控制测量学课件.ppt

几何大地测量------确定地球的形状和大小与地面点的位置。第一章绪论1.1控制测量的任务及其基本内容现代大地测量｛几何大地测量物理大地测量空间大地测量GPS1.1.1控制测量的任务⑴控制测量是研究精确测定地面点空间位置的学科。X,Y,HL,B,H⑵控制测量的服务对象主要是各种工程建设、城镇建设和土地规划与管理工作。测量范围比大地测量小，测量手段多样化。⑶工程建设大体可分为设计、施工、运营3个阶段。设计阶段------测图控制网施工阶段------施工控制网运营阶段------变形观测专用控制网 1.1.2控制测量的基本内容1.研究建立工程和国家水平控制网和精密水准网的原理和方法2.精密测量仪器的使用3.测量成果向椭球面及平面的转换计算4.各种网型的平差计算1.2控制测量的基准面和基准线1.2.1铅垂线与大地水准面引力离心力重力图1-2引力测量外业的基准面------大地水准面基准线------铅垂线1.2.2参考椭球与总地球椭球大地水准面是个物理面，不是数学面。参考椭球：形状和大小与本国或本地区的大地体相近并且两者的相对位置确定的两极略扁的旋转椭球测量计算的基准面总地球椭球 1.2.3垂线偏差与大地水准面差距1.3控制测量的现状与发展1.空间测量技术给控制测量学注入了新的活力2.信息时代的控制测量仪器和测量系统已形成数字化、智能化和集成化，空间测量和地面测量仪器和测量系统出现互补共荣。3.控制网优化设计理论和应用得到长足发展，测量数据处理和分析理论取得许多新成果。4.电子计算机促进控制测量工作旧貌换新颜。 第2章水平控制网的技术设计2.1国家水平控制网建立的原理2.1.1建立国家水平大地控制网的方法1.常规大地测量法1）三角测量法网形、起算数据和推算元素、2）导线测量法3）边角网和三边网2天文测量法3现代定位新技术2.1.2国家水面控制网的布设原则1.分级布网，逐级控制2.应有足够的精度3.应有足够密度4.应有统一的规格2.1.3国家水面控制网的布设方案1.一等三角锁------骨干，沿经纬线布设，起算边，拉普拉斯方位角，锁长，平均边长，三角形个数，测角中误差。2.二等三角锁、网------全面基础。3.三、四等三角网------插网、插点。 2.2工程水面控制网的布设原则和方案2.2.1工程测量水平控制网的分类1.测图控制网2.施工控制网3.变形观测专用控制网2.2.2布网原则1.分级布网，逐级控制2.应有足够的精度3.应有足够密度4.应有统一的规格2.2.3工程测量水平控制网的特点1.各等级三角网平均边长短于同等级国家网平均边长2.三角网的等级较多3.各等级控制网均可作为测区的首级控制4.三四等三角网起算边相对中误差，按首级网和加密网分别对待2.2.4专用控制网的布设特点 2.4导线网的精度估算2.4.1等边直伸导线的精度分析一组符号：u------点位的横向中误差t------点位的纵向中误差M------点位中误差D------端点下标Z------中点下标Q------起算数据误差影响的下标C------测量误差影响的下标1、附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差对于附合导线，由于角度经过配赋坐标方位角闭合差，角度的精度提高了，因此角度误差引起的导线的横向中误差也会减少，由于测边误差引起的导线端点纵向中误差 再考虑系统误差λ的影响，导线端点D由于测量误差C引起的纵向中误差2、附合导线平差后的各边方位角中误差下面仅就等边直伸导线的情况进行推算。 (2-45)分析式（2-45）表2-7图2-18，得出四点结论。见教材45页 3、附合（等边直伸）导线平差后中点的纵向中误差再考虑系统误差，得导线中点因测量误差产生的中误差4、附合（等边直伸）导线平差后中点的横向中误差5、起算数据误差对附合导线平差后中点点位的影响AB边长的误差对导线中点纵向误差产生的影响：起始方位角误差对导线中点引起的横向误差：附合导线平差后中点的点位中误差： 6、附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差比例关系 2.5工程测量水平控制网技术设计书的编制1.搜集和分析资料1）测区内各种比例尺的地形图2）已有的控制测量成果3）测区自然地质情况4）已有控制点的保存情况5）调查测区行政区划分、交通和物资供应情况2.网的图上设计从以下几方面考虑1）技术指标方面2）经济指标方面3）安全方面方面4）图上设计的方法步骤（1）展绘已知点（2）按要求从已知点扩展（3）判断点间通视（4）精度估算（5）拟定水准联测路线（6）根据设计成果，写出文字说明，并拟定作业计划 3.编写技术设计书1）作业的目的及任务范围2）测区的自然、地理条件3）测区已有测量成果，标志保存情况，已有成果的精度分析4）布网依据的规范，最佳方案的论证5）现场踏勘报告6）各种设计图表7）主管部门的审批意见2.6选点、建标和埋石2.6.1选点将图上设计的点位落实到实地；选点时使用的工具选点任务完成后，应提供下列资料：选点图点之记三角点一览表2.6.2觇标高的确定1.影响通视的因素球气差的影响：V=p-r=0.42*s2/R视线需高出障碍物的距离a。2.确定觇标高度的方法 如图2-21连结AB确定障碍物C点的高程并计算相对AB点的高差。具体计算方法见图2-22图2-21 2.6.3觇标的建造1.测量觇标的构成与类型1）测量觇标的构成2）测量觇标的类型外业观测最有利时间2.微相位差照准圆筒3.觇标的建造2.6.4中心种新标石的埋设 第3章精密测角仪器和水平角观测3.1精密测角仪器的结构特点我国仪器系列标准型号国外仪器型号、厂名J1（北光）T3瑞士威特WILDDKM3瑞士克恩KERNNO3英国华兹WATTSOT-02苏联J2（北光、苏光、江光）T2瑞士威特WILDTheo-010东德蔡司ZEISSDKM2瑞士克恩KERNTheo-2东德Freiberger厂OTC苏联TE-B3匈牙利MOM1、类型：精密光学经纬仪；精密电子经纬仪。我国精密光学经纬仪系列标准有DJ07、DJ1（T3）、DJ2（T2）2、特点（精密光学经纬仪）：1）角度标准设备2）目标照准设备3）设有强制归心机构4）制造材料可靠 3.2结合J2经纬仪实物讲解其构造、各部件的使用及注意事项3.3光学经纬仪读数度盘构造；测微器构造J2光学经纬仪对径读数的规则：旋进测微手轮，使度盘正倒像分划线精确重合。1读度，找具备下列三个条件的分划线：⑴正倒像相差180度；⑵正像在左，倒像在右；⑶正倒像的对径（度）分划相距最近，以正像的（度）分划线为准读度数。2读十位分数，将正倒像相应的分划线间所夹的格数乘以度盘分划值的一半（J2为10分），就是十位分数。3在测微器（盘）读取个位的分数及秒数。174°03′02.7″42°57′39.0″ T2285°51′55.0″94°22′44.0″ 3.3精密测角的误差影响重点：影响精密测角的误差来源；精密测角的一般原则难点：水平角观测中消除或减弱误差影响的措施外业观测误差来源三方面:1.外界条件的影响2.仪器误差的影响3.观测者观测误差的影响一、外界条件的影响（一）大气的影响1.密度的变化对目标成像稳定性的影响2.大气透明度对目标成像的影响 （二）水平折光的影响1产生的原因：水平方向大气密度不同。