大学理论力学课件 第11章 动能定理

第十一章第十一章动能定理动能定理 §11-1力的功§11-1力的功常常力在直线运动中的功力在直线运动中的功rrrrW W ==F F cocossqq××s s ==F F ××s s 功是代数量功是代数量单位J（焦耳）1J=1N·m单位J（焦耳）1J=1N·m 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功元功元功δδww==FFccoossqq××ssrrrr即即δδww==FF××ddrr r力力F 在在MM1 1 ~~MM2 2 路程上的功为路程上的功为rrrrWW==òòMM22δδww==òòM M 2 2 FF∙∙ddrr1122MM11M M 1 1 rrrrrrrr记记FF==FFxii++FFyjj++FFz k k xyz rrrrrrrrddrr==ddxxii++ddyyjj++ddzzkk则则WW==òòM M 22((FFddxx++FFddyy++FFddzz))1122MM11xxyyzz 1、重力的功1、重力的功FFxx==FFy y ==00FFy y ==--mg mg W W ==òòz z 2 2 --mmg g d d zz==mmg g ( ( zz--zz) ) 12 12 zz111 1 2 2 质点系质点系SSWW==mmg g ( ( z z --z z ) ) 1212i i i i 1 1 i i 2 2 由由mzmzCC==SSm m i i zzi i 得得SSWW1122==mgmg( ( z z CC11--z z CC22) ) 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 22、弹、弹性力的性力的功功弹簧刚度系数弹簧刚度系数kk((NN//mm))rrrr弹性力弹性力FF==--kk((rr--ll00))eerr弹性力的功为弹性力的功为AA22rrrr11WW1122==òòAAFF××ddrr11nnA A 22rrrr==òòA A --kk((rr--ll0 0 ))eer r ××ddrr1 1  rrrrrrr r rr11rrrr1 1 2 2 因因eer r ××ddrr==××ddrr==dd((rr××rr))==dd((rr))==d d r r rr22rr22rr得得W W ==òòr r 2 2 --k k ( ( r r --ll) ) d d r r 112 2 rr110 0 k k 222 2 即即W W1122==((dd1 1 --dd2 2 ) ) 2 2 式中式中dd11==rr11--l l 00,,dd22==rr22--l l 00弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关 33..定定轴转动轴转动刚物体刚物体上作用力上作用力的功的功rrδδww==FF××ddrr==FFttddss==FFt t RRddjj由由MMzz==F F ttR R 得得ddww==MMz z ddjjrr从角从角jj11转动到角转动到角jj22过程中力过程中力F F 的功的功为为jj1 1 WW12 12 ==òòjjMMz z ddjj2 2 若若M Mz z ==常量常量则则W W1122==M M z z ( ( jj2 2 --jj1 1 ) )  44..平平面运动面运动刚体上刚体上力系的力系的功功rrrrrrrrrrrr由vvii==vvCC++vviiCC两端乘两端乘两端乘dddttt,,,有有有ddrrii==ddrrCC++ddrriiC C rr作用在作用在M Mi i 点的力点的力F F i i 的元功为的元功为rrrrrrrrrrrrnnrr22δδwwii==FFii××ddrrii==FFii××ddrrCC++FFii××ddrriCiCåå((XXi i --XX))rrrri i ==11rr其中其中FFii××ddrriiCC==FFiicocossqq××MMiiCC××ddjj==MMCC((FFii))ddjj力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为ddww==ååddwwi i rrrrrr==ååFFii××ddrrCC++ååMMCC((FFi i ))ddjjrrrr==FFii¢¢××ddrrCC++MMC C ddjj rr其中其中::FFR R ¢¢为力系主失为力系主失, , M M CC为力系对质心的主矩为力系对质心的主矩.. 当质心由当质心由CC11~~C C 22,转角由,转角由jj1 1 ~~jj2 2 时,力系的功为时,力系的功为CC22rrrrjj22WW12 12 ==òòCCFFRR¢¢××ddrrCC++òòjjMMCCddjj1111即即::平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功,,等于刚体上所受各力作等于刚体上所受各力作功的代数和功的代数和,,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和之和..  