土力学课件第二章土体应力计算

第二章土体应力计算2-1概述支承建筑物荷载的土层称为地基。与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。将持力层下面的土层称为下卧层。土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力；按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。孔隙应力——由土中孔隙流体水和气体传递（或承担）的应力。 第二章土体应力计算对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不会使土体产生变形，土体的强度也不会改变。孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。自重应力——由土体自身重量所产生的应力。附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。 第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力地下水位以下，用有效重量；不同土层的重量可以叠加 第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1之比。与土层的应力历史及土的类型有关；正常固结粘土：K0＝1－sinf’对一般地基K0＝0.5左右无侧向变形条件下，侧向应力： 第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力。地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。基底附加应力是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。基底净压力 第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力一、柔性基础与刚性基础基底压力的分布和大小与荷载的性质（中心或偏心、倾斜等）大小等有关，也与基础的刚度有关。柔性基础：刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同； 第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。 第二章土体应力计算二、刚性基础下基底压力分布（一）中心荷载下的基底压力中心荷载作用下的基础，上部结构荷载P与基础自重G的合力Fv通过基底形心，基底压力为均匀分布。平均基底压力为矩形基础条形基础集中力线荷载分布荷载 第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力对于单向偏心荷载作用下的矩形面积基底的刚性基础如图（a）、（b）所示。两端边缘最大压力pmax与最小压力pmin可按下式计算：矩形基底面的抗弯截面系数 第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力根据上式，当e＜L/6时，基底压力成梯形分布；e=L/6时，基底压力为三角形分布；e＞L/6时，基底压力pmin＜0（2-11） 第二章土体应力计算pmin＜0，由于地基与基础之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱离而使基底压力重新分布。根据基底压力与偏心荷载相平衡的条件，三角形反力分布如图（c）中的实线所示的形心应在P+G的合力Fv作用线上，由此可计算基础边缘的最大压力pmax为pmax=2Fv／3kb式中：k——单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离，k=(l/2-e)。对于荷载沿长度方向均布的条形基础，P和G对应均取单位长度内的相应值，基础宽度取为b，则基底压力为（2-13） 第二章土体应力计算三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力当基础底面受到倾斜的偏心荷载作用时，先将倾斜偏心的合力R分解为竖向分量Fv和水平分量Fh，其中Fv=Rcosβ，Fh＝Rsinβ，β为倾斜荷载与竖向线之间的倾角。对于竖向分量Fv作用下的基底反力计算，矩形基底用式（2－11），条形基底用式（2－13）对于水平分量Fh引起的基底反力可按下式计算矩形基底ph=Fh／lb条形基底 第二章土体应力计算四、基底附加应力——基底净压力实际工程中，基础总是埋置在天然地面以下一定的深度，势必要进行基坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底附加应力或基底净压力。基底净压力按下式计算：对于基底压力p为均布情况对于基底压力为梯形分布情况 第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算计算方法：假定地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限的。应力计算可分为空间问题和平面问题。一、附加应力基本解答（一）竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本解由布辛内斯克解答得σz的表达式 第二章土体应力计算由图中的几何关系，得式中称为竖向集中力作用竖向附加应力系数。 第二章土体应力计算（二）等代荷载法——基本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力Fi（I=1，2，‥‥‥n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。式中：Ki——第I个竖向附加应力系数。 第二章土体应力计算等代荷载法 第二章土体应力计算二、空间问题条件下地基附加应力（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力为 第二章土体应力计算（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力竖直均布压力作用下矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力为式中，Ks称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。L是矩形的长边，b是矩形的短边，而z是从基底面起算的深度，ks值可直接查表2－2。pn是基底净压力。二、空间问题条件下地基附加应力 第二章土体应力计算式（2－25）是用于计算一个矩形面积角点下的竖向附加应力σz。对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力σz，可以利用式（2－25）逐个计算每个矩形面积角点下的σz值，再按叠加原理求得该计算点附加应力σz的最后结果，称为“角点法”。 第二章土体应力计算【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa 第二章土体应力计算（2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／1=2z／b=1／1=1查表2－2得Ks=0.1999，所以σzo=4Kspn=4×0.1999×131＝104.75（kPa）（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。 