天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第八第新讲稿.ppt

平面应力问题的有限元法第八章1 §8-1弹性体的应力、位移与应变考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。取无穷小dx,dy,dzzxyOdydxdzzxyOdzdydx应力分量复习：描述弹性体物体一点的应力、应变及位移的物理量2 弹性体一点九个应力分量用矩阵表示如下：其中剪力：应力：对于不同的问题比如：受力以及几何形状的特殊性，会造成应力分布出现特殊性。3 位移分量：zxoywuv描述三维空间中一点的位移应当有三个方向的物理量xyz结构受到的外力以及几何形状具有一些特殊性时，将会造成位移分布的特殊性。使得我们可以根据实际情况引入变形的一些假定条件。譬如：梁理论当中的平断面假定条件等。4 应变分量线应变剪应变可表示为：或xyzdyzxydyOO5 §8-2平面应力问题及其基本方程式平面应力问题板只有xoy平面内分量且均与z坐标无关1）几何特征：均匀薄板。即一个方向的尺度远小于另外两个方向的尺度。2）受力特征：面积力外力均匀作用在板的周边上且平行于xoy平面。体积力均作用于xoy平面之内。3）应力分布的特点：4）描述一点的位移及应变的分量：求解平面问题及求解结构在受力后的应力、应变及位移共8个未知函数oyzx一薄板，外力沿板厚均匀分布6 求解弹性的基本方程（1）静力平衡方程式（力与外力之间平衡关系）（2）几何方程式（位移与应变之间的关系）（3）物理方程式（应力与应变之间的关系）（4）位移边界条件（5）力的边界条件7 求解平面问题的基本方程——静力平衡方程式如图，考虑一微块dx,dy，设板厚为1，作用有均匀体积力x方向，与y方向方程式:或：以上二方程式称为“纳维叶（Navier)”方程式yxodydxYX8 取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为：X向静力方平衡程式：略去高阶微量后，得：此式为“静力边界条件”yxoABCYXNpypx求解平面问题的基本条件——静力边界条件9 如图：abcd变形前位置，a’b’c’d’为变形后位置ab在xoy平面中转角为略去与1比的微量，得同理abcdyxodxdyvu求解平面问题的基本条件——几何方程式10 应变协调方程式为：可得：应变分量只有满足这个方程式才能保证弹性体变形的连续性在什么情况下使用该方程式？又称为“柯西（Cauchy)方程式”可得：从数学角度，从力学角度分析上述方程。与应力相对应的连续位移是否存在的充分必要条件11 物理方程式（应力、应变间相互关系）已知弹性体应力求应变（1）12 “弹性矩阵”已知弹性体应变求应力（2）13 对于正交异性的弹性体,应力与应变关系为:[D]为正交弹性体的正交矩阵14 力的平衡条件几何条件变形协调条件物理条件力边界条件位移边界条件15 (1)弹性体在什么情况下成为平面应力问题(2)描述平面应力问题弹性体的基本物理量(3)求解平面应力问题的基本方程(4)求解平面应力问题的基本方法16 基本指导思想：认为弹性体是有限个单元的组合体有限元采用解题方法位移法§8-3解题方法及有限元法的概念有限元的基本概念结构的离散化将连续的结构离散成有限个单元—形成节点、边（原结构）（离散化模型）17 离散后：位移：各单元仅在节点与其它单元连接在单元边上保持位移连续最好，至少变形后相连。力：在单元内保持力的平衡条件、在单元间保持节点力的平衡边界上满足边界节点上的位移边界条件及相当的力的边界条件。理想状态下：位移：离散节点前后各单元内及单元之间位移保持连续；力：在单元内及单元之间各处均应保持力的平衡条件边界上满足一切位移及力的边界条件。一般弹性体的结构离散与杆系结构离散的区别18 设定单元的位移函数该位移函数的特点：不是单元的真实位移有限元采用解题方法位移法基本未知量：节点的位移平面问题一个节点的位移自由度2个节点力的个数2个建立节点位移与节点力之间的关系（单元刚度矩阵）解决问题的途径：李兹法（1）假设单元内部位移的形状函数（将节点位移作为待定参数）（2）利用虚功原理求出单元刚度矩阵19 分布外力的移置平面应力问题：体积力及面积力：求解这些外力的等效节点建立节点力平衡方程式形成类似矩阵法的节点力平衡方程式矩阵表达形式约束处理求解节点位移20 §8-4三角形单元的位移函数与刚度矩阵节点位移与节点力节点位移：节点力：oyxmijvmumvjujviui21 位移函数式中：将三节点i,j,m坐标代入（1）式：将单元内部位移用节点位移表示之—22 