见图3-20δ为微分折光图3-20 2温度与大气密度的关系见图3-21图3-42见图3-21 3观测时间、地物地貌对水平折光的影响见图3-22，见图3-23图3-22图3-23 4消除及减弱的措施a选点时要充分考虑产生水平折光的因素b选择最有利的观测时间c将整个观测工作分配在几个不同的时间段内进行(三)、照准目标的相位差1）产生的原因2)消除或减弱误差影响的措施a上下午各观测半数测回B采用微相位照准圆筒(四)、温度变化对视准轴的影响1）产生的原因2)消除或减弱误差影响的措施按时间对称排列的观测程序(五)、外界条件对觇标内架稳定性的影响1）产生的原因2)消除或减弱误差影响的措施按时间对称排列的观测程序 二、仪器误差的影响1.水平度盘位移的影响2.照准部旋转不正确误差3.照准部水平微动螺旋作用不正确的影响4.垂直微动螺旋作用不正确的影响三、照准和读数误差的影响四、精密测角的一般原则(教材p98)1．观测应在目标或成像清晰、稳定的有利于观测的时间进行。2．观测前应认真调好焦距，消除视差。在一测回的观测过程中不得重新调焦。3．各测回的起始方向应均匀地分配在水平度盘和测微分划尺的不同位置上。4．在上，下半测回之间倒转望远镜。5．上，下半测回照准目标的次序应相反，并使观测每一目标的操作时间大致相同。6．要求每半测回开始观测前，照准部按规定的转动方向先预转1－2周。7．使用照准部微动螺旋和测微螺旋时，其最后旋转方向均应为旋进。8．为了减弱垂直轴倾斜误差的影响，观测过程中应保持照准部水准器气泡居中。 3.4.水平角观测——方向观测法重点内容：按水平角观测的一般原则，利用方向观测法进行观测、记录、计算。难点内容：重测和取舍观测成果的确定一、适用的场合方向法适用于观测两个以上的方向。当方向多于3个时，每半个测回都从一个选定的起始方向观测，在依次观测所需的各个目标后，应再次观测起始方向称为全圆观测法。 二、方向观测法一测回观测方法步骤影象演示1.以O点设站，盘左位置顺时针旋转照准部1-2周，按要求瞄准起始方向A，配置度盘，对径分划先后重合两次读取两次水平度盘读数并记录。2.顺时针转动照准部，按要求依次瞄准B、C、D各点(不准调焦)，分别按1的方法读取数据并记录。3.顺时针方向再次瞄准目标A，读取读数并记录，此次称为上半测回归零。4.纵转望远镜成盘右位置，逆时针旋转照准部1-2周，按要求逆时针方向分别瞄准A、D、C、B、读取数据并记录。最后再按逆时针方向回到起始点A，读数并记录数据，此次称为下半测回归零。ACDBO 三、起始方向的确定四、测回数的确定J2仪器为例：三等12测回；四等9测回五、度盘配置为了减弱度盘和测微盘分划误差影响，应在开始观测前编出观测度盘表。零方向各测回度盘位置按下式计算：J1型仪器：J2型仪器：式中m——测回数；j——测回序号（j=1，2，3，…，m）。 等级三等四等仪器J1(T3)型J2(T2、010)型J1(T3)型J2(T2、010)型测回数9°′″12°′″6°′″9°′″Ⅰ00003000250000500033Ⅱ200410151115300415201140Ⅲ400817302205600825402247Ⅳ601223453255901235603353V8016306043451201645804500Ⅵ100203775543515020551005607Ⅶ1202443900525—1200713Ⅷ14028501051615—1401820Ⅸ16032571202705—1602927Ⅹ—1353755——Ⅺ—1504845——Ⅻ—1655935——度盘配置表 觇点读数2c（左+右）方向值盘左盘右2º′″″º′″″º′″º′″A0003130180002727+32500028000003027B61165353241164848+56118506116255349C133074141313073636+5133073813307134136D19822020118215958+3198220019821350057A0002625180001920+5000222420六、方向法记录与计算 七、测站限差以J2仪器为例：两次重合读数差3秒；半测回归零差8秒；一测回2c互差13秒；测回互差9秒。八、重测和取舍观测成果应遵循的原则是：(1)重测一般应在基本测回（即规定的全部测回）完成以后进行(2)因对错度盘、测错方向、碰动仪器、气泡偏离过大、上半测回归零差超限以及其他原因未测完的测回可以立即重测，不计重测方向数。(3)一测回中2c互差超限或化归同一起始方向后，同一方向值各测回互差超限时，应重测超限方向并联测零方向（起始方向的度盘位置与原测回相同）。因测回互差超限重测时，除明显值外，原则上应重测观测结果中最大值和最小值的测回。(4)一测回中超限的方向数大于测站上方向总数的1/3时（包括观测3个方向时，有一个方向重测），应重测整个测回。重测的测回数为超限的方向数 （5）若零方向的2c互差超限或下半测回的归零差超限，应重测整个测回。重测的测回数为n-1（6）在一个测站上重测的方向测回数超过测站上方向测回总数的1/3时，需要重测全部测回。测站上方向测回总数＝（n-1）m，式中m为基本测回数，n为测站上的观测方向总数。重测方向测回数的计算方法是：在基本测回观测结果中，重测一个方向，算作一个重测方向测回；一个测回中有2个方向重测，算作2个重测方向测回；因零方向超限而全测回重测，算作（n-1）个重测方向测回。练习题：水平角观测时出现下列各种情况，问如何处理？重测方向测数是多少？若基本测回数9测回，测站上方向测回总数是多少？共5个方向：1.测了三个方向时碰动了仪器；2.上半测回归零差超限；3.有一个方向2C互差超限；4.下半测回归零差超限；5.零方向2C互差超限 九、测站平差1、各方向平差值计算设A、B、C、…N表示各方向平差值；a、b、c、…n表示各测回观测方向值。2、测站观测精度的评定一测回方向观测中误差m测回方向值中数的中误差 3.5分组方向观测法分组的原因：方向数多（多于6个时）；成像受影响；观测时间长；从精度方面考虑。分组的原则：成像清晰度大致相同方向分为一组；方向数大致相同；两组都要联测两个共同的方向，其中（最好）有一个共同的零（起始）方向。3.5.1联测角的限差设两组观测时两个共同方向以i,j表示第一组联测角值第二组联测角值两组联测角的差为如果β′和β″的测角中误差分别为如果ji 3.5.2分组观测的测站平差第一组联测方向的方向值为第二组联测方向的方向值为相应的改正数为相应的改正数为条件式法方程式并解之则改正数为联测方向的平差值为 例1 例23.5.3联测两个高等（固定）方向时的测站平差条件式法方程并解之改正数联测方向平差值 方向观测值改正数归零方向平差值固定方向值100000.0+0.90.00.000000.02483215.6-0.914.73761923.4-0.9-1.821.6761921.641303832.8-0.931.952165444.5-0.943.6例3例4方向观测值改正数方向平差值固定方向值100000.000000.02382518.6-0.618.000000.03743209.509.541344942.80.643.4962425.451880425.325.3 3.6偏心观测与归心改正三心：标石中心B，仪器中心Y，照准点中心T3.6.1测站点归心改正1几个名词测站偏心：仪器中心Y偏离标石中心B测站归心改正：把测站偏心时观测的方向值归算为以标石中心为准的方向值测站归心改正数c:测站偏心距：测站偏心角：测站偏心元素：，2公式 3.6.2照准点归心改正1几个名词照准点偏心：照准点中心T1偏离标石中心B1照准点归心改正：把照准点偏心时测得的方向值归算为以标石中心为准的方向值照准点归心改正数r1照准点偏心距：照准点偏心角：照准点偏心元素:,2公式3.6.3一测站同时受到两种偏心的影响 3.6.4归心元素的测定方法1.