说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;2、2、CC点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 §11-2§11-2质点和质点系的动能质点和质点系的动能112 2 11、质、质点的动点的动能能TT==mmuu2 2 单位：J（焦耳）单位：J（焦耳）112222、质、质点系的点系的动能动能TT==ååm m i i uui i 22 （1）平移刚体的动能（1）平移刚体的动能1 1221 1 22T T ==ååm m iiv v i i ==v v CCååm m i i 2 2 2 2 112 2 即即TT==mvmvCC2 2 （2）定轴转动刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能1122112222112222TT==ååm m i i vvi i ==ååm m i i wwr r i i ==wwååm m i i r r i i 222222112 2 即即TT==J J z z ww2 2  （3）平面运动刚体的动能（3）平面运动刚体的动能速度瞬心为速度瞬心为P P 112 2 1 1 2 2 2 2 T T ==J J ppww==((J J C C ++mmd d ) ) ww2 2 2 2 112 2 1 1 2 2 得得TT==mmv v C C ++J J C C ww2 2 2 2 即即::平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和.. 上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动..  §11-3§11-3动能定理动能定理11、质、质点的动点的动能定理能定理rrd d uurrrrrr将将mm==F F 两端点乘两端点乘uuddtt==ddrr,,ddttrrrrrrrr得得mmuu××dduu==FF××ddrrrrrr112 2 rrrr由于由于mmuu××dduu==dd((mmuu)),,FF××ddrr==ddww, , 22112 2因此因此dd((mmuu))==ddww22上式称为质点上式称为质点动能定理动能定理的微分形式，即质点动能的增的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。量等于作用在质点上力的元功。 积分之积分之,,有有11221 1 22mmuu22--mmuu11==W W 11222 2 2 2 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 22、质、质点系的点系的动能定动能定理理1122由由d d ( ( mmi i uui i ) ) ==ddw w i i 2 2 1122求和求和åådd((mmi i uui i ))==ååddwwi i 22得得d dTT==ååddwwi i 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量,称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量,等于作用于质点系全部力所作的元功的和.等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 积分之积分之,,有有TT22--T T 11==ååw w ii称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.力在这段过程中所作功的和. 33、理、理想约束想约束光光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零的约束力作功等于零. . 称约束力作功等于零的约束为理想约束称约束力作功等于零的约束为理想约束. . 对理想约束对理想约束,,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可. . 内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零..  例例11111 1 已知已知::mm,, h h,, k k, , 其它质量不计其它质量不计.. 求求::ddmmaxax 解解::TT11==00, , TT22==00, , kk2200--00==mgmg((hh++ddmmaaxx))--ddmmaaxx22mgmg112222ddmmaaxx==++m m gg++22kkmghmghkkkk 例11-2例11-2已知：轮已知：轮O O 的的RR11、、m m 11,质量分布,质量分布在轮缘上;均在轮缘上;均质轮质轮C C 的的R R 22、、m m 22纯滚纯滚动,初始静止;动,初始静止;θθ,,MM为常力偶。为常力偶。