【材料力学课件】附录

附附录附录录截面图形的性质截面图形的性质截面图形的性质11 AppendixAppendixPropertiesofPropertiesofPlaneAreasPlaneAreas22 本章基本要求本章基本要求44一、一、一、几何图形的一次矩几何图形的一次矩几何图形的一次矩55二、二、二、几何图形的二次矩几何图形的二次矩几何图形的二次矩1010三、三、三、平行移轴定理平行移轴定理平行移轴定理1818四、四、四、转轴定理转轴定理转轴定理2525本章作业本章作业4949本章内容小结本章内容小结515133 本本本章基本要求章章基基本本要要求求掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并掌握截面图形的各类一次矩、二次矩的定义并能进行正确的计算。能进行正确的计算。熟练掌握典型截面的二次矩。熟练掌握典型截面的二次矩。掌握形掌握形掌握形心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用心在心在计算面积矩和惯性矩中所起的作用计算面积矩和惯性矩中所起的作用并能进行熟练的计算。并能进行熟练的计算。正确理解转轴定理及主惯性矩的概念。正确理解转轴定理及主惯性矩的概念。44 一、几何图形的一次矩一、几何图形的一次矩面积矩（静矩）面积矩（静矩）(firstmomentofarea)(firstmomentofarea)yySSx==yyddAASSy==xxddAAxxcccx∫∫y∫∫xxAAAAdAyyyycc形形形心心心(centerofanarea)(centerofanarea)公式公式xx11SSyyy=11ydA=SSxxxxcc==∫∫xxddAA==ycc=A∫∫ydA=ASSxx==yyccAASSyy==xxccAAAAAAAAAAAA重要结论重要结论坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。坐标轴通过形心，则相应的静矩为零。55 数学工具箱数学工具箱yybb平面图形中的微元面积平面图形中的微元面积dA直角坐标系直角坐标系ddAA==ddxxddyyxx如果被积函数与如果被积函数与xx无关无关ddAA==bbddyyyy极坐标系极坐标系ddAA==rrddrrddθθdArdrr如果被积函数与如果被积函数与θθ无关无关dA==ϕϕrdrdAdAϕxxθ66 例例求如图半径为求如图半径为RR的四分之一圆的形心位置。的四分之一圆的形心位置。yyππ22RRSSxx==∫∫yyddAA==∫∫∫∫rrsinsinθθrrddrrddθθAA0000rππ22RRdA221133xx==∫∫sinsinθθddθθ⋅⋅∫∫rrddrr==RRθ330000112244RRAA==ππRRyycc==4433ππ44RR同理同理xx==cc33ππ77 组合图形组合图形组合图形的面积矩组合图形的面积矩SSyy==∑∑SSyiyi==∑∑xxciciAAiiiiii组合图形的面积组合图形的面积AA==∑∑AAiiii组合图形的形心公式为组合图形的形心公式为xxcc==∑∑xxciciAAii∑∑AAiiiiiiSSyy==SSyy11−−SSyy22组合图形形心计组合图形形心计AA==AA11−−AA22算中的负面积法算中的负面积法SS−−SSyy11yy22xx==yyAA11−−AA2288 例例求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。例例求如图截面的形心位置。求如图截面的形心位置。33aaaaaa1.371.37aaaa77a/a/22xx55a/a/2233aa22aa33a/a/22xxaa形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上形心位于左右对称轴上以下边缘为基准以下边缘为基准以下边缘为基准以下边缘为基准yy==⎡⎡((22aa))22⋅⋅aa−−11ππaa22⋅⋅44aa⎤⎤CC⎢⎢23π⎥⎥⎣⎣23π⎦⎦22772233SSxx==33aa⋅⋅aa++33aa⋅⋅aa⎡11⎤2222⎡2222⎤((22aa))−−ππaa33⎣⎢⎣⎢22⎥⎦⎥⎦==1515aa2255=2020aa≈1.37AA==22⋅⋅33aayycc==aa=≈1.37aa2233((88−−ππ))99 二、几何图形的二次矩二、几何图形的二次矩惯性矩惯性矩(momentofinertia)(momentofinertia)yy2222IIxx==∫∫yyddAAIIyy==∫∫xxddAAxxAAAAdArryy惯性积惯性积(productofinertia)(productofinertia)xxIIxyxy==∫∫xyxyddAAAA极惯性矩极惯性矩(polarmomentofinertia)(polarmomentofinertia)222222IIPP==∫∫((xx++yy)d)dAA==∫∫rrddAAAAAA1010 yy例例求如图三角形对求如图三角形对xx轴的惯性矩。轴的惯性矩。