图解法2.直接法3.解析法 第五章高程控制测量5.1国家高程基准5.1.1高程基准面------通常采用大地水准面作为高程基准面大地水准面：验潮站：（浙江）坎门，吴淞口，青岛，大连1956年黄海高程系统，1985年国家高程基准。5.1.2水准原点------青岛观象山1956年黄海高程系统，水准原点的高程值72.289m1985年国家高程基准，水准原点的高程值72.2604m两系统相差-0.0286m5.2高程控制网的布设5.2.1国家高程控制网的布设原则由高级到低级、从整体到局逐级控制、逐级加密、水准测量应达到足够的精度、一等水准网应定期复测。一二三四等。 我国国家水准网布设情况 分三期：1976年以前完成，以1956年黄海高程系统为基准。1976年至1990年完成，以1985年国家高程基准为基准的一二等网。1990年后进行的国家一等水准网的复测和局部地区二等水准。国家一等水准网共布设289条路线，总长度93360km，全网有100个闭合环和5条单独路线，共埋设固定水准标石2万多座。国家二等水准网共布设1139条路线，总长度136368km，全网有822个闭合环和101条附合路线和支线，共埋设固定水准标石33000多座。国家一二等水准网分等级平差，一等水准网先将大陆的进行平差，再求海南岛的结果。二等是以一等水准环为控制进行平差计算的。一等水准网每隔15～20年复测一次。三四等水准，加密，布设成附合路线，并尽可能互相交叉，构成闭合环。5.2.2城市和工程建设高程控制网分二三四等3个等级。首级高程控制网，一般要求设成闭合环。加密时可布设成附合路线和结点图形当测区较大可首先在１：２５０００或１：１０００００地形图上设计。应遵循下列原则：１.水准路线应尽量沿坡度小的道路布设，减少旁折光。２.距高压线有一定的距离（５０米）３.便于进一步加密４.尽量布设成环形网或结点网５.应与国家水准网联测６.注意测区已有水准测量成果的应用。 5.4精密水准仪与水准尺5.4.1精密水准仪的构造特点1高质量的望远镜光学系统40倍，50mm2坚固稳定的仪器结构3高精度的测微装置直读0.1mm，估读0.01mm4高灵敏的管水准器5高性能的补偿装置 5.4.２精密水准尺的构造特点１.一般采用因瓦合金带，变形小２.分划十分正确与精密，偶然与系统误差小３.应不宜变形４.装有原水准器５.颜色与刻划有利于观测与照准５.４.３观测读数 5.6精密水准测量的主要误差来源及其影响水准测量误差一般可分：1仪器误差2外界因素3观测误差5.6.1视准轴与水准轴不平行的误差1i角的误差影响⑴与视距成正比。⑵一个测站的影响：⑶一个测段的影响：⑷视距差的规定，视距累积差的规定设i=15//,δs=0.1mm 2φ角误差的影响3温度变化对i角的影响在观测的较短时间内，由于受温度的影响，i角与时间成比例地均匀变化，采用观测方法：奇数站：后（基）——前（基）——前（辅）——后（辅）偶数站：前（基）——后（基）——后（辅）——前（辅）5.6.2水准标尺长度误差的影响1水准标尺每米长度误差的影响f水准标尺每米间隔平均真长误差对一个测站高差应加的改正数对一个测段高差应加的改正数2两水准标尺零点差的影响a标尺零点差为Δa，b标尺零点差为Δb.减弱与消除措施：偶数站 5.6.3仪器和水准标尺（尺台或尺桩）垂直位移的影响1仪器下沉设为奇数站：后（基）a1—前（基）b1—前（辅）b2—后（辅）a2基面求得高差辅面求得高差高差平均如果仪器下沉（或上升）与时间成正比则，2水准标尺（尺台或尺桩）下沉往测返测往返平均高差进行往返测，高差取平均后水准标尺（尺台或尺桩）下沉的误差影响可大大减少。往返测尽可能路线相同。 5.9正常水准面的不平行性及其改正数的计算5.9.1水准面不平行性1水准面不平行性2重力加速度的变化可分成两部份：一是重力加速度随纬度的不同而变化的，在赤道g有较小的值，而在两极g值较大，因此水准面相互不平行，且为向两收敛的、接近椭园的曲线。二是重力异常，不规则的变化。3水准面的不平行性，对水准测量的影响⑴因为水准面不平行性，如果沿水准面观测高差不等于零（应该等于零），要加改正数。⑵用水准测量测得两点间的高差随路线不同而有差异， ⑶环形路线闭合差不等于零，理论闭合差。5.9.2正高高程系定义：正高高程系是以大地水准面为高程基准面，地面一点的正高高程（简称正高），即该点沿垂线至大地水准面的距离。（5-43～46）某点正高不随水准测量路线的不同而有差异，正高高程是唯一确定的数值可以用来表示地面的高程，但地面一点的正高高程不能精确求得。 5.9.3近似正高高程系和近似正高改正数定义高出水准椭球面H的正常重力公式正常重力公式1979年国际地球物理和大地测量联合会推荐的正常重力公式设A，B两点间的观测高差为近似正高高差为近似正高改正数水准路线AB上的近似正高改正数式中α=0.002644讨论：⑴当沿平行圈进行观测时， ⑵当沿子午线方向进行水准测量时，Δφ变化最大，ε也最大。⑶在北半球，当水准路线由南向北进行时，纬度增加，Δφ为正ε为负，即两水准面愈加靠近，正高减小。⑷当所有的水准路线测得的高差中加了近似正高改正数后，则由它们所组成的水准环，其正高高差的闭合差应等于零，所以由于水准面不平行性所产生的理论闭合差就等于构成该水准环的各条水准路线的近似正高改正数之和。5.9.4正常高高程系和重力异常改正1莫洛金斯基提出似大地水准面严密的正高求不出，近似正高没有考虑重力异常，难于通过大地水准面来确定地面点相对于作为归算面的参考椭球面的高程。原苏联科学院通讯院士M.c.莫洛金斯基鉴于正高不能严密求得，只能求得近似正高值，他提出，测量学基本的科学问题不应该是大地水准面的测定，而应该是地球表面形状的研究，只有在这个行星表面上进行精确的天文、大地和重力测量所测得的结果的基础上，才有可能来研究地球的形状，他引用了一个非常接近大地水准面的辅助面，这个表面叫似大地水准面。2正常高高程系正常高高程是以似大地水准面为基准面的高程系，地面一点的正常高高程（简称正常高），即该点到似大地水准面的距离，正常高可精确求得。利用天文重力水准测量方法可以测定似大地水准面与参考椭球面之间的距离，因此应用正常高高程系，可以有足够的精度求出地面一点到参考椭球面的距离，这样地面上的观测量就可精确地归化到参考椭球面上。对于B点正常高 对于AB两点正常高高差重力异常改正5.10水准测量的概算水准测量的概算前必须对外业观测资料进行检查，然后再进行概算。概算的主要内容有：水准标尺每米长度误差的改正数计算，正常水准面不平行的改正数计算；水准路线闭合差计算及按与测段长度成正比配赋。概略高程----近似正高，重力异常改正数在内业平差时计算，得正常高。 5.11三角高程测量5.11.1三角高程测量的基本公式1基本公式仪器高i1觇标高v2参考椭球面A/B/水准面PE，AF切线PC（水准面PE的）光程曲线PN切线PM（光程曲线PN的，也就是视线）垂直角α1。2，实测的，但真正的垂直角应为α0α1。2-α0称为折光角高差h12地球曲率半径影响折光影响 由于A，B两点间的水平距离与曲率半径R之比很小，故可认为PC近似垂直于OM，式中：C=（1-K）/2R球气差系数，S。