求:轮心求:轮心C C 走过路程走过路程SS时的速度和加速度时的速度和加速度 解解::轮轮CC与轮与轮OO共同作为一个质点系共同作为一个质点系WW1122==M M jj--mm2 2 ggSSiinnqq∙ ∙ SSTT11==0 0 1122221 1 221 1 112222TT22==((mm11RR11) ) ww11++mm22uu22++((mm22RR22) ) ww222 2 2 2 2 2 2 2  w=uuCC,w=uuCCw11=,w22=R R 11R R 22WW1122==TT22--TT112 2 M j-mg Sin q∙ S =uuCCm+m((aa) ) M j-m22g Sin q∙ S =( ( 2 2 m1 1 +3 3 m2 2 ) ) 4 4 jj==SS((MM--m m 22gRgR11Sin Sin qq))S S RuuCC==2 2 R11RR11((2 2 m m 11++3 3 m m 22)) 式(a)是函数关系式，式(a)是函数关系式，两端对两端对tt求导,得求导,得1 1 (2 m+3 m )ua=MuuCC-m g Sin q∙u(2 m11+3 m 22)uCCaCC=M-m 22g Sin q∙uCC2 2 RR11a=22( ( M M --mm22ggR R 11SSiinnqq) ) aCC=( ( 22mm11++33mm22) ) R R 11 例例11-311-3冲击试验机冲击试验机mm=18kg,=18kg,ll=840=840mmmm,杆重不计，,杆重不计，在在jj11==7700°°时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至jj22==229 9 °°求求::冲断试件需用的能量冲断试件需用的能量 解解::T T11==0 0 , , T T 2 2 ==0 0 0 0 --0 0 ==mmggll( ( 1 1 --cocos s jj11) ) --mglmgl((11--ccoossjj22))--W W kk得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为W W kk==7788. . 9922JJ 例例例1111 114 4 已知已知已知:均质圆盘均质圆盘均质圆盘R,m,F,F ,F== =常量常量常量,, ,且很大且很大且很大,, ,使使使OO O向右运动运动运动,, , fff , ,初静止。求求求:OO O走过走过走过SS S路程时路程时路程时ωωω、、、αα 解:解:圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为CC,,T T11==0 0 uu00==wwRR2 2 112211mmR R 2 2 3322TT2 2 ==m m uu0 0 ++(() ) ww==m m uu0 0 22222244 rrrrrrFFTT、、PP、、F F N N 均不作功均不作功.. ååWW==FSFS--22mmggffs s ååWW==T T 22--T T 1 1 3 3 2 2 FFSS--22mmgfgfss==mmuu0 0 ((aa) ) 4 4 ssuu00==2 2 ((FF--2 2 mmggf f ))3 3 m m  w=uu00a=aa0 0 将式(a)两端对将式(a)两端对tt求导,并利用求导,并利用w=, , a=, , 2 2 rrr r 得得aa00==( ( F F --2 2 mmggf f ) ) 3 3 m m 注意:注意:1、摩擦力1、摩擦力FFdd的功的功WW¹¹F F ddSS,,SS是力在空间的位移，不是是力在空间的位移，不是受力作用点的位移.受力作用点的位移. 22、亦可、亦可将力系将力系向向点点OO简化，即简化，即SSååWW==((F F --F F TT--F F dd) ) SS++( ( F F TTR R --F F ddR R ) ) R R ==FSFS--22F F ddSS==FSFS--22mgmgfs fs 不作功的力可不考虑不作功的力可不考虑,,因此亦可如下计算因此亦可如下计算::SSååWW==((FF--FFdd))SS--FFddRR××==FSFS--22FFddSSRR 例11-5:已知:例11-5:已知:r1,,m1均质;杆均质;杆mm均质,=均质,=OO l l ,,MM=常量,纯=常量,纯12 滚动,处于水平面内,初始静止.滚动,处于水平面内,初始静止.