bbhh斜边的方程为斜边的方程为yy==xxhhddAAbbxxbbhxhxbbbb222211()331133IIxx==∫∫yyddAA==∫∫∫∫yyddyyddxx==∫∫3()hxhxbbddxx==12bhbh312AA000000另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条另一计算方案：考虑如图的横向微元面积条hh⎛⎛bb⎞⎞I=y22dA=y22⎛⎛b−bby⎞⎟⎞dy=11bh33ddAA==⎜⎜bb−−hyy⎟⎟ddyyIxx=∫∫ydA=∫∫y⎜⎝⎜b−hhy⎠⎟dy=1212bh⎝⎝h⎠⎠AA00⎝⎠分析和讨论分析和讨论可以用如图的竖向微元面积条将二重可以用如图的竖向微元面积条将二重积分化为单重积分吗？积分化为单重积分吗？1111 动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔yy求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。求如图矩形关于坐标轴的惯性矩与惯性积。xxhh对对xx轴的惯性矩轴的惯性矩bbhh22bb22=22dy22xy1133IIxx=∫∫yydAA==∫∫∫∫yddxddy==bhbh1212AA−−−−hh22bb221133同理可得对同理可得对yy轴的惯性矩轴的惯性矩IIyy==hbhb1212bb22hh22对对xyxy轴的惯性积轴的惯性积IIxyxy==∫∫xyxyddAA==∫∫xxddxx⋅⋅∫∫yyddyy==00AA−−bb22−−hh221212 例例求如图半径为求如图半径为RR的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和的四分之一圆关于坐标轴的惯性矩和极惯性矩。极惯性矩。yy对对xx轴的惯性矩轴的惯性矩ππ22RR222222rIIxx==∫∫yyddAA==∫∫∫∫rrsinsinθθrrddrrddθθdAAA0000xxθππ22RR22331144==∫∫sinsinθθddθθ⋅⋅∫∫rrddrr==ππRR161600001144同理可得对同理可得对yy轴的惯性矩轴的惯性矩IIyy==ππRR16161144对原点的极惯性矩对原点的极惯性矩IIPP==IIxx++IIyy==ππRR881313 yy1144动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔IIxx==IIyy==ππRR1616DDxx44求图形的惯性求图形的惯性11⎛⎛DD⎞⎞1144==ππ⎜⎜⎟⎟==ππDD矩与惯性积。矩与惯性积。1616⎝⎝22⎠⎠256256yy11441144Dxx实心圆实心圆IIxx==IIyy==ππDDIIPP==ππDD64643232yy11444411π44(144)IIx==IIy==ππ()()DD−−dd==πDD(1−−αα)xy64646464xxD空心圆空心圆d⎛⎛dd⎞⎞1144()44⎜⎜αα==⎟⎟IIPP==ππDD()11−−αα⎝⎝DD⎠⎠32321414 重要数据重要数据高为高为hh宽为宽为bb的的的矩形截面对通过形心且平矩形截面对通过形心且平矩形截面对通过形心且平1133行于底边的坐标轴的惯性矩为行于底边的坐标轴的惯性矩为bhbh。。1212重要数据重要数据实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩实心圆截面对通过圆心的坐标轴的惯性矩11441144为为ππDD，极惯性矩为，极惯性矩为ππDD。。空心圆截面的惯性矩空心圆截面的惯性矩646432321144()441144()44为为ππDD()11−−αα，极惯性矩为，极惯性矩为ππDD()11−−αα，，αα为内径为内径64643232与外径之比。与外径之比。重要结论重要结论坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。坐标轴是图形的对称轴，则惯性积为零。1515 组合图形组合图形例例求如图工字形截面关于中线的求如图工字形截面关于中线的惯性矩。惯性矩。组合图形的分割组合图形的分割60601010截面可视为截面可视为10106060一个矩形与两个一个矩形与两个矩形之差。矩形之差。1010组合图形的组合图形的1133负二次矩法负二次矩法II==××6060××()()6060++22××1010121211⎛⎛6060−−1010⎞⎞33−−22××××⎜⎜⎟⎟××60601212⎝⎝22⎠⎠6644==11..6666××1010mmmm1616 例例证明同底等高的平行四边形对于底边的惯性矩是相等的。证明同底等高的平行四边形对于底边的惯性矩是相等的。yyhh2222IIxx==∫∫yyddAA==∫∫yybbddyyAA00hhddAA1133==bhbhxx33bb这个值与同底等高的矩形这个值与同底等高的矩形关于底边的惯性矩相同，而与关于底边的惯性矩相同，而与取如图的平行四边形。取如图的平行四边形。平行四边形倾斜角无关。平行四边形倾斜角无关。根据定义，这个平行四根据定义，这个平行四故题设结论成立。