实测的水平距离。2距离归算⑴实测距离s0与参考椭球面上边长s的关系HA,HBHm=(HA+HB)/2⑵参考椭球面上边长投影到高斯平面的距离d3用参考椭球面上边长s计算单向观测高差的公式 4用高斯平面上边长d计算单向观测高差的公式令5对向观测计算高差的公式6电磁波（光电）测距三角高程的计算公式代替四等水准光电测距高程导线主要技术要求：⑴起闭于不低于三等水准点上。⑵导线各边边长不应大于1km，高程导线的最大长度不应超过四等水准路线的最大长度(15km)。⑶测边应采用不低于II级精度的测距仪往返观测各一测回，并符合光电测距的有关规定。⑷垂直角观测应采用觇牌为照准目标，用j2级经纬仪按三丝法观测三测回。⑸仪器高觇标高应在观测前后用经过检验的量杆各测一次，精确读至1mm。5.11.2垂直角的观测方法 5.11.3球气差系数C值和大气折光系数K值的测定垂直角观测的最好时间为当地时的10h至16h，K值在0.08~0.14。直接测定C值的两种方法：⑴在水准点上进行三角高程观测，反求C值。⑵同时对向观测，解算C值。5.11.4三角高程测量的精度1观测高差中误差如何估算三角高程测量外业的精度，在理论上很难推导出一个普遍适用的精度估算公式。我国根据不同地区地理条件20个测区实测资料，用不同边长的三角形高差闭合差来估算三角高程测量的精度，有经验公式：Mh=Ps(5-79)式中，Mh对向观测高差平均值的中误差（m）s边长(km)P每公里的高差中误差（m/km）,P=0.013~0.022,取P=0.025Mh=0.025s(5-81)高差中误差与边长成正比。 2对向观测高差闭合差的限差W=h12+h213环形闭合差的限差三角形高差闭合差W=h1+h2+h3 第七章椭球面上的测量计算§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系7.1.1地球椭球的基本几何参数参考椭球具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。有关元素O为椭球中心；NS为旋转轴；a为长半轴；b为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：椭圆的第一偏心率：椭圆的第二偏心率： 其中：a、b称为长度元素；扁率反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。αe和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于用a和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：式中B为大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径），两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数，传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。长半经变化于6378135m～6378145m之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精度已很高。比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的有： 椭球参数年代长半径m扁率分母采用国家、地区海福特19066378283297.8美、阿根廷、比利时、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3苏、东欧、中、朝鲜等1975年大地坐标系19756378140298.2571975年国际第三个推荐值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系统我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。§7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系通常采用以下四种坐标系：大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）、子午平面直角坐标系及大地极坐标系。7.2.1各种坐标系的建立1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。若点不在椭球面上，还要附加另一参数大地高H，它与正常高及正高的关系为：若点在椭球面上，H=0。大地坐标系是大地测量的基本坐标系，其优点为：⑴它是整个椭球体上统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。⑵它与同一点的天文坐标（天文经纬度）比较，可以确定该点的垂线偏差的大小。 2空间直角坐标系以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示。3子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示。4大地极坐标系M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。 §7.3椭球面上的几种曲率半径为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上有关曲线的性质。过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）。7.3.1子午圈曲率半径或M与B有关，是纬度B的函数，随B的增大而增大，变化规律见教材表7-27.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无数个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之为卯酉圈。PEE/即为过P点的卯酉圈，半径用N表示。或7.3.3任意法截弧的曲率半径N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律见教材表7-3：7.3.4平均曲率半径7.3.5M、N、R的关系N＞R＞M §7.4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现介绍其计算公式。7.4.1子午线弧长计算公式我们知道，子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式。取子午线上某微分弧令P点纬度为B，P/点纬度为P点的子午圈曲率半径为M，于是有要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分值:当将克拉索夫斯基椭球元素值代入上式，则得：X=111134.861B°-32005.780sinBcosB-133.929sin3BcosB-0.697sin5BcosB当将1975年国际椭球元素值代入上式，则得：X=111133.005B°-32009.858sinBcosB-133.960sin3BcosB-0.698sin5BcosB7.4.2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,如果平行圈上有两点，其经差可写出平行圈弧长公式： §7.5大地线我们知道，两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样一条线呢？