材料力学课件-第八章能量原理

东南大学远程教育材料力学第二十一讲主讲教师：马军 第八章能量方法利用功和能的概念来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，通称为能量方法。东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法一．虚位移原理对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零，即WW0eiW,W分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功ei外力指的是荷载和支座反力，内力则为截面上各部分间的相互作用力以一简支梁为例，来说明推导梁的虚位移原理的表达式下图所示简支梁上的外力荷载P1,P2,P3和支座反力R,RAB。在给梁任意一个虚位移时，所有荷载作用点均有沿其作用方向的相应虚位移,,（图上未绘出）。两支座123A、B则不可能有虚位移，否则就与支座约束条件不符。因此，梁上所有外力（包括荷载和支反力）对于虚位移所作的虚功为东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法RAPPPRB123ABQdQdMdd2MdM22Qdxdxdx东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法33WPR0R0PeiiABiii1i1再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功，从梁中取出任一微段dx来研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为Q、Q+dQ和弯矩M、M+dM。总虚功为ddMMdM22ddQQdQ22略去高阶无穷小项dMdd和dQ，即得22MdQd东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法作用在微段左、右两截面上的M和Q，对于该微段而言应看作是外力，所以，MdQd为该微段的外力虚功，而该微段的内力所作的虚功dW，则可按该微段的外力虚功，而该微段i的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得，即dWMdQd0i可得dW(MdQd)i则整个梁的内力虚功为WdWMdQdiill将上两式代入虚位移原理公式，即得3P(MdQd)0iili1东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法亦即3P(MdQd)iili1若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁，而是发生组合变形的梁，其任意截面上的内力不仅有弯矩M和剪力Q，而且还有轴力N和扭矩T，作用在杆上的荷载为Pi1,2,,n，则此杆件的虚位i移原理表达式为nP(MdQdNdTd)iili1PP21PnPP12NABdx东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法QdQddMNdN22TNTdTQMdMdxdxdddd2222d2dxdxdx东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法虚位移原理应用条件Ø外力Pi与内力M,Q,N,T满足静力平衡条件Ø设想的虚位移i是满足原结构几何约束条件之任意微小位移，它与原载荷引起之真实变形无关Ø上述分析过程中为涉及材料性质（物理性质），对其他非线弹性问题同样适用东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法二．单位力方法对于杆系结构，既然如前所述只要满足支座约束条件，及各微段间变形连续条件的任何微小位移，均可作杆件的虚位移，那么可把实载作用下之真实位移及各微段两端的真实相对位移当作虚位移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或转向的位移，就可以在该点处施加一个相应的单位力，将之视为荷载，而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为N,M,Q,T。则杆件的虚位移原理表达式为1NdMdQdTd对于线弹性，在所研究的杆件中，由实际荷载引起的长为dx的微段两端横截面的变形位移分别为NdxdEA东南大学远程教育2001.07 第一节虚位移原理及单位力方法Mdxd则上式变为EIlNdxlMdxsQdx10N0MdEAEIGAlQdxlTdxQsTTdx0GA0GIdPGIP说明：①上式中右端一般只有几项，并不定全部包括②单位力是一个广义力③符号方面的规定④对平面行架只有轴力东南大学远程教育2001.07 东南大学远程教育材料力学第二十二讲主讲教师：马军 第二节应变能·余能一．