故题设结论成立。边形对干底边的惯性矩为：边形对干底边的惯性矩为：1717 三、平行移轴定理三、平行移轴定理yyyy′′如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，xx′′如何求图形关于另一平行坐标如何求图形关于另一平行坐标xx系的惯性矩和惯性积？系的惯性矩和惯性积？特别地，先考虑过形心的坐标系。特别地，先考虑过形心的坐标系。1818 平行移轴定理平行移轴定理(parallel(parallel(parallel-axistheorem)--axistheorem)axistheorem)yyyy′′（（xx，，yy））————普通坐标系。普通坐标系。x′dAby′x（（xx′′，，yy′′））————形心坐标系。形心坐标系。xx′′caa22xxIIxx==∫∫((yy′′++aa))ddAAAA222222IIxx==∫∫yy′′ddAA++22aa∫∫yy′′ddAA++aa∫∫ddAA==IIxx′′++22aSaSxx′′++aaAAAAAAAAyASIIa22A由于由于xx′′轴过形心轴过形心∫∫y′′ddA==Sxx′′==00Ixx==Ixx′′++aAAA222222I=I+abAII==II++((aa++bb))AA同理同理IIyy==IIyy′′++bbAAIxyxy=Ixxyy′′+abAPPPP′′1919 平行移轴定理平行移轴定理(parallel(parallel(parallel-axistheorem)--axistheorem)axistheorem)yyyy′′重要公式重要公式x′dA22by′xx′′IIxx==IIxx′′++aaAAIIxyxy==IIxx′′yy′′++abAabAcaa==++22==++22++22xxIIyyIIyy′′bbAAIIPPIIPP′′((aabb))AA注意注意在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。在应用上述公式时，应确保其中一组坐标系过形心。22否则应用公式否则应用公式IIxx==IIxx′′++22aSaSxx′′++aaAA。。重要结论重要结论在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小惯性矩为最小。。2020 例例求如图的截面对形心轴的惯性矩。求如图的截面对形心轴的惯性矩。yyII==II++IIxxcc11xxcc22xxcc33aaaa1133+3a22⋅a22131344aaxxII11xxcc==((33aa))aa+3a⋅a==aaaacc12124455a/a/2233aa11222121171733+3a2⋅a24444II22xxcc==aa((33aa))+3a⋅a==aaIIxxcc==aaaa12124422113311335544IIyy==aa((33aa))++33aa⋅⋅aa==aa1212121222动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔求直角三角形对于过形心的求直角三角形对于过形心的CC轴的惯性矩。轴的惯性矩。hhKKCC1133111133IIKK==bhbhKCKC==hhIICC==bhbhbb24246636362121 例例求如图的截面对求如图的截面对xx和和yy轴的惯性矩。轴的惯性矩。yy已知半圆对已知半圆对xx轴的惯性矩为轴的惯性矩为aa1111441144aaIIxx==⋅⋅ππ((22aa))==ππaaxx22646488aaaaaaaaaaaaKK故故图形对图形对xx轴的惯性矩为轴的惯性矩为I=11(4a)33(4a)−2⋅11πa44⎛⎛6464ππ⎞⎞4444Ixx=(4a)(4a)−2⋅πa==⎜⎜−−⎟⎟aa==2020..5555aa121288⎝⎝3344⎠⎠1111441144半圆对半圆对KK轴的惯性矩轴的惯性矩IIKK==⋅⋅ππ((22aa))==ππaa22646488错在何处？错在何处？1144⎛⎛1144⎞⎞229944半圆对半圆对yy轴的惯性矩为轴的惯性矩为IIxx==ππaa++⎜⎜ππaa⎟⎟⋅⋅()()22aa==ππaa88⎝⎝44⎠⎠882222 22114411⎛⎛1122⎞⎞⎛⎛44aa⎞⎞半圆对半圆对CC轴的惯性矩轴的惯性矩IIcc==ππaa??+−+−+−⋅⋅⎜⎜ππ((22aa))⎟⎟⋅⋅⎜⎜⎟⎟8822⎝⎝44⎠⎠⎝⎝33ππ⎠⎠yyCC44a/a/33ππ⎛⎛1188⎞⎞44aa==⎜⎜ππ−−⎟⎟aa⎝⎝8899ππ⎠⎠aaxxaa4⎛⎛4⎞⎞aayy轴轴与与CC间的间的距离为距离为⎜⎜22−−⎟⎟aaaaaaaaaaCCKK⎝⎝33ππ⎠⎠故半圆对故半圆对yy轴的惯性矩为轴的惯性矩为22⎛⎛1188⎞⎞44⎛⎛1122⎞⎞⎛⎛44⎞⎞22=⎛⎛1717π−88⎟⎞⎞a44IIyy==⎜⎜ππ−−⎟⎟aa++⎜⎜ππaa⎟⎟⋅⋅⎜⎜22−−⎟⎟aa=⎜⎜π−⎟a⎝⎝8899ππ⎠⎠⎝⎝22⎠⎠⎝⎝33ππ⎠⎠⎝⎝8833⎠⎠故原故原图形对图形对yy轴的惯性矩为轴的惯性矩为1133⎛⎛171788⎞⎞44⎛⎛80803434⎞⎞4444IIyy==((44aa)()(44aa))−−22⋅⋅⎜⎜ππ−−⎟⎟aa==⎜⎜−−ππ⎟⎟aa==&&1313..33aa1212⎝⎝8833⎠⎠⎝⎝3388⎠⎠2323 分析和讨论分析和讨论AAaa如图的三角形对哪一根轴的如图的三角形对哪一根轴的BBaa惯性矩最小？