经研究确认为它是一条大地线。7.5.1相对法截线设在椭球面上任取两点A、B，其纬度分别为过A、B两点分别作法线与短轴交于点，与赤道面分别交于现证明将不重合。故当时，故因此（1）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（2）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。不重合现假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B点照准A点，则照准面同椭球面的截线为，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因法线互不相交，故和这两条法截线不重合。叫做A、B两点的相对法截线。由上式可知，当 说明，某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即法截线偏上，而由此，现将AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为右图：偏下。当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。7.5.2大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义“大地线上每点的密切面（无限接近三个点构成的平面）都包含该点的曲线法线”亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。假如在椭球模型表面A、B两点之间，画出相对法截线，然后在A、B两点上各插一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力。则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，故它实际上是两点的最短线。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，它们之间的夹角△，在一等三角测量中可达千分之四秒，可见此时是不容忽视的。大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为 在一等三角测量中，δ数值可达千分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不可忽视的。大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质可知，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。§7.6将地面观测的方向值归算到椭球面我们知道，参考椭球面是测量计算的基准面，而野外的各种测量工作都是在地面上进行的，测站点和照准点一般都超过参考椭球面一定高度，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线间存在着垂线偏差，因此，也就不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测的元素（方向和距离等）归算至椭球面上。在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。本节主要研究方向值的归算。7.6.1将地面观测的水平方向归算至椭球面----三差改正将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。1.垂线偏差改正地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。因此在每三角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正。垂线偏差的计算公式为： 2.标高差改正δh标高差改正又称由照准点高度引起的改正。我们知道，不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正以δh表示。标高差改正的计算公式为：3.截面差改正δg在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法截弧。这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正，用δg表示。AaB是A至B的法截弧，它在A点处的大地方位角为A/1，ASB是AB间的大地线，它在A点的大地方位角是A1，A/1与A1之差δg就是截面差改正。截面差改正计算公式为:式中S为AB间大地线长度，N1为测站点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。 4.三差改正的计算为了在内业计算时不影响外业观测精度，各等三角测量在归算时对取位的要求是不同的。按作业中的有关规定：一等需算至0.001//；二等为0.01//；三等和四等为0.1//。由此可以看出，在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正，但当或H>2000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。即对特殊情况应依测区实际情况具体分析，然后再确定是否加入三差改正。经过三差改正后，最后得到椭球面上相应的各大地线的方向值。 §7.7将地面观测的长度归算到椭球面根据测边使用仪器的不同，地面长度的归算可分为两种：一是基线尺量距的归算；二是电磁波测距的归算，现分别进行研究。7.7.1基线尺量距的归算将基线尺测量求得的长度加入尺段倾斜改正后，可认为它是基线平均水准面上的长度值，用s0表示。而我们所求的是椭球面上的大地线的长度s，因此产生了长度归算问题。1.垂线偏差对长度归算的影响由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面。为此在长度归算中应首先消除这种影响。假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算的影响式是：式中为在基线端点1和2处垂线偏差在基线方向上的分量；为各个测段测量的高差总和；H1和H2为基线端点1和2处的大地高。2.高程对长度归算的影响假设基线两端点已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球体面一定距离，也引起长度归算的改正。AB为平均高程水准面上的基线长度，以s0表示，现要计算其在椭球面上的长度S，由图可知: 由此得椭球面上的长度为式中即基线端点平均大地高程；R为基线方向法截线曲率半径。