求:求:O 1O 2 转过转过φφ角的角的ωω、、ααO ,O 12 解解::研究整个系统研究整个系统TT11==0 0 , , 2222T=11(mml l ) w22+1 1 m u22+1 1 (m m 11rr11) w22T22=() w+m 11u0011+() w2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 11mm3 3 m m 112222==((++) ) l l ww2 2 3 3 2 2 u=wlw=uu001 1 =wwll( ( u0011=wl, , w1 1 ==) ) r r 1 1 r r 1 1  WW==M M jjTT2 2--TT1 1 ==ååWW11m m 3 3 m m 1 1 2 2 2 2 MMjj==((++) ) l l ww((aa) ) 2 2 3 3 2 2 1212MMjjww==2 2 ( ( 2 2 mm++9 9 mm1 1 ) ) ll 式(a)对任何式(a)对任何φφ均成立,是函数关系,求导得均成立,是函数关系,求导得66MMaa==2 2 ( ( 2 2 mm++9 9 mm1 1 ) ) ll注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点CC不是不是理想约束,其摩擦力理想约束,其摩擦力FsFs尽管在空间尽管在空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.作功. 例11-6:均质杆例11-6:均质杆OBOB==ABAB==ll,,mm在铅垂面内;在铅垂面内;MM=常=常量,初始静止,不计摩擦.量,初始静止,不计摩擦.求:当求:当AA运动到运动到OO点时,点时,uuAA==？？ll解:解:ååWW==M M qq--22mmg g ( ( 1 1 --cos cos qq) ) 2 2 T T11==0 0 33uuCC==wwAABBCC¢¢C C ==l l wwAABB22w=uuB B ,w=uuB B wAABB=,wOOB B =llllwwAABB==wwOBOB uuAA==wwAAB B ∙∙2 2 ll112 2 TT2 2 ==T T AAB B ++T T OOB B ==mmuuC C 2 2 112 2 1 1 2 2 442 2 2 2 ++JJCCwwABAB++J J 0 0 wwOOB B ==mmllwwABAB2 2 2 2 3 3 ååWW==T T 22--T T 1 1 1133[]wwAABB==[M M qq--mmggll((11--cocos s qq))]22llmmuuAA==wwAAB B ∙∙2 2 ll §11-4功率、功率方程、机械效率§11-4功率、功率方程、机械效率11、功、功率：单率：单位时间位时间力所作的力所作的功称功功称功率率ddW W P P ==ddttrrrr由由ddWW==FF××ddrr,得,得rrrrd d r r rrrrPP==FF××==FF××vv==FFt t v v ddtt即即::功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. .  作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为ddW W d d jjPP====M M z z ==M M z z wwd dttd d tt单位W（瓦特）,单位W（瓦特）,11WW==11JJ//SS 22、功、功率方程率方程dTnndW nndTdW 2 2 ==åå==ååP P i i d d tti i ==1 1 d d tti i ==1 1 称称功率方程功率方程,,即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,,等于作等于作用于质点系的所有力的功率的代数和用于质点系的所有力的功率的代数和. . d d TT==PP输输入入--PP有用有用--PP无用无用d d t t d d T T 或或PP输入输入==PP有用有用++P P 无无用用++ddtt 33、机、机械效率械效率ddT T 有效功率有效功率PP有有效效==P P 有有用用++d d ttPP有效有效机械效率机械效率hh==P P 输入输入多级转动系统多级转动系统hh==hh11, , hh2 2 LLhhnn 例11-7已知:例11-7已知:PP输输入入==55..44kkw w ,,PP无无用用==P P 输输入入´´3300% % dd==110000mmmm, , nn==4422r r / / mminin求:切削力求:切削力FF的最大值的最大值若若n n¢¢==112112r r / / min min ，求，求FF的最大值。的最大值。 解:解:P P有用==P P 输入--P P 无用==33. . 7788kkw w 有用输入无用d d ppn n 60 60 PP有有用用==FFuu==FF∙∙==PP有用有用2230 30 ppdn dn 6600(se(secc)( )( 33. . 7788kkw w ) ) F F====1177. . 1199kkN N pp( ( 00. . 11mm)( )( 4422r r / / mminin) ) 当当nn¢¢==111122rr//mmiin n 6060((sesecc))((3 3 . . 78 78 kw kw ))时时FF====6 6 . . 45 45 kN kN pp((0 0 . . 