对哪一根轴的惯性惯性矩最小？对哪一根轴的惯性CCaa矩最大？矩最大？DDKK要使如图的半圆对要使如图的半圆对KK轴的惯轴的惯Rbb性矩为最小，性矩为最小，bb应取何值？应取何值？图示图形的惯性积是正数还图示图形的惯性积是正数还是负数？是负数？2424 四、转轴定理四、转轴定理yyyy′′如果已知图形对某一坐标系的如果已知图形对某一坐标系的惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积，xx′′坐标系绕原点转动了一个角度坐标系绕原点转动了一个角度xxαα构成新坐标系，如何求图形关于新构成新坐标系，如何求图形关于新坐标系的惯性矩和惯性积？坐标系的惯性矩和惯性积？2525 1.1.两种坐标的转换两种坐标的转换xx′′==OOPP′′==OROR++RRPP′′==OROR++PPSSyyyy′′==OPOPcoscosαα++PKPKsinsinααQQKK==xxcoscosαα++yysinsinααxx′′PP′′RRQQ′′yy′′==PP′′KK==SSKK−−SSPP′′==SSKK−−PPRRSSxxOOααPP==PKPKcoscosαα−−OPOPsinsinαα==−−xxsinsinαα++yycoscosααxx==OOPPyy==OQOQ⎧⎧xx′′==xxcoscosαα++yysinsinααxx′′==OOPP′′yy′′==OOQQ′′⎨⎨⎩⎩yy′′==−−xxsinsinαα++yycoscosαα2626 ⎧⎧xx′′==xxcoscosαα++yysinsinαα⎡⎡xx′′⎤⎤⎡⎡coscosααsinsinαα⎤⎤⎡⎡xx⎤⎤⎨⎨⎢⎢′⎥⎥==⎢⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎥⎩⎩yy′′==−−xxsinsinαα++yycoscosαα⎣⎣yy′⎦⎦⎣⎣−−sinsinααcoscosαα⎦⎦⎣⎣yy⎦⎦yyyy′′⎡⎡xx′′⎤⎤⎡⎡xx⎤⎤⎡⎡coscosααsinsinαα⎤⎤xx′′==⎢⎢′⎥⎥xx==⎢⎢⎥⎥MM==⎢⎢⎥⎥QQKK⎣⎣yy′⎦⎦⎣⎣yy⎦⎦⎣⎣−−sinsinααcoscosαα⎦⎦xx′′PP′′RRQQ′′SSxx坐标转换矩阵表达式坐标转换矩阵表达式xx′′==MMxxOOααPPMM：：坐标转换矩阵坐标转换矩阵−−11TT⎡⎡coscosααsinsinαα⎤⎤⎡⎡coscosαα−−sinsinαα⎤⎤⎡⎡coscosααsinsinαα⎤⎤⎢⎢⎥⎥==⎢⎢⎥⎥==⎢⎢⎥⎥⎣⎣−−sinsinααcoscosαα⎦⎦⎣⎣sinsinααcoscosαα⎦⎦⎣⎣−−sinsinααcoscosαα⎦⎦−−11TTMM==MM坐标转换矩阵是正交矩阵坐标转换矩阵是正交矩阵2727 数学工具箱数学工具箱yy′′yy⎧⎧xx′′==xxcoscosαα++yysinsinααxx′′⎨⎨⎩⎩yy′′==−−xxsinsinαα++yycoscosααxxαα∂∂xx′′∂∂xx′′∂∂xx∂∂yycoscosααsinsinααddAA′′==ddxx′′ddyy′′==ddxxddyy==ddxxddyy==ddxxddyy==ddAA∂∂yy′′∂∂yy′′−−sinsinααcoscosαα∂∂xx∂∂yy2828 yyyy′′2.2.转轴转轴转轴定理定理定理(rotation-axis(rotation-axistheorem)theorem)xx′′⎡⎡22⎤⎤xx⎡⎡IIyyIIxyxy⎤⎤∫∫xxddAA∫∫xyxyddAAααJJ==⎢⎢II⎥⎥==⎢⎢22⎥⎥⎣⎣IxyxyIxx⎦⎦⎢⎣⎢⎣∫∫xyxyddAA∫∫yyddAA⎥⎦⎥⎦⎡⎡xx⎤⎤⎡x22xy⎤⎡xx⎤记记==xx=⎡xxy⎤d==⎡⎤((xxyy))ddAA⎣⎢⎢yy⎥⎦⎥J=xxTTdA=∫∫⎢⎢xyy22⎥⎥dAA∫∫⎢⎢yy⎥⎥⎣⎦J=∫∫xxdA⎣⎣xyy⎦⎦⎣⎣⎦⎦TT((xxyy))==xx⎡⎡IIyy′′IIxx′′yy′′⎤⎤=x′x′TTTTTTTTdAJJ′′==⎢⎢II⎥⎥=∫∫x′x′ddAA==∫∫((MxMx))((MxMx))ddAA==∫∫MMxxxxMMdA⎣⎣Ixx′′yy′′Ixx′′⎦⎦=MxxTTdAMTT⎛⎛⎡⎡xx⎤⎤⎞⎞TTTxx′′===MxMxM((∫∫xxdA))M==MM⎜⎜⎜⎜∫∫⎢⎢⎥⎥((xxyy))ddAA⎟⎟⎟⎟MMJ′=MJM⎝⎝⎣⎣yy⎦⎦⎠⎠2929 