如果将上式展开级数,取至二次项，则有由此式可得由高程引起的基线归化改正数公式顾及以上两式，则有地面基线长度归算到椭球面上长度的公式为：7.7.2电磁波测距的归算电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。式中 §7.8椭球面上三角形的解算前面几节的方法可以将地面上的方向、起始边长及起始方位角归化到椭球体面，从而得到椭球面上由大地线组成的三角形。该网中少数的起始边是已知的，但其余各边长度是未知的，因此需通过三角形的解算求得。7.8.1用勒让德尔定理解算球面三角形椭球面上的三角形是由大地线组成的，而大地线是一条空间曲线，该曲线上每一点处的曲率半径各不相同，因此三角形解算就变得十分复杂了。经研究表明：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待，球的半径可选择为三个曲面接触点的平均曲率半径。若在半径为140KM的圆内绘一内接等边三角形，则每边的长度为240KM。这就是说，当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对应角之差小于0.001//。国家一等三角形的平均边长在25KM左右，所以将其当作球面三角形来解算精度完全可以保证。勒让德尔定理:如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。设球面三角形A0B0C0的三边为a、b、c，球面角超为ε；另一平面三角形A1B1C1，其三边也为a、b、c，但它们的角度与球面三角形的对应角度有如下关系：7.8.2球面角超计算球面角超ε的计算公式F为平面三角形的面积为：令 §7.9大地主题解算的高斯平均引数公式7.9.1大地主题解算的一般概念椭球面上点的大地经度L、大地纬度B、两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角A12,A21，通称为大地元素。如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的问题就叫大地主题解算（有正算和反算）。如图所示，已知P1点的大地坐标（L1,B1），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（L2,B2）和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标（L1,B1）和（L2,B2），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角A12和A21，这类问题叫做大地主题反解。大地主题正解和反解（大地测量主题），从解析意义来讲，就是研究大地极坐标与大地坐标间的相互变换。大地测量主题的用途：天文大地测量中计算一等点的经纬度；空间技术和航空、航海、国防等科学技术。 第八章高斯投影地面-----椭球面-----平面高斯—克吕格投影（高斯投影）§8.1高斯投影概述8.1.1地图数学投影与变形所谓地图数学投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示：(8-1)式(8-1)表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。 8.1.2控制测量对地图投影的要求1.应采用等角投影（又称正形投影）。这样①保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；②所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中,即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。8.1.3高斯投影的基本概念高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于1825～1830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。 想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差60和30度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测量采用30带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用1.50带或任意带。高斯投影60带自00子午线起每隔经差60自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国60中央子午线的经度，由690起每隔60而至1350，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用L0表示，L0=6n-3。高斯投影30带是在60带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同60带中央子午线重合，一部分同60带分界子午线重合，带号用n/表示，30带中央子午线用L表示，关系是：L=3n/。 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴，这样便形成了高斯平面直角坐标系。在我国X坐标均为正，Y坐标的最大值（在赤道上）约为330KM。为避免出现负的横坐标，可在横坐标上加500KM。此外还应在坐标前面冠以带号，这种坐标称为国家统一坐标。如某点Y=19123456.789m，该点位于19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标是：首先去掉带号，再减去500KM，最后得y=-376543.211m。由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一60带向东加宽30/，向西加宽15/或7.5/，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的拼接和使用。 由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使用权它得到广泛的推广和具有国际性。8.1.4椭球面三角系化算到高斯平面①高斯投影坐标计算②平面子午线收敛角r；③方向改化，距离改化；④换高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影。椭球面上曲线投影后变形情况：①赤道投影为一直线且为y轴。中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。赤道是投影的对称轴。③纬线是凸向赤道的曲线。所以经线和纬线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，带计算。 高斯平面上点的坐标计算：高斯平面上坐标方位计算：高斯平面上距离计算：将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：1.