1 1 m m ))((112 112 r r / / mmin) in)  例例111188已知已知：：mm . . l l00..kk..RR.. J J求求::系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。 解解::SS==RRjj2211ææd d ssööTT==mmçç÷÷2 2 èèd d ttøø2211ææd d jjöö++JJçç÷÷2 2 èèd d ttøø2211ææJJööææd d s s öö==ççm m++22÷÷çç÷÷2 2 èèR R øøèèd d t t øødds s dds s pp重重力力==mgmg, , pp弹弹性性力力==--kks s ddt t ddt t  ddT T ==pp++pp重重力力弹弹性性力力ddtt22ææJ J ööd d ssd d ssd d ssd d ssççmm++22÷÷22==mg mg --ksksèèRRøød d t t d d t t d d t t d d t t 2 2 ææJ J öödds s ççmm++2 2 ÷÷2 2 ==mmg g --ks ks èèR R øød d t t  令令dd00为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mgmg==kkdd00,,以平衡位置为原点以平衡位置为原点SS==dd00++xx, , 22ææJJööddxxççmm++22÷÷22==mmgg--kkdd00--kkxx==--kkxxèèRRøøddtt2 2 ææJ J ööddx x ççmm++22÷÷2 2 ++kx kx ==00èèRRøøddtt §11-5势力场.势能.机械能守恒定律§11-5势力场.势能.机械能守恒定律11..势力场势力场rrrr力场力场FF==FF((xx,,yy,,zz))势力场势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关,:场力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关.与路径无关.22..势能势能MM00rrrrVV==òòFF××ddrrMMMM00==òòM((FFxxddxx++FFyyddyy++FFzzddzz))MM M称势能零点称势能零点00 （1）重力场中心势能（1）重力场中心势能ZZ0 0 VV==òòZZ--mmggddzz==mmgg((zz--zz00))（2）弹性力场的势能（2）弹性力场的势能rr00rrrrkk2222VV==òòrrFF××ddrr==((dd--dd00))22dd0 0 ==00为零势能为零势能点点,,则则kk2 2 VV==dd22 （3）万有引力场中的势能（3）万有引力场中的势能AA00rrrrA A 00ffmm1mm2rrrrV=F×dR=-12e×dr V=òòAAF×dR=òòA A -r22er r ×dr rrrrr由由于于eerr××ddrr==ddrr有有r r 1 1 ffmm1m m 2 ææ1111ööV=-12 dr=fmm ç-÷V=òòr r -2 2 dr=fm11m 2 2 ç-÷rrèèrr1 1 rrøø 取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远r r11==¥¥V=-fm fm 11m m 2 2 V=-rrMMi i 00rrrr质点质点VV==ååòòFF××ddrriiMMi i 重力场重力场VV==ååm m i i gg((zzi i --zzi i 00))==mg mg ((zzCC--zzCC00)) 例如已知:均质杆例如已知:均质杆l, m l, m 弹簧强度弹簧强度kk,,ABAB水平时平衡，弹水平时平衡，弹簧变形簧变形dd00 rrmmgg由由ååMMA A ((FF))==00得得dd00==2 2 k k 取弹簧自然位置取弹簧自然位置OO为零势能点:为零势能点:2 2 2 2 112 2 jjl l 112 2 2 2 m m ggVV¢¢==kk((dd00++jjl l ))--mmgg==kkjjl l ++22222288kk 取杆平衡位置为零势能点:取杆平衡位置为零势能点:112222VV==kk((dd--dd0 0 ))--mmgghh2211(222 2 2 2 22)jjl l ==kk(dd0 0 ++22dd0 0 jjl l ++jjl l --dd0 0 )--mmgg2222112 2 2 2 即即VV==kkjjl l 2 2 质点系在势力场中运动,有势力功为质点系在势力场中运动,有势力功为WW1212==V V 1 1 --V V 2 2  33..机机械能守械能守恒定律恒定律由由TT22--T T 1 1 ==W W 112 2 及及WW1122==VV11--VV22得得TT11++V V 1 1 ==T T 2 2 ++V V 2 2 即即::质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时,,机械能守恒机械能守恒..