yyyy′′TJ′=MJMxx′′xxαα⎡⎡IIyy′′IIxx′′yy′′⎤⎤⎡⎡coscosααsinsinαα⎤⎤⎡⎡IIyyIIxyxy⎤⎤⎡⎡coscosαα−−sinsinαα⎤⎤⎢⎢II⎥⎥==⎢⎢⎥⎥⎢⎢II⎥⎥⎢⎢⎥⎥⎣⎣Ixx′′yy′′Ixx′′⎦⎦⎣⎣−−sinsinααcoscosαα⎦⎦⎣⎣IxyxyIxx⎦⎦⎣⎣sinsinααcoscosαα⎦⎦2222IIy′==IIycoscosαα++IIxsinsinαα++22IIxycoscosααsinsinααy′yxxy2222IIx′==IIysinsinαα++IIxcoscosαα−−22IIxycoscosααsinsinααx′yxxy2222IIxx′′yy′′==((−−IIyy++IIxx))coscosααsinsinαα++IIxyxy((coscosαα−−sinsinαα))3030 I=Icos22α+Isin22α+2Icosαsinαyy′′yyIyy′′=Iyycosα+Ixxsinα+2Ixyxycosαsinα2222IIx′==IIysinsinαα++IIxcoscosαα−−22IIxycoscosααsinsinααxx′′x′yxxyxx2222IIx′y′==((−−IIy++IIx))coscosααsinsinαα++IIxy((coscosαα−−sinsinαα))ααx′y′yxxy2211数学工具箱数学工具箱coscosαα==()()11++cos2cos2αα222211()sinsinαα==()11−−cos2cos2αα2211coscosααsinsinαα==sin2sin2αα223131 I=Icos22α+Isin22α+2Icosαsinαyy′′yyIyy′′=Iyycosα+Ixxsinα+2Ixyxycosαsinα2222IIx′==IIysinsinαα++IIxcoscosαα−−22IIxycoscosααsinsinααxx′′x′yxxyxx2222IIx′y′==((−−IIy++IIx))coscosααsinsinαα++IIxy((coscosαα−−sinsinαα))ααx′y′yxxy1111IIyy′′==((IIyy++IIxx))++((IIyy−−IIxx))coscos22αα++IIxyxysinsin22αα22221111IIxx′′==((IIyy++IIxx))−−((IIyy−−IIxx))coscos22αα−−IIxyxysinsin22αα转轴转轴转轴定理定理定理222211IIxx′′yy′′==−−((IIyy−−IIxx))sinsin22αα++IIxyxycoscos22αα223232 yyxx′′例例求如图的矩形关于对角线的惯性矩。求如图的矩形关于对角线的惯性矩。yy′′α在图示的坐标系下，在图示的坐标系下，bbxxaaII==11abab33II==11aa33bbI=0xxyyIxyxy=012121212关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中关于对角线的惯性矩，可视为新坐标系中对对xx′′轴的惯性矩。轴的惯性矩。aabbcoscosαα==sinsinαα==22222222aa++bbaa++bb22222222aa−−bbcoscos22αα==coscosαα−−sinsinαα==2222aa++bb3333 yyxx′′11331133II=0yy′′IIxx==ababIIyy==aabbxyxy=012121212αbbxx2222aa−−bbcoscos22αα==2222aa++bbaa1111IIxx′′==((IIyy++IIxx))−−((IIyy−−IIxx))coscos22αα−−IIxyxysinsin22αα2222222211⎛⎛11331133⎞⎞11⎛⎛11331133⎞⎞aa−−bb==⎜⎜aabb++abab⎟⎟−−⎜⎜aabb−−abab⎟⎟⋅⋅222222⎝⎝12121212⎠⎠22⎝⎝12121212⎠⎠aa++bb3333aabb==()222266()aa++bb3434 分析和讨论分析和讨论1111IIyy′′==((IIyy++IIxx))++((IIyy−−IIxx))coscos22αα++IIxyxysinsin22αα22221111IIxx′′==((IIyy++IIxx))−−((IIyy−−IIxx))coscos22αα−−IIxyxysinsin22αα转轴转轴转轴定理定理定理222211IIxx′′yy′′==−−((IIyy−−IIxx))sinsin22αα++IIxyxycoscos22αα22ππ将第一式中的将第一式中的αα置换为置换为αα++，将得到什么结论？，将得到什么结论？22IIxx′′++IIyy′′等于多少？等于多少？上述结果说明了什么？上述结果说明了什么？3535 3.3.惯性主轴惯性主轴(principalaxesofinertia)(principalaxesofinertia)yy1111yy′′IIy′==((IIy++IIx))++((IIy−−IIx))coscos22αα++IIxysinsin22ααy′yxyxxy222211xx′′IIxx′′yy′′==−−((IIyy−−IIxx))sinsin22αα++IIxyxycoscos22αα22xxαα在在什么方位上什么方位上IIyy′′取极值？