应变能为了介绍应变能和余能的概念，以拉伸杆为例PPPP1l令拉杆的截面积为A，则拉杆的应变能PU在数值上等于作用在杆端的力P在加载过程中所作的功W（外力功），其od1表达式为1UWPd0Pl又lEA22NlEA则1UW2EA2l东南大学远程教育2001.07 第二节应变能·余能再从另一角度来推导，外力功和应变能，从拉杆中取一各边为单位长的单元体，则在拉杆的加载过程中，该单元体上外力所做的功为：1wd0根据功能原理11uw0d21E21o1d22E1设单元体各边长分别为dx、dy、dz，则在加载过程中，该单元体内所积蓄的应变能为dUudxdydz令dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为东南大学远程教育2001.07 第二节应变能·余能UdUudVV再根据虎克定律，得同样的结果2NlUW2EA同理可得圆轴在扭转时及梁在纯弯曲时的应变能表达式22TllMxdxUW和UW2GI02EIP梁在横力弯曲时与剪切变形相应的应变能2lQxdxUW0s2GA东南大学远程教育2001.07 第二节应变能·余能PP1再进一步考虑，设拉杆的材料是非线性的，以拉杆为例，杆端位移与施加在杆端的外力P之间的关系如图所示l1UW0PdOd1同样可从应力应变关系来推导外力功和应变能，从拉杆中取一单元体，在加载过程中，单元体上外力作的P1功及相应的应变能为1uwd0Od东南大学远程教育12001.07 第二节应变能·余能设单元体各边长分别为dx、dy、dz，则在加载过程中，该单元体内所积蓄的应变能为dUudxdydz令dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为UdUudVV同理可得，梁和圆轴的单位应变能东南大学远程教育2001.07 第二节应变能·余能二．余能当外力从0增加到P时，由于材料为非线性，则拉杆的P－P曲线如图所示，仿外力功的表达式计算另一个积分P1dPP0P此积分从量纲上来看，和外1dP力功是相同的，亦可视之为l一种功。从右图可以看出，此积分是P－P曲线与纵坐标1轴间的面积，与PP时的1P1O外力功dP之和正好等10PP于矩形面积11，所以，习惯上将此积分称为“余功”，用Wc表示，即东南大学远程教育2001.07 第二节应变能·余能P1WdPc0由于材料为弹性，仿照功与应变能相等的关系，1将余功相应的能称为余能，并用U表示。余功cWc和余能Uc在数值上是相等的，即p1UWdPcc0在几何线性问题中，同样可以仿照前面单位体积应变能来计算应变能的方式，得到从单位体积余Od1能uc来计算余能的表达式UudVcVc其中1udc0应当指出：余功、余能、单位体积余能都没有具体的物理概念，它们只不过是具有功和能的量纲而已。东南大学远程教育2001.07 东南大学远程教育材料力学第二十三讲主讲教师：马军 第三节卡氏定理一．卡氏第一定理如右图梁所示，梁上有PPP1Pnn个集中荷载作用，相23应的最后位移分别为ABn,,,12312n为了计算方便，假定这些荷载都是同时作用在梁上，并按同一比例逐渐从零加到其最后值P,P,P（通常称之为简单加12n载），则外力作的功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总和niUWPidi0i1可见，梁内应变能U是其上所有荷载相应的最后位移的函数。i假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量di，则梁内应变能的变化dU应写作东南大学远程教育2001.07 第三节卡氏定理UdUdii因只有与荷载P相应的位移有一微小增量d，则外力功的ii变化为dWPdii由dUdW并消去两边的共同项d，即得iUPii此即为卡氏第一定理。表明，弹性杆件的应变能U对于杆件上与某一荷载相应的位移之变化率。东南大学远程教育2001.07 第三节卡氏定理二．卡氏第二定理如右图梁所示，梁上有PPP1Pnn个集中荷载作用，相23应的最后位移分别为ABn,,,12312n仍将这些荷载按简单加载的方式施加在梁上。外力的余功则等于每个集中荷载的余功之和。于是，梁内的余能可表示为nPiUcWc0idPii1可见，梁内余能Uc是其上一系列荷载Pi的函数。假设第i个荷载有一微小增量dPi，则外力总余功的相应改变量为dWdPcii东南大学远程教育2001.07 第三节卡氏定理梁内的余能的相应的改变量为UdUcdPciPi外力余功在数值上应等于弹性杆件的余能，两者的改变量相等dUdWcc消去两端的dPi后，得UciPi此即为余能定理，可用来计算非线性弹性杆或杆系与某一荷载Pi相应的位移i对于线弹性杆件或杆系，UUc于是得UiPi东南大学远程教育2001.07 东南大学远程教育材料力学第二十四讲主讲教师：马军 第三节卡氏定理UiPi此即为卡氏第二定理。表明，线弹性杆件或杆系的应变能U对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载之变化率，就等于该载荷相应的位移。显然，卡氏第二定理是余能定理在线弹性情况下的特例。注意：卡氏第一定理既适用于线弹性体，也适用于非线性弹性体，但卡氏第二定理则仅适用于线弹性体。东南大学远程教育2001.07 东南大学远程教育2001.07