅡⅠabcdoⅢⅣⅠⅡabcdoσz=(CⅠ+CⅡ)p0σz=(CⅠ+CⅡ+CⅢ+CⅣ)p0当o点位于荷载面中心时，CⅠ=CⅡ=CⅢ=CⅣ，σz=4CⅠp0这就是角点法计算均布矩形荷载中心点下σz的解。地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 oabcdefghⅠⅡⅢⅣfⅣabcdeghoⅡⅢⅠσz=(CⅠ+CⅡ-CⅢ-CⅣ)p0σz=(CⅠ-CⅡ-CⅢ+CⅣ)p0 (三)矩形面积上作用竖直三角形荷载在零角点下任意深度z处所引起的竖直附加应力σz为σz=tcp0(四)圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力 五、地基中附加应力的计算（平面问题）（1）弗拉曼解及其应用（2）条形面积上的竖直均布荷载p0M （3）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力σz＝aspmn=x/b，m=z/b的函数 EndofChapter2结束