极值为多大？取极值？极值为多大？ddIIyy′′IIyy′′的极值应满足的极值应满足==00−−((IIyy−−IIxx))sin2sin2αα′′++22IIxyxycos2cos2αα′′==00ddαα22IIxyxy1122IIxyxytan2tan2αα′′==αα′′==arctanarctan惯性主方向惯性主方向IIyy−−IIxx22IIyy−−IIxx2211⎛⎛IIyy−−IIxx⎞⎞22IImax,max,minmin==()()IIyy++IIxx±±⎜⎜⎟⎟++IIxyxy主惯性矩主惯性矩22⎝⎝22⎠⎠3636 若图形对某一对轴若图形对某一对轴的惯性积为零，则的惯性积为零，则yy称这对轴为图形的称这对轴为图形的惯性主轴惯性主轴，如果惯性主，如果惯性主yy′′轴通过形心，则称之为轴通过形心，则称之为形心惯性主轴形心惯性主轴。。xx′′图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是图形关于惯性主轴的惯性矩，一定是xxαα该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性该平面图形在坐标旋转的各个方位上惯性矩的极值，并称之为矩的极值，并称之为主惯性矩主惯性矩。形心惯性。形心惯性主轴对应的惯性矩，称为主轴对应的惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩。。22IIxyxy惯性主轴方位惯性主轴方位tan2tan2αα′′==IIyy−−IIxx2211⎛⎛IIyy−−IIxx⎞⎞22主惯性矩数值主惯性矩数值IImaxmax==()()IIyy++IIxx±±⎜⎜⎟⎟++IIxyxyminmin22⎝⎝22⎠⎠3737 主惯性矩概念的图形说明主惯性矩概念的图形说明xx′′yyoo考虑考虑αα从从00°°到到9090c的坐标变换，的坐标变换，IIxx′′yy′′的符号的符号发生了什么变化？发生了什么变化？yy′′xxααooooαα从从00到到9090的变化过程中，图形的惯性积的变化过程中，图形的惯性积IIxyxy的符的符号将会发生改变。由于号将会发生改变。由于IIxyxy变化的连续性，在此范围内必变化的连续性，在此范围内必定存在着一个角度，使惯性积定存在着一个角度，使惯性积IIxyxy等于零。等于零。3838 主惯性矩概念的图形说明主惯性矩概念的图形说明形心惯性主轴yyyy′′yy′′xx′′yy′′cxx′′xx′′惯性主轴xxαα′αα′αα′1122IIxyxyIIxx′′yy′′=≠=≠00αα′′==arctanarctan22IIyy−−IIxx2211⎛⎛IIyy−−IIxx⎞⎞22IImax,max,minmin==()()IIyy++IIxx±±⎜⎜⎟⎟++IIxyxy22⎝⎝22⎠⎠两根惯性主轴中有一根是形心惯性主轴。两根惯性主轴中有一根是形心惯性主轴。3939 主惯性矩概念的数值例子主惯性矩概念的数值例子yyxx′′单位：×1044mm44单位：×10mm6060惯性主轴oo1010αα==00yy′′7070⎡⎡IIyyIIxyxy⎤⎤⎡⎡110110126126⎤⎤⎢⎢II⎥⎥==⎢⎢⎥⎥⎣⎣IxyxyIxx⎦⎦⎣⎣126126326326⎦⎦α′α′xx1010主惯性矩极大值oooooo零值αα==2020..33αα==4040αα==6565..33⎡⎡218218166166⎤⎤⎡⎡323323128128⎤⎤⎡⎡38438400⎤⎤⎣⎢⎣⎢166166218218⎥⎦⎥⎦⎣⎢⎣⎢128128113113⎥⎦⎥⎦⎣⎢⎣⎢005252⎥⎦⎥⎦主惯性矩极小值4040 分析和讨论分析和讨论判断图形的形心惯性主轴判断图形的形心惯性主轴重要结论重要结论若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性若某根坐标轴是图形的对称轴，则图形的惯性积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形积为零；此时两根坐标轴都是惯性主轴。其中，对称轴是形心惯性主轴。心惯性主轴。判断图形的判断图形的形心惯性主轴形心惯性主轴4141 yy例例求求如图的截面的形心惯性主轴的如图的截面的形心惯性主轴的404066方向和形心主惯性矩。方向和形心主惯性矩。