将起始点P的大地坐标（L,B）归算为高斯平面直角坐标x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据x,y反算B,L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。2.按（8-3）式，将椭球面上起算边大地方位角APK归算到高斯平面上相应边P’K’的坐标为方位角αP’K’，这是通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改正δ实现的。3.将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算各方向的曲率改正和方向改正来实现的。4.按（8-4）式，将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改正△s实现的。（8-3）（8-4） §8.3高斯投影坐标正反算公式8.3.1高斯投影坐标正算公式：已知某点的大地坐标L，B。计算出平面直角坐标x，y。计算公式如下：*要求学生掌握公式中的各字母的含义。其中8.3.2高斯投影坐标反算公式已知某点的x，y，计算出大地坐标L，B。计算公式如下： §8.5平面子午线收敛角8.5.1定义，用途。8.5.2公式1由求r的公式:(8-81)分析(8-81)式:①在中央子午线上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。②r为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，r也为负。③在同一经线上(l=常数)纬度愈高，也愈大，在极点处最大；在同一纬线上(B=常数)愈大也愈大。2由xy求r的公式: §8.6方向改化公式定义：8.6.1方向改化近似公式的推导AB椭球面上的大地线OED中央子午线ab大地线在高斯平面上的描写形.坐标①第一个假设，认为大地线AB距离不太长，可以假定AB所在的一块椭球面是球面，园球的半径为相应A，B的平均纬度的平均曲率半经Rm。那么大地线AB成了大圆弧，过A和B作大圆弧(卯酉圈)AD和BE垂直于中央子午线OP，ABED是球面四边形。②如果把地球当作圆球，则高斯投影变成墨卡托横轴园柱正形投影，由高斯投影知大圆弧AD和BE投影到平面上是平行于y轴的直线，由此，ad和be就是AD和BE的描写形。③由正形投影的性质是四边形的球面角超。P是四边形的面积，由此得出结论：大地线的描写形(在高斯平面上)是一条背向中央子午线的曲线。 ④第二个假设园球面ABED的面积近似的等于平面四边形abed的面积,即⑤第三个假设即把ab当做大园弧，⑥应为“+”，应为“-”。最后写成上式的误差小于0.1//，可适用于三、四等三角测量的计算。8.6.2方向改化较精密公式 我国二等三角网平均边长为13KM，当时，上式精确至0.01//，故通常用于二等三角测量计算。若时则需用下面的精密公式计算:该式精确至0.001//，适用于一等三角测量计算。8.6.3计算的检校式中分别为椭球面及平面上的方向观测值，若为角度改正数，则有：将上式两端相加得:顾及到因而得：由此可知，一个三角形的三个内角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形的球面角超的负值。此式可用来检查方向改正计算。 §8.7距离改化公式椭球体上有两点P1，P２及其大地线Ｓ。在高斯投影面上的投影为P’1，P’２及s，s是一条曲线，而连接P’1P’２两点的直线为D。由S化至D所加的改正称为距离改正一般情况下高斯投影的长度比恒大于1，则有一等三角网：二等三角网三等三角网 1530§8.8高斯投影的换带计算一、什么情况需要换带计算1.两相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制网的平差计算时2.在分带子午线附近测图时，用到另一带控制点时3.大比例测图时需要将60带化为30或1.50二、应用高斯投影正反算公式间接进行换带计算1.原理１）根据第一带P1点的（x1，y1），计算；２）根据第二带的中央子午线经度，计算P1点第二带的中央子午线经差3）根据（）计算出P1点在第二带的高斯平面直角坐标（x2，y2）2.30带与30带、60带与60带之间的换算ⅠⅡ．p1 3.60带与30带的换算（60带化为30带）30带的奇数带的中央子午线与60带的中央子午线重合；30带的偶数带的中央子午线与60带分带子午线重合。如30带的41带与60带21带中央子午线重合。1）60带与30带中央子午线重合部分不需要换带计算2）30带中央子午线与60带分带子午线重合部分的计算a根据60带的某点（x6,y6）坐标计算（B，L）b根据该点在30带中央子午线的经度L30，计算在30带内的经差l3c根据（B，l3）计算该点在30带内的坐标（x3,y3）4、30带与60带的换算（30带化为60带）4112301290126042432122P1。P2。 第九章控制测量概算平面控制网平差计算包括①概算②平差③成果表编制等三项内容。概算的目的：①系统检查和评价外业观测成果的质量；②将地面观测成果化算到高斯平面上，为平差做好数据准备工作；③计算各控制点的资用坐标，为其它急需提供未经平差的控制测量基础数据。概算的主要工作：概算的准备工作观测成果化至标石中心观测值化至参考椭球面椭球面观测值化至高斯平面观测质量检查资用坐标的计算 由于各等级控制测量要求的精度不同，概算中的计算项目、公式以及做法也略有区别。如在一、二等三角测量概算中，要按上述完整程序逐一进行外，有些步骤还要经过有限的逐渐趋近才能得以实现；而在三、四等测量概算中，在某些情况下9.1.1外业成果资料的检查（如时）一般可将大地水准面上的观测值直接看作参考椭球面上的观测量，与一、二等三角测量概算相同，但相应的计算公式可以简略一些。现以二等三角测量概算为例进行讨论，并对其它各等作必要的说明。其它计算项目§9.1概算的准备工作检查的主要内容和项目：1.观测手簿2.归心投影用纸3.仪器检查资料及其它9.1.2已知数据表和控制网略图的编制§9.2观测成果化至标石中心的计算9.2.1三角形近似边长及球面角超的计算1.近似边长计算为计算归心元素、近似坐标、球面角超及三角形高程推算，须计算三角网中各边的近似边长。计算按三角学正弦公式进行近似边长计算到0.1m，当边长解算闭合到已知边上时，其闭合差不得超过0.5n，其中n为推算时用到的三角形个数，若ws合限，则按下式分配 是由已知边至闭合边的三角形序号，式中是第个三角形待定边的改正数通常起算边长为球面上的大地线长度，故计算的近似边长为球面边长。为便于以后近似坐标计算，还应计算近似平面边长，2.球面角超的计算为了检查方向改正计算的正确性和近似平面角的计算，要计算球面角超。9.2.2观测值化算至标石中心的计算若三、四等则计算至0.01秒，取至0.1秒计算归心改正数时，应特别注意：(1)测站点归心改正数是改正本测站观测各照准点的方向值；而照准点归心改正数是改正周围各测站观测本点的方向值；(2)当观测的零方向和偏心角所量的零方向不一致时，应化成测站零方向后再计算；(3)特别注意c(r)的正负号；(4)对于大偏心，应采取更严密的公式进行计算。§9.3观测值化至椭球面上的计算9.3.1预备计算其内容包括水平方向的归化改正（三差改正）、长度归化改正和天文方位角归化为大地方位角的计算。