简记为：其中：（3）23 位移矩阵为三角形i,j,m面积（4）得24 单元应变(几何矩阵）用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：或：式中：几何矩阵用节点位移表达的单元应变25 （2）单元应变（用节点位移表示的单元应力）根据虎克定律的矩阵表示式应力矩阵26 单元刚度矩阵（表示节点位移与节点力关系矩阵）求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理基本公式：给节点虚位移：真实应变：即：节点力在虚位移上所作的虚功=虚位移引起单元内部的虚应变能单元上真实的节点位移：真实应力：相应的虚应变：节点力在虚位移上所作的虚功：虚位移引起单元内部的虚应变能27 进行比较得：将[B]、[D]代入上式：式中单元刚度矩阵：分割子矩阵对称、奇异、稀疏矩阵28 位移函数与收敛准则位移函数要在单元中连续，在边界上保持位移协调；位移函数应能包括单元的常位移（刚体位移）；位移函数必须能反映单元的常应变状态。满足第一条件的单元称为“协调元”（compatibleelement)满足第二、三条件的单元称为“完备元”（completeelement)收敛准则:经严格证明协调、完备元随着网格的不断加密，其解是收敛的。完备非协调元同样收敛。29 （1）三角形单元属于什么类型的单元？三角形单元位移函数的讨论：（2）三角形单元位移函数的假定：在同一个单元内应变及应力均为常数。对应力变化梯度较大的结构而言精度较差。（3）在单元划分时应注意以下两点：①疏密程度合理②三角形三个边长差别不易过大（4）线性结构的单元［N］、［B］、［S］、［K］与单元的位移函数及节点几何坐标位置有关。30 §8-5结构刚度矩阵本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。取出节点i，列出x,y方向力的平衡方程式：(1)(2)(1)(2)immjjmnnii31 该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。其形式如下：外力列阵，每一个节点有2行。应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力及等效节点力。各单元因节点发生可能位移而产生的节点力之合。可由各单元刚度矩阵依对号入座方式形成其中：32 式中[Kij]为单元刚度阵的子矩阵，上式可简记为：[K]—结构总刚度矩阵具有n个节点的结构,总节点力平衡方程式为：注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。对称性、稀疏性、奇异性。行列个数2n33 单元（1）i-j-m1-3-4例1：划分4个单元单元（2）i-j-m1-2-3单元（3）i-j-m3-2-5单元（4）i-j-m4-3-5(1)(2)(3)(4)3①列出其单元刚度矩阵：②注意节点顺序号与单刚位置关系34 列出各节点平衡方程式：将各单元的刚度矩阵带入上式，并写成（1）的形式：即得总刚度矩阵：35 §8-6外载荷处理单元中分布力的移置单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算（1）单元上体积力的等效计算计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。设：三角形平面单元受均匀分布力，其合力Q作用于形心处36 外力作用下：给节点i单位的虚位移：有：37 单元边界力的移置：设:三角形单元的某边界有分布外力，其合力为Q，作用在B点，三节点等效力为求如图：令虚位移得：同理：38 均布载荷三角形载荷梯形载荷,xy39 §8-7解题过程与例题解题过程结构的离散；计算单元的刚度矩阵计算结构总刚度矩阵建立外力矩阵约束处理求解节点位移计算单元应力支座反力计算和节点力平衡的检验40 例题例1一悬臂梁，尺寸与受力情况如图（a）所示，将其离散为四个三角形组成的机构，其计算图形如图（b），求各节点的位移与各三角形的应力。已知：L=100cm,板厚t=1cm,q=200N/mm(从而P=10N),E=2×105N/mm,u=0.3256Llppyx(3)(4)(1)(2)54123q(a)(b)L41 解：（1）计算单元刚度矩阵：当r=s=1时,求13250cm100cm42 同理计及故得43 同理44 计算总刚度矩阵节点平衡方程式45 求节点位移同理(2),(3),(4)应力(N/mm2)为:,,46