此此类系统称类系统称保守系统保守系统 例例已知：重物已知：重物mm=2=25500kkgg,,以以vv=0=0..55mm//ss匀速下匀速下66降，钢索降，钢索kk=3=3..3355××110 0 NN//mm.. 求:求:轮轮DD突然卡住时，钢索的最大张力.突然卡住时，钢索的最大张力. 解解::卡住前卡住前mmg g ddstst==,,k k FF==k k ddstst==mmg g ==22. . 445 5 kkNN卡住时:卡住时:VV11==0 0 kk2222VV22==((ddmaxmax--ddsst t ))--mmg g ((ddmaxmax--ddsst t ))2 2 1122TT11==mmuu, , T T 22==0022 由由TT11++V V 1 1 ==T T 2 2 ++V V 2 2 有有1122k k 2222mmuu++0 0 ==0 0 ++((ddmmxxa a --ddsst t ))2 2 2 2 --mmgg((ddmmaxax--ddsst t ))æ22ö22æ22uuö即即ddmaxmax--2 2 ddsst t ddmax max ++ççççddsst t --ddsst t ÷÷÷÷==0 0 èèggøøææuu2 2 öö得得ddmmaax x ==ddsst t çç11±±÷÷çèçèggddsst t ÷ø÷øææuu2 2 ööææuuk k ööF F max==k k ddst==k k ddst çç1 1 ++÷÷==mmg g çç1 1 ++÷÷==116 6 . . 9 9 kNkNmaxstst ççg g dd÷÷ççg g mm÷÷èèst st øøèèøø 例例已知：已知：mm, , J J ,,kk水平位置平衡水平位置平衡OODD=C=CDD=b=bOO求：初速求：初速ww00时，=?时，=?ww解解::取水平位置为零势能位置取水平位置为零势能位置112 2 k k 2 2 1 1 2 2 JJ0 0 ww++((b b jj))==J J 0 0 ww0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ww==ww0 0 --kbkbjj//J J 0 0  ＊4＊4..势力场势力场的其它的其它性质：性质：¶¶V V ¶¶V V ¶¶V V (1)(1)F F xx==--, ,F F y y ==--, , F F z z ==--¶¶x x ¶¶y y ¶¶z z （2）势能相等的点构成等势面（2）势能相等的点构成等势面（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的（3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向方向 §§1111--66普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用动量、动量矩量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变只有外力能使之改变内力作功时可以改变动能约束力是外力时对之有影响。不与只有作功能改变动能能量相互转化，应用时不考虑能量理想约束不影响动能的转化与损失。可进行动能转化当外力主矢为零时，系统动量守应用时完全从功与能的观点出发恒恒当外力对定点定点OO 或质心的主矩为零在保守系中，机械能守恒时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。 例:已知均质园轮例:已知均质园轮mm,,rr,,RR,纯滚动,纯滚动求:轮心求:轮心ＣＣ的运动微分方程的运动微分方程 解:解:1122112 2 332 2 TT==m m uuC C ++JJC C ww==m m uuC C , , 222244重力的功率重力的功率rrrrrræædds s rrööPP==mmgg××uu==mmgg××ççtt÷÷èèddttøød d ssrrrr==mmg g ××ttddttdds s ==mm((--ggsisinnqq))ddttd d ss==--mg mg ssin in qqddtt ddTT=p p 33m×2ud d uuCC=-mg sin qd d s s =m×2uCC=-mg sin qd d t t 44ddttddtt2 2 d d uuCC=ddss,ddss=u,q=ss,sin q»q=2 2 ,=uCC,q=,sin q»q（（qq很小）很小）ddttddttddttRR--rr22d d ss2 2 gsgs++==0 0 2 2 ()d d tt3 3 (RR--rr) 本题也可用机械能守恒定律求解本题也可用机械能守恒定律求解.. 3 3 22VV==mg mg ((RR--rr))((11--coscosqq)),,T T ==m m uuCC4 4 dd((VV++T T ))==0 0 d d tt22dds s22得得22++ggsinsinqq==00ddt t 33 例:已知两均质轮例:已知两均质轮m m ,,R R ;物块;物块m m ,,ｋｋ,,纯滚动,于弹簧原纯滚动,于弹簧原长处无初速释放.长处无初速释放.求：重物下降求：重物下降hh时,时,vv、、aa及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力..  解解::T T11==0 0 112 2 11112 2 2 2 11ææ2 2 112 2 2 2 ööTT2 2 ==m m uu++××mmR R ww++ççm m uu++mmR R ww÷÷22222222èè22øø332 2 ==m m uu22112222ååWW==mmggh h --k k ((2 2 h h ))==mmggh h --2 2 kkh h 2 2  W=T-T223322ååW=T22-T11mghmgh--22kkhh==m m uu（（aa））2222((mmgg--2 2 kkh h ))h h uu==3 3 m m dduuddhh将式（a）对将式（a）对tt求导求导33mmuu==((mgmg--44kkhh))ddttddtt gg44khkh得得aa==--3333mmddææ1 1 2 2 uuööççmmRR××÷÷==((FFss--FF))RR其中其中FF==22kkh h d d ttèè2 2 RRøø11mgmg44F F SS==F F ++mama==++kkhh226633 例例::已知已知ll,,mm求求::杆由铅直倒下杆由铅直倒下,,刚到达地面时的角速度和地面约束力刚到达地面时的角速度和地面约束力..  解解::w=uuCC=22uuC C w==CPCPllcos cos qqTT1==0 0 , , 成成qq角时角时111221 1 221 1 ææ1 1 öö22TT22==m m uuCC++J J CCww==m m çç1 1 ++22÷÷uuCC2 2 2 2 2 2 èè3 3 coscosqqøøll1 1 ææ1 1 öö2 2 mmgg((1 1 --sisin n qq))==mmçç1 1 ++2 2 ÷÷uuC C 222 2 èè3 3 cos cos qqøø qq==00时时1133gguuCC==33ggl l , , ww==22l l mmgg--FFNN==mma a CC（（aa））22llmmllF F NN==J J CCaa==aa（（bb））221122 rrrrrrttrrn n 由由aaCC==aaAA++aaCACA++aaCA CA rrrrt t rrrrn n 其中:其中:aaCC、、aaCA CA 铅直铅直aaAA、、aaCCA A 水平水平t t l l aaCC==aaCCA A ==aa(c)(c) 22mmgg由由（（aa））,,（（bb））,,（（cc））得得F F NN==44 例例::已知已知轮轮I :I :r,r,mm11;;轮轮III :III :rr,,mm33;;轮轮II :II :RR=2=2rr,,mm22;;压压力力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为2020度度, , 物块物块::mmAA;;摩擦力不计摩擦力不计. . 求求::OO11OO22处处的约束力的约束力..  112211221122解:解:TT==J J OO11ww11++((J J OO22++J J OO33))ww22++m m A A uuA A 222222ww其中其中ww22==22u=wr=ww11rr,J =1 1 m r22uAA=w22r=,J O O 11=m 11r,,2 2 2 2 11221 1 22J J OO22==m m 22RR,,J J O O 33==m m 33rr2 2 2 2  ååddww==MMddjj--m m AAd d h h 11其中其中ddhh==r r ddjj22ddTT==ååddw w ddtta=rraa11, a=aa11利用利用aAA=, a22=2222a=22((22M M --mmAAggr r ))aAA=()(22mmAA++44mm11++44mm22++mm33)r r  研究研究II轮轮JJOO11aa11==M M --PPt t ¢¢rr112 2 M M --mm1 1 r r aa1 1 M M --mmra ra P ¢=2 2 =1 1 A A P tt¢==r r r r oo压力角为压力角为2200ooPPnn¢¢==tantan2200××P P t t ¢¢==00. . 336644P P t t ¢¢ F FO O 11x x ++P P n n ¢¢==0 0 Fx=0. 364M M --m m 1 1 rraaA A FOO11x=0. 