669494xx在在图示的坐标系下，图示的坐标系下，66I=11×40×633+40×6×5022444040Ixx11=×40×6+40×6×50==600720600720mmmm121211332244IIyy11==××66××4040++66××4040××1717==101360101360mmmm1212113344IIxx22==××66××9494==415292415292mmmm1212113344IIyy22==××9494××66==16921692mmmm121244IIxx==22IIxx11++IIxx22==16167321616732mmmm44IIyy==22IIyy11++IIyy22==204412204412mmmm4242 yy′′yy求求惯性积时，考虑如图的区域惯性积时，考虑如图的区域404066II==3434××66××((−−2020))××5050==−−204000204000mmmm4466xxyxy11x′′9494xx44ααIIxy==22××((−−204000204000))==−−408000408000mmmmxy664040tan2tan2αα==22IIxyxy((IIyy−−IIxx))==00..57785778oooo4422αα==3030αα==1515IIxx==16167321616732mmmm111144IIx′==()()IIx++IIy++()()IIx−−IIycos2cos2αα−−IIxysin2sin2ααIIy==204412204412mmmmx′xyxyxyy222244==17261241726124mmmm在已知惯性主图示的黄色区在已知惯性主图示的黄色区在已知惯性主图示的黄色区1111轴的情况下，如何域的惯性积等于多轴的情况下，如何域的惯性积等于多轴的情况下，如何域的惯性积等于多()()IIy′==()IIx++IIy−−()IIx−−IIycos2cos2αα++IIxysin2sin2ααy′xyxyxy2222求主惯性矩？少？求主惯性矩？少？求主惯性矩？少？44==9502095020mmmm4343 例例证明正方形中任意通过形心的轴都是证明正方形中任意通过形心的轴都是yyyy’’形心惯性主轴。形心惯性主轴。xx’’αaaxx如图，对于平行于底边的形心坐标系，如图，对于平行于底边的形心坐标系，正方形的惯性矩和惯性积为正方形的惯性矩和惯性积为aa4410J=⎡⎡aa121200⎤⎤=11a44⎡⎡10⎤⎤1144I⎡⎡1100⎤⎤J=⎢⎢44⎥⎥=12a⎢⎢01⎥⎥==aaIII==⎢⎢⎥⎥⎣⎣00aa1212⎦⎦12⎣⎣01⎦⎦1212⎣⎣0011⎦⎦对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为对于其它任意的形心坐标系，其惯性积为44TT⎛⎛1144⎞⎞TT=11a44==⎡⎡aa121200⎤⎤JJ′′==MJMMJM==⎜⎜aa⎟⎟MIMMIM=aII⎢⎢44⎥⎥⎝⎝1212⎠⎠1212⎣⎣00aa1212⎦⎦故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。故正方形中任意通过形心的轴都是形心惯性主轴。4444 一般地考虑上面的问题一般地考虑上面的问题⎡⎡λλ00⎤⎤如果如果IIxx==IIyy==λλ,,IIxyxy==00,,JJ==⎢⎢⎥⎥==λλII⎣⎣00λλ⎦⎦对于坐标系旋转任意角度所引起的坐标变换对于坐标系旋转任意角度所引起的坐标变换，，T⎡⎡λλ00⎤⎤TTT==JJJ′′==MJMMJM==λλMIMMIM==λλII=⎢⎢⎥⎥=J⎣⎣00λλ⎦⎦重要结论重要结论如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯如果图形关于两个坐标轴的惯性矩相等，且惯性积为零，则该坐标系绕原点旋转任意角度所构成的新坐标性积为零，则该坐标系绕原点旋转任意角度所构成的新坐标系，都是图形的主轴坐标系。系，都是图形的主轴坐标系。4545 重要推论重要推论如果图形不只有两个对称轴，则过这些对称轴如果图形不只有两个对称轴，则过这些对称轴交点的任意直线，都是图形的形心惯性主轴。交点的任意直线，都是图形的形心惯性主轴。易知，形心必位于这些对称轴的交点。易知，形心必位于这些对称轴的交点。以其中一根对称以其中一根对称轴为轴为xx轴，过形心作相应的轴，过形心作相应的yy轴。轴。根据已知，根据已知，IIxyxy==00。。图形至少还有一个对称轴，记它与图形至少还有一个对称轴，记它与xx轴的夹角为轴的夹角为α′α′，，11IIxx′′yy′′==−−()()IIyy−−IIxxsin2sin2αα′′==00yy22yy′′xx′′′′xx′′sin2sin2αα′′≠≠00IIy==IIxyxyy′′′′对于任意的过形心的轴，它与对于任意的过形心的轴，它与xx轴轴α′α′′xxC的夹角为的夹角为α″α″，，都有都有11IIxx′′′′yy′′′′==−−()()IIyy−−IIxxsin2sin2αα′′′′==00224646 重要推论重要推论如果图形不只有两个对称轴，则过这些对称轴如果图形不只有两个对称轴，则过这些对称轴交点的任意直线，都是图形的形心惯性主轴。交点的任意直线，都是图形的形心惯性主轴。重要推论重要推论如果图形不只有两个对称轴，则对于任意的原如果图形不只有两个对称轴，则对于任意的原点在图形形心的坐标系点在图形形心的坐标系xyxy，都有，都有IIxyxy==0011IIxx==IIyy==IIPP224747 bb例例如图的截面由三片完全相同的矩形组合如图的截面由三片完全相同的矩形组合hhOO而成，其中而成，其中hh>>>>bb，三片矩形之间的夹角均，三片矩形之间的夹角均为为120120°°，求图形的形心主惯性矩。，求图形的形心主惯性矩。先考虑中间矩形关于圆心先考虑中间矩形关于圆心OO的极惯性矩。的极惯性矩。由平行移轴公式可得：由平行移轴公式可得：2222113333⎛⎛hh⎞⎞=11bh33⎛⎛1+bb⎞⎟⎞=11bh33IIP1P1==()()bhbh++bbhh++bhbh⋅⋅⎜⎜⎟⎟=bh⎜⎜1+22⎟=bh1212⎝⎝22⎠⎠33⎝⎝44hh⎠⎠3333由对称性可知，整个图形的极惯性矩由对称性可知，整个图形的极惯性矩IIPP==33IIP1P1==bhbh由于图形不只有两个对称轴，故有形心主惯性矩由于图形不只有两个对称轴，故有形心主惯性矩111133IIxx==IIyy==IIPP==bhbh22224848 本本本章作业章章作作业业I.1I.1，，I.2I.2，，I.8I.8，，I.9I.9I.10I.10，，I.12I.12，，I.15I.15，，I.18I.18I.13I.13，，I.17I.17，，I.26I.26，，I.31I.31分析和讨论分析和讨论填出下述的表格填出下述的表格。。4949 零次矩零次矩二二次矩次矩一次矩一次矩（面积）（面积）惯性矩惯性矩惯性积惯性积极惯性矩极惯性矩22SSxx==∫∫yyddAAIIxx==∫∫yyddAA22AA==ddAAAAAAII==xyxyddAAII==rrddAA定义定义∫∫xyxy∫∫PP∫∫AA2SS==xxddAA2AAAAyy∫∫IIy==xxddAAy∫∫AAAA符号符号恒正恒正可正可负可正可负恒正恒正可正可负可正可负恒正恒正单位单位mm22mm33mm44轴过轴过轴为对称轴为对称形心形心不为零不为零等于零等于零不为零不为零轴时为零轴时为零不为零不为零22关于关于SSxx==yyccAAIIxx==IIxx′′++aaAAI=I+abA形心形心I=I+b22AIxyxy=Ixxyy′′+abA计算计算SSyy==xxccAAIyy=Iyy′′+bA5050 本本本章内容小结章章内内容容小小结结静矩静矩SSxx==∫∫yyddAASSyy==∫∫xxddAAAAAA用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。用定义计算静矩时注意选择适当的坐标系。在某些情况下积分可化为单重积分。在某些情况下积分可化为单重积分。SSyyy=SSxx形心的计算方法形心的计算方法xxcc==ycc=AAAA组合图形静矩及形心的计算组合图形静矩及形心的计算有整体面积挖空部份面积的情况下可采用负面积法。有整体面积挖空部份面积的情况下可采用负面积法。5151 二次矩二次矩2222惯性矩惯性矩IIxx==∫∫yyddAAIIyy==∫∫xxddAAAAAA惯性积惯性积IIxyxy==∫∫xyxyddAAAA坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。坐标轴之一是图形对称轴，则图形的惯性积为零。222222极惯性矩极惯性矩IIPP==∫∫((xx++yy))ddAA==∫∫rrddAAAAAA常用图形的惯性矩常用图形的惯性矩113311441144()44矩形矩形bhbh实心圆实心圆ππDD空心圆空心圆ππDD()11−−αα1212646464645252 平行移轴公式平行移轴公式yyyy′′22IIxx==IIxx′′++aaAAI=I+b22Abxx′′Iyy=Iyy′′+bAcaaIIxyxy==IIxxyy′′++abAabAxx用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。用上述公式时应保证其中一组坐标系原点在形心上。计算惯性积时注意计算惯性积时注意aa和和bb的符号。的符号。5353 平行移轴公式平行移轴公式yyyy′′yy′′yy22IIxx==IIxx′′++aaAAI=I+b22Abxx′′Iyy=Iyy′′+bAcxx′′aaIIxy==IIxy′++abAabAxxxxxyxy′αα转轴公式转轴公式1111IIyy′′==((IIyy++IIxx))++((IIyy−−IIxx))coscos22αα++IIxyxysinsin22αα22221111IIxx′′==((IIyy++IIxx))−−((IIyy−−IIxx))coscos22αα−−IIxyxysinsin22αα222211IIxx′′yy′′==−−((IIyy−−IIxx))sinsin22αα++IIxyxycoscos22αα225454 惯性主轴、主惯性矩惯性主轴、主惯性矩22IIxyxy主惯性矩方位主惯性矩方位tan2tan2αα′′==IIyy−−IIxx22主惯性矩数值主惯性矩数值11⎛⎛IIyy−−IIxx⎞⎞22IImaxmax==()()IIyy++IIxx±±⎜⎜⎟⎟++IIxyxyminmin22⎝⎝22⎠⎠图形关于惯性主轴的惯性积为零。图形关于惯性主轴的惯性积为零。坐标轴之一是图形对称轴，则该坐标轴必定是惯性主轴。坐标轴之一是图形对称轴，则该坐标轴必定是惯性主轴。具有同一原点的不同坐标系中，图形关于主轴坐标系的惯具有同一原点的不同坐标系中，图形关于主轴坐标系的惯性矩必为极值。性矩必为极值。形心惯性主轴、形心主惯性矩形心惯性主轴、形心主惯性矩5555 本章本章内容结束本章内容结束内容结束5656