第二章土体应力计算A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／2=1z／b=1／2=0.5查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以σzA=2Kspn=2×0.2315×131=60.65（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2.5／2=1.25z／b=1／2=0.5查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350 第二章土体应力计算对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2／0.5=4z／b=1／0.5=2查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得：σzH=（2×0.2350－2×0.1350）×131=26.2（kPa） 第二章土体应力计算（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力矩形基底面积上受到三角形分布荷载（基底净反力为三角形分布）作用时，式中沿整个面积积分的方法求得荷载强度为零的角点下的地基竖向附加应力σz1。 第二章土体应力计算根据叠加原理，易于推得角点2下的附加应力σz2=（Ks－Kt1）pt=Kt2pt附加应力系数Kt1，Kt2均是m=l/b，n=z/b的函数，已制成表2－3，可供直接查用。 第二章土体应力计算（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力当矩形面积基底受水平荷载ph（基底的水平方向均布切向力）作用时，角点1，2下的地基竖向附加应力为式中 第二章土体应力计算为水平荷载作用时地基竖向附加应力系数，是m=l/b，n=z/b的函数，这里b是荷载作用方向的矩形边长，不论其是长边还是短边，而l是矩形的另一条边长。Kh由表2－4查取。σz1是水平荷载矢量起始端角点下的附加应力，为“－”值；σz2是水平荷载矢量终止端角点下的附加应力，为“+”值。显然在基础的b/2处的竖直线上，因ph引起的地基竖向附加应力为零。“角点法”原理对于水平荷载作用的情况同样可以应用。 第二章土体应力计算（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载pn，微面积rdrdq上微集中力pnrdrdq则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为式中为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力系数，Kr是z/ro的函数，由表2－5查取。 第二章土体应力计算（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得同理三、平面问题条件下的地基附加应力（l/B>=10）这就是著名的符拉蒙（Flamant）解答。 第二章土体应力计算（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答可得地基中任意M点的竖向附加应力为同理可求得σx，τxz的表达式如下注意：积分是0b,要求：原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致 第二章土体应力计算（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zptdz/b应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：σz＝Ktzptσx＝Ktxptτxz=Ktτpt式中：Ktz，Ktx，Ktτ为条形基底三角形分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是m=x/b，n=z/b的函数。注意：（1）原点在尖点（2）X轴正向与荷载增大方向一致 第二章土体应力计算（四）条形基底受水平荷载作用时的附加应力当条形基底作用有水平均布荷载ph（作用于基底沿宽度b方向的切向力）时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式求得σz＝Khzphσx＝Khxphτxz=Khτph附加应力系数Khz，Khx，Khτ均是m=x/b，n=z/b的函数，可查表2－8。注意：（1）原点在荷载起点（2）X轴正向与荷载方向一致 第二章土体应力计算基底作用有倾斜偏心荷载时平面问题：注意：（1）原点（2）X轴正向 第二章土体应力计算【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自重及其上部其他竖向荷载Fv=2400kN/m，作用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力等作用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3，若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv，Fh作用基础中心点及前缘A点下深度z=7.2m处M点，N点的附加应力。 第二章土体应力计算【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh移至基底面，根据静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利用合力矩定理，即Fv·x=Fv×3.2－Fh×2.4则x=（3.2Fv－2.4Fh）／Fv=3.2－2.4×400／2400＝2.8（m）于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的左侧0.2m。（2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－13），得竖向基底压力 第二章土体应力计算应用式（2－17），得ph=Fh/b=400/6=66.7kPa（3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下pn=pmin－γod=320－19×1.5＝291.5kPapt=pmax－pmin=480－320＝160kPa（4）计算各种压力形式pn，pt，ph引起的地基M点和N点的附加应力，为了清晰起见，可采用列表的方法进行。 第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力土坝（包括土堤，下同）的剖面形状不符合半无限空间体的假定。通常，为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土坝，其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积。假定：柔性基础 第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度处：由a1/z,b1/z和a2/z,b2/z查图习题：2－1，2－2，2－4，2－5