364rrFFO O11yy++PPt t ¢¢--m m 1 1 gg==00Fy=m g-M M --m m 1 1 rraaA A FOO11y=m 1 1 g-rr 研究物块研究物块A A FFTT¢¢--mmA A gg==mmA A aaA A ¢¢FFT T ==mmA A aa11++mmA A gg 研究II轮研究II轮FFO O 22xx--PPnn==00F=0 .364 MM--m m 11rra a AAFOO22xx=0 .364 rrFFO O 22yy--PPt t --((m m 22++m m 33))g g --FFTT==0 0 MMFF0 0 22yy==((m m 2 2 ++m m 3 3 ++m m A A ))gg++++((m m A A --m m 1 1 ))aaA A r r  例：已知例：已知,,mm,,RR,, k k,, CA= CA=2R2R为弹簧原长为弹簧原长,,MM为常力偶为常力偶. . 求:圆心求:圆心CC无初速度由最低点到达最高点时无初速度由最低点到达最高点时,,OO处约束力处约束力 解解::TT11==00112211ææ112222öö332222T T 22==J J OOww==ççmmR R ++mmR R ÷÷==mmR R ww2222èè22øø44kì22üW=M j-mg×2R+kì0-éé(22-2)RùùüååW=M j-mg×2R+2íí0-êëêë(22-2)Rúûúûýý2îîþþ2 2 ==MMpp--22RmRmg g --0 0 ..343 343 kR kR TT22--T T 1 1 ==ååw w 2 2 442 2 ww==((MMpp--2 2 RRmmg g --0 0 ..33443 3 kR kR ))2 2 3 3 mmRR ooJJaa==M M --FFRRccooss44553 3 221 1 mmRRaa==M M --k k ((2 2 2 2 R R --2 2 R R ))R R ××2 2 2 2 (22)22(MM--0 0 ..55886 6 kkRR)aa==223 3 mmRR2 2 aaCCxx==--R R aa,,aaCCy y ==--R R ww oomma a CCxx==F F OOx x ++F F coscos45 45 oomma a CCyy==F F OOy y --mmg g --F F cocoss445 5 得得FFOx ==--0 0..586 586 kR kR ++ma ma Ox Ox Ox 22==--M M --00. . 119966kRkR33RRFFOOyy==mgmg++00. . 558866kkR R ++mamaCCyyM M ==33. . 666677mmgg++11. . 004433kRkR--44. . 118899R R  例:均质杆例:均质杆AABB,,ll,,mm,初始铅直静止,初始铅直静止,,无摩擦无摩擦求：1.求：1.BB端未脱离墙时,摆至端未脱离墙时,摆至θθ角位置时的角位置时的ww,,,,aaFFBBx x ,,FFBByy 2.2. B B端脱离瞬间的端脱离瞬间的θθ１１3. 3. 杆着地时的杆着地时的vvCC及及ww22  2 2 ll1 1 mmll2 2 解解::((1)1)mmgg((11--cos cos qq))==××ww22223333gg()ww==(11--ccoossqq)l l t t l l aaCC==aa2233ggaa==ssininqq22l l nnl l 22aaCC==ww22 t t nnFFBxBx ==ma ma CxCx==m m ((aaC C ccoossqq--aaC C ssininqq))==33__qq((qq--))mg mg ssinin33ccooss2244FFBBy y --mg mg ==ma ma CCy y (t t n n )F F By By==mgmg++m m (--aaC C sinsinqq--aaC C ccoos s qq)33(22)==mgmg--mgmg(33sinsinqq++22ccoos s qq--22)44 （（22）脱离瞬间时）脱离瞬间时FFBBxx==002 2 qq1 1 ==ararccccosos333 3 gg()g g ww11==(1 1 --ccoossqq)==l l l l  （（33）脱离后）脱离后,,水平动量守恒水平动量守恒,,脱离瞬时脱离瞬时l l 11vvCC==ww11==ggl l 222211vvCCxx==vvC C ccoossqq11==ggl l 33 rrrrrrl l 杆着地时杆着地时,, AC AC水平水平vvCC==vvBB++vvCB CB vvCCyy==vvCCB B ==ww××22由铅直由铅直————水平全过程水平全过程TT11==00WW==T T 22--T T 1 1 l l 112 2 2 2 112 2 mgmg==((mvmvCx Cx ++vvCy Cy ))++JJC C ww222222 221 1 wwl l wwl l 式中式中vvCCxx==gl gl , , vvCCy y ==, , JJCC==3 3 2 2 12 12 88ggv v ==118 8 g g ww==CCyy2 2 3 3 ll3 3 l l 22221 1 v v CC==v v CCxx++v v CCyy==7 7 ggl l 3 3