在这些公式中需要有关边长的近似大地方位角，为此需进行一些必要的预备计算工作。 1.三角形闭合差及测角中误差的计算计算三角形闭合差的目的是为了计算近似平面归化角和测角中误差；而求近似平面归化角的目的是为求近似坐标方位角和各点的近似坐标作准备。所有计算工作在表格中进行。将球面角超按分到各角上。三角形闭合差按下式计算：按平均分配给各角。测角中误差按菲列罗公式计算2.近似坐标计算为计算近似子午线收敛角（为求近似大地方位角用）及方向改化和距离改正，需计算各三角点的近似坐标。3.近似子午线收敛角及近似大地方位角的计算计算目的是为了计算近似大地方位角，而计算近似大地方位角的目的是为满足观测值归化至椭球面上的各项计算所需。近似子午线收敛角公式：4.已知数据的换算1)平面直角坐标换算为大地坐标为计算已知点的子午线收敛角日r和垂线偏差分量，当已知点的起算坐标为高斯投影平面直角坐标x,y时，则应将其换算为大地坐标。2)已知点子午线收敛角的计算为将已知点上的天文方位角换成大地方位角，应该先计算出该点上的子午线收敛角 5.垂线偏差分量的计算6.大地水准面差距的计算7.三角点上的三角高程计算9.3.2观测值化至椭球面上的计算1.观测方向值归化改正数的计算水平方向归化到椭球面上须在测站平差和归心改正后的方向值中加入以下三项改正：1)垂线偏差改正2)标高差改正3).由法截弧方向化为大地线方向的改正2.基线长度和观测边长的归化改正起算边长及实测边长都应归化为椭球面上的大地线长度。3.起始方位角的化算已知的起始天文方位角或实测的天文方位角都必须归化成椭球面上大地方位角。至此，已将地面观测值都归化到椭球面。§9.4椭球面上的观测值化至高斯平面上的计算为了在平面上进行平差，还必须将椭球面上的观测值化至高斯平面上，这项工作包括方向改化、距离改化和大地方位角化算为坐标方位角等三项内容。9.4.1方向改化的计算为将椭球面上方向值化算到高斯平面上，需计算方向改化用的方向改正数。 9.4.2距离改化计算为把椭球面上大地线的长度化算为高斯平面上的直线长度，需计算距离改化的改正数，9.4.3大地方位角化算为坐标方位角的计算为在高斯平面上进行坐标计算，要求推求各边的坐标方位角，为此需把起始大地方位角化算成坐标方位角至此，观测成果及有关已知数据的化算工作已全部结束。§9.5依控制网几何条件检查观测质量9.5.1依控制网几何条件检查观测质量的主要内容外业成果质量检查的内容和步骤：①计算角度条件闭合差并用限差值进行检验，接近限差值的角度条件只能是个别的；②按菲列罗公式计算测角中误差，并依本三角网相应等级规定的测角中误差进行检验；但参与计算测角中误差的三角形闭合差个数应在20个以上，如果少于此数值，算出的测角中误差只作参考不作为检核的依据；③计算正弦条件闭合差并用限差值进行检验，同样接近限差的正弦条件应是个别的。以上项目的检查，一般在三角网略图上依次进行。9.5.2依几何条件查寻闭合差超限的测站在检查中，如发现某项检验不通过，应集中全力全面分析和寻找可能出现大误差的测站，进行重测，以保证最后结果全部合乎限差要求。现举例说明： §9.6资用坐标计算资用坐标是用概算后的平面方向值推算的，由于没有经过平差，所以是一种概略坐标。资用坐标用途：1)某些地区因任务紧迫，急需平面坐标，此时只有提供资用坐标，以满足测区和其它一般性工作的需要；2)坐标的另一用途是按坐标平差法平差三角网时作近似坐标用。根据实践证明，资用坐标点位中误差在1.5m范围内，这对控制1:5万或1:2.5万比例尺测图，精度是够用的。资用坐标的计算方法：至此，概算工作已全部完成。ABCDE-8.1″+7.8″+1.1″-0.5″+2.1″-8.5″+6.8″+2.1″-0.4″ABCD 等小数级位项目一二三四观测方向值近似球面边长球面角超第二次近似球面边长归心改正数测站平差后方向值第一次近似坐标三差改正数化至球面方向值第一次曲率改正数第二次近似坐标第二次曲率改正数化算至平面方向值三角形闭合差测角中误差极条件闭合差基线条件闭合差方位角条件闭合差资用坐标资用方位角资用边长0.01//1m0.001//----0.001//0.01//0.01km0.001//0.01//0.1//0.1m0.001//0.01//0.01//0.01//对数第七位对数第七位0.01//0.01m0.01//0.01m0.0110.01----0.010.010.010.010.010.110.010.010.010.01对数第六位对数第六位0.010.010.010.010.110.10.1m0.10.10.01----0.10.1-------0.10.10.1对数第六位对数第六位0.10.10.10.10.110.10.10.10.10.01----0.10.1--------0.10.10.1对数第六位对数第六位0.10.10.10.1 第12章工程控制网间接平差§12.1三角网坐标平差第十二章概述间接平差又称参数平差。水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。因此，坐标平差法都按方向平差。间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未知数可采用一定的法则予以消掉。由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。 为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。坐标平差的第一步是列组误差方程式。对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。12.1.1方向误差方程式的建立和组成在测站k上观测了等方向其方向观测值为它们的改正数为为测站的零方向（起始方向），则任意方向的坐标方位角平差值方程为式中：为方向的平差值，为方向的坐标方位角，通常称测站定向角，为定向角的近似值，为定向角的改正数，是个未知参数， 如果令两点的近似坐标分别为和其相应的改正数分别为则有关系：将上式按台劳级数展开，（12-4） 坐标方位角改正数方程：将（12-5）代入（12-4）然后再代入（12-1）得：式中，计算中，以km为单位和以dm为单位，且换以（12-6）变为，（12-6）（12-8）式中，（12-8）为一般式， ①当k为固定点，i为待定点时，则误差方程式为：②当i为固定点，k为待定点时，则误差方程式为，③当k,i都为固定点时，，则误差方程式为，④k,i对向观测时，由于所以只有定向角未知数和常数项不同，其它全相同。 §12.2测边网与边角网间接平差测边网或边角网（其实是测方向），都是把所测方向和边作为平差元素，因此这类网只要按边长观测值、方向观测值列出误差方程式，就可组成法方程式，……12.2.1边长误差方程式线性化后得（12-35）（12-36）令由近似坐标反算的坐标方位角近似值和边长近似值，边长观测值。①当k点为固定点时，由于则②当i点为固定点时，由于则③当k,i均为固定点时，此边是固定边，不会观测此边。④当k,i均为待定点观测了将该边作为一个条件式，显然条件式的常数项等于零，并作为固定边，此时采用附有条件的间接平差， 12.2.2角度误差方程式有式中12.3观测值权的确定边角网平差时，观测值的权与中误差的基本关系式为：在边角网中，如果认